泰兴市2018-2019学年八年级第二学期期中考试数学试题（含答案）

这是一份泰兴市2018-2019学年八年级第二学期期中考试数学试题（含答案），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
2019年春学期期中考试
八年级数学试卷
一、选择题（每题2分，共12分）
1.下列图形中，是中心对称图形的有（　　）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2.下列分式中，最简分式是（　　）
A. B. C. D.
3.下列事件中是必然事件是（　　）
A. 投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数为50次
B. 任意一个六边形外角和等于720°
C. 如果a2＝b2，那么a＝b
D. 13个同学参加一个聚会，他们中至少有两个同学的生日在同一个月
4.下列代数式变形正确的是（　　）
A. B.
C. D.
5.如图，△ABC中，∠A＝75°，∠B＝50°，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转，得到△A’B’ C，点A的对应点A'落在AB边上，则∠BCA'的度数为（　　）

A. 20° B. 25° C. 30° D. 35°
6.如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，AC中点，则下列四个判断中不一定正确的是（　　）

A. 四边形ADEF一定是平行四边形
B. 若∠B+∠C＝90°，则四边形ADEF矩形
C. 若四边形ADEF是菱形，则△ABC是等边三角形
D. 若四边形ADEF是正方形，则△ABC是等腰直角三角形
二、填空题（每题2分，共20分）
7.分式有意义的条件是_____．
8.六张完全相同的卡片上，分别画有等边三角形、正方形、矩形、平行四边形、圆、菱形，现从中随机抽取一张，卡片上画的恰好既是轴对称图形又是中心对称图形的概率为_____．
9.当x＝_______时，分式的值为0．
10.为了了解我市2018年中考数学学科各分数段成绩分布情况，从中抽取180名考生的中考数学成绩进行统计分析，在这个问题中，样本是指_________________．
11.菱形ABCD的周长为52cm，一条对角线的长为24cm，则该菱形的面积为____cm2．
12.一只不透明的袋子中装有红球和白球共30个，这些球除了颜色外都相同，校课外学习小组做摸球实验，将球搅匀后任意摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀，通过多次重复试验，算得摸到红球的频率是0.2，则袋中有________个红球．
13.若关于x的分式方程有增根，则_______．
14.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC=2∠CAD，则∠BAE=__________度．

15.若分式的值是正整数，则m可取的整数有_____．
16.Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4,D为AB中点，点E在AC上， ED平分△ABC的周长，则ED＝_____．

三．解答题
17.计算：（1） （2）
18.解下列方程
(1) (2)
19.先化简，再求值：，其中满足.
20.已知，求A、B的值.
21.已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣5，0）、B（﹣2，3）、C（﹣1，0）.

（1）画出△ABC关于坐标原点O成中心对称的△A1B1C1；
（2）将△ABC绕坐标原点O顺时针旋转90°，画出对应的△A′B′C′；
（3）若以A′、B′、C′、D′为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出D′的坐标　 　 .
22.我市为加强学生的安全意识，组织了全市学生参加安全知识竞赛，为了解此次知识竞赛成绩的情况，随机抽取了部分参赛学生的成绩，整理并制作出如下的不完整的统计表和统计图，如图所示，请根据图表信息解答以下问题．


（1）一共抽取了 个参赛学生的成绩；表中a＝ ；
（2）补全频数分布直方图；
（3）计算扇形统计图中“B”对应的圆心角度数；
（4）若成绩在80分以上（包括80分）的为“优”等，则所抽取学生成绩为“优”的占所抽取学生的百分比是多少？
23.如图，已知矩形ABCD中，E是AD上的一点，F是AB上的一点，EF⊥EC，且EF＝EC，DE＝4cm，矩形ABCD的周长为36cm，求AE的长.

24.某中学图书馆添置图书，用240元购进一种科普书，同时用200元购进一种文学书.由于科普书单价是文学书单价的1.5倍，因此学校所购买的文学书比科普书多4本.
（1）求文学书的单价是多少？
（2）学校买了文学书和科普书一共多少本？
25.在正方形ABCD中，对角线BD所在直线上有两点E、F满足BE=DF，连接AE、AF、CE、CF，如图所示．
（1）求证：△ABE≌△ADF；
（2）试判断四边形AECF的形状，并说明理由．

26.如图，点C在线段AB上，分别以AC、BC为边在线段AB的同侧作正方形ACDE和正方形BCMN，连结AM、BD．
（1）AM与BD的关系是：_____________________ ．
（2）如果将正方形BCMN绕点C顺时针旋转锐角α，其它不变（如图）．（1）中所得的结论是否仍然成立？请说明理由．
（3）在（2）的条件下，连接AB、DM，若AC＝4， BC＝2， 求的值．



一、选择题（每题2分，共12分）
1.下列图形中，是中心对称图形的有（　　）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】
解：根据中心对称图形的定义：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，对各图形一一判断即可得出答案.
【详解】解；第1个图形绕圆心旋转旋转180°后与自身完成重合，是中心对称图形；
第2个图形绕任一点旋转180°后不能与自身重合，不是中心对称图形；
第3个图形绕圆心旋转旋转180°后与自身完成重合，中心对称图形；
第4个图形绕任意一点旋转180°后不能与自身重合，不是中心对称图形；
所以有两个图形是中心对称图形.
故选B.
【点睛】本题考查了中心对称图形的辨别.熟练掌握中心对称图形的定义是识别中心对称图形的关键.
2.下列分式中，最简分式是（　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据最简分式的定义：分子和分母中不含公分母的分式，叫做最简分式，对四个选项中的分式一一判断即可得出答案.
【详解】解：A.，分式的分子与分母不含公因式，是最简分式；
B.，分式的分子与分母含公因式2，不是最简分式；
C. ，分式的分子与分母含公因式x-2，不是最简分式；
D. ，分式的分子与分母含公因式a，不是最简分式,
故选A.
【点睛】本题考查了最简分式的概念.对每个分式的分子和分母分别进行因式分解是解题的关键.
3.下列事件中是必然事件的是（　　）
A. 投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数为50次
B. 任意一个六边形的外角和等于720°
C. 如果a2＝b2，那么a＝b
D. 13个同学参加一个聚会，他们中至少有两个同学的生日在同一个月
【答案】D
【解析】
【分析】
根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可得出答案．
【详解】A. 投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数为50次，是随机事件；
B. 任意一个六边形的外角和等于360°，是不可能事件；
C. 如果a2＝b2，那么a＝b，是随机事件；
D. 13个同学参加一个聚会，他们中至少有两个同学的生日在同一个月，是必然事件，
故选D.
【点睛】本题考查了必然事件、不可能事件及随机事件的概念.根据事件发生的可能性的大小是判断相应事件类型的关键.
4.下列代数式变形正确的是（　　）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用分式的基本性质对四个选项一一进行恒等变形，即可得出正确答案.
【详解】解：A.，故本选项变形错误；
B. ，故本选项变形错误；
C.，故本选项变形错误；
D.，故本选项变形正确，
故选D.
【点睛】本题考查了分式的基本性质.熟练应用分式的基本性质对分式进行约分和通分是解题的关键.
5.如图，△ABC中，∠A＝75°，∠B＝50°，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转，得到△A’B’ C，点A的对应点A'落在AB边上，则∠BCA'的度数为（　　）

A. 20° B. 25° C. 30° D. 35°
【答案】B
【解析】
【分析】
根据三角形内角和定理了求出∠ACB的度数，再根据旋转得出AC=A′C，进一步求出∠ACA′，即可得出答案．
【详解】解：∵△ABC中,∠A=75°，∠B=50°，
∴∠BCA=180°−∠A−∠B=55°，
∵将△ABC绕点C按逆时针方向旋转，得到△A’B’C’，点A的对应点A’落在AB边上，
∴AC=A′C，
∴∠CA′A=∠A=75°，
∴∠ACA′=180°−∠A−∠CA′A=30°，
∴∠BCA′=∠BCA−∠ACA′=25°，
故选B.
【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质等知识.利用旋转找出图中的等腰三角形是解题的关键.
6.如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，则下列四个判断中不一定正确的是（　　）

A. 四边形ADEF一定是平行四边形
B. 若∠B+∠C＝90°，则四边形ADEF是矩形
C. 若四边形ADEF是菱形，则△ABC是等边三角形
D. 若四边形ADEF是正方形，则△ABC是等腰直角三角形
【答案】C
【解析】
【分析】
利用三角形中位线定理、平行四边形的判定、矩形的判定、菱形与正方形的性质、等边三角形的判定等知识对各个选项分别进行推理证明，即可得出答案.
【详解】证明：∵点D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，
∴DE//AC且DE=AC，AF=AC，
∴DE//AF且DE=AF，
∴四边形ADEF一定是平行四边形,
故A正确；
∵∠B+∠C＝90°，
∴∠A＝90°，
∴平行四边形ADEF是矩形,
故B正确；
∵四边形ADEF是菱形，
∴AD=AF，
∵点D，F分别是AB，AC的中点，
∴AB=AC，
∵∠A不一定等于60°，
∴△ABC是等腰三角形但不一定是等边三角形，
故C不一定正确；
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD=AF，∠A＝90°，
∵点D，F分别是AB，AC的中点，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
故D正确.
故选C.
【点睛】本题考查了平行四边形、菱形、正方形、等边三角形等图形的相关知识.熟练掌握相关图形的判定和性质是解题的关键.
二、填空题（每题2分，共20分）
7.分式有意义的条件是_____．
【答案】x≠1
【解析】
【分析】
根据分式的分母不为0时分式有意义，列出不等式即可得出答案.
【详解】解：∵分式有意义，
∴x-1≠0,
解得x≠1.
故答案为x≠1.
【点睛】本题考查了分式有意义的条件.牢记分式的分母不为零是解题的关键.
8.六张完全相同的卡片上，分别画有等边三角形、正方形、矩形、平行四边形、圆、菱形，现从中随机抽取一张，卡片上画的恰好既是轴对称图形又是中心对称图形的概率为_____．
【答案】
【解析】
【分析】
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断，再根据概率的公式进行计算即可得．
【详解】等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，
正方形是轴对称图形，也是中心对称图形，
矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，
平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，
圆是轴对称图形，也是中心对称图形，
菱形是轴对称图形，也是中心对称图形，
卡片上画的恰好既是轴对称图形又是中心对称图形的概率为=，
故答案为．
【点睛】本题考查的是概率的计算、中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
9.当x＝_______时，分式的值为0．
【答案】.
【解析】
根据题意得：x2﹣1=0，且x﹣1≠0
解得：x=﹣1
故答案是：=﹣1
10.为了了解我市2018年中考数学学科各分数段成绩分布情况，从中抽取180名考生的中考数学成绩进行统计分析，在这个问题中，样本是指_________________．
【答案】从中抽取的180名考生的中考数学成绩
【解析】
【分析】
根据样本的定义：在抽样调查中，被抽取的那些个体组成了一个样本，即可得出答案.
【详解】解：为了了解我市2018年中考数学学科各分数段成绩分布情况，从中抽取180名考生的中考数学成绩进行统计分析，在这个问题中，样本是指从中抽取的180名考生的中考数学成绩.
故答案为从中抽取的180名考生的中考数学成绩.
【点睛】本题考查了样本的定义.准确理解总体、个体、样本、样本容量是解题的关键.
11.菱形ABCD的周长为52cm，一条对角线的长为24cm，则该菱形的面积为____cm2．
【答案】120
【解析】
【分析】
画出草图分析,因为菱形ABCD周长是52cm,所以边长是13cm, 根据对角线互相垂直平分得直角三角形,运用勾股定理求另一条对角线的长,最后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算求解
【详解】解: 因为菱形ABCD周长是52cm, 所以边长是13cm, 如图所示:

AB=13cm,BD=24cm.
根据菱形的性质, AC⊥BD, BO=DO=12cm,
在Rt△AOB中,AO===5cm,
AC=2AO=10cm,
面积S===120cm.
故答案为120.
【点睛】本题考查了菱形的四条边相等的性质,以及对角线互相垂直平分的性质, 还考查了菱形面积的计算, 对角线乘积的一半.
12.一只不透明的袋子中装有红球和白球共30个，这些球除了颜色外都相同，校课外学习小组做摸球实验，将球搅匀后任意摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀，通过多次重复试验，算得摸到红球的频率是0.2，则袋中有________个红球．
【答案】6
【解析】
【详解】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，设袋中有x个红球，列出方程=20%， 求得x=6.
故答案为6．
点睛：此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．
13.若关于x的分式方程有增根，则_______．
【答案】2
【解析】
试题分析：方程两边都乘x-3，得m=2+x-3，∵原方程有增根，∴最简公分母x-3=0，
解得x=3，当x=3时，m=2，故m的值是2．
考点：分式方程的增根
14.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC=2∠CAD，则∠BAE=__________度．

【答案】22.5°
【解析】
【详解】四边形ABCD是矩形，
AC=BD，OA=OC，OB=OD，
OA=OB═OC，
∠OAD=∠ODA，∠OAB=∠OBA，
∠AOE=∠OAD+∠ODA=2∠OAD，
∠EAC=2∠CAD，
∠EAO=∠AOE，
AE⊥BD，
∠AEO=90°，
∠AOE=45°，
∠OAB=∠OBA=67.5°，
即∠BAE=∠OAB﹣∠OAE=22.5°．

考点：矩形的性质；等腰三角形的性质．
15.若分式的值是正整数，则m可取的整数有_____．
【答案】3,4,5,8
【解析】
【分析】
根据此分式的值是正整数可知m-2是6的约数，而6的约数是1，2，3，6，然后分别列出四个方程，解之即可得出答案.
【详解】解：∵分式的值是正整数，
∴m-2＝1或2或3或6，
∴m＝3或4或5或8.
故答案为3，4，5，8.
【点睛】本题考查了分式的有关知识.理解m-2是6的约数是解题的关键.
16.Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4,D为AB中点，点E在AC上， ED平分△ABC的周长，则ED＝_____．

【答案】
【解析】
【分析】
过点D作DF⊥AC于点F，由三角形中位线定理可得DF的长，再通过DE平分三角形ABC的周长可得AE-CE=4，然后通过对EF=AE-AF进行恒等变形，可求出EF的长，最后利用勾股定理即可求解.
【详解】解：如图所示，过点D作DF⊥AC于点F，

∵DF⊥AC，∠C＝90°，
∴DF//BC，
∵D为AB中点，
∴DF是△ABC的中位线，
∴DF=BC=2，AF=AC，
∵ED平分△ABC的周长且AD=BD，
∴AE=BC+CE，
即AE-CE=4，
∵EF=AE-AF，
∴EF=AE-AC=AE-(AE+CE)=AE-AE-CE=AE-CE=(AE-CE)=2，
在Rt△DEF中，由勾股定理得，
DE=.
故答案为.
【点睛】本题考查了三角形中位线定理、线段的和差、勾股定理等知识.通过转化求出EF的值是解题的关键.
三．解答题
17.计算：（1） （2）
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）利用分式的乘除法法则进行计算即可；
（2）先通分，然后按同分母分式加减法计算法则进行计算即可.
【详解】解：（1），
＝ ，
＝；
（2），
＝，
＝，
＝，
＝.
【点睛】本题考查了分式的运算.熟练掌握分式的加法、减法、乘法、除法的运算法则是解题的关键.
18.解下列方程
(1) (2)
【答案】(1)；(2)原方程无解.
【解析】
【分析】
(1)方程两边同时乘以2x-1，化为整式方程后求解，然后进行检验即可得；
(2)方程两边同时乘以x(x-1)，化为整式方程后求解，最后进行检验即可得.
【详解】(1) 方程两边同时乘以2x-1，得
x=2(2x-1)+3，
解得：，
检验：当时，，
所以：是方程的根；
(2) 方程两边同时乘以（x+1）(x-1)，得
(x+1)2-4=（x+1）(x-1)，
解得：，
检验：当时，
所以是增根，所以原方程无解.
【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤以及注意事项是解题的关键.
19.先化简，再求值：，其中满足.
【答案】3.
【解析】
试题分析：先将括号里面进行通分，然后对分子分母进行因式分解，最后约分得到最简形式，再由x2+3x－1=0得到x2+3x=1，将x2+3x整体带入化简后的式子求值.
试题解析：
原式=÷
=×
=×
=3x2+9x，
∵x2+3x－1=0，
∴x2+3x=1，
∴原式=3x2+9x=3（x2+3x）=3×1=3.
点睛：（1）掌握分式的化简；
（2）掌握整体的思想.
20.已知，求A、B的值.
【答案】A=， B=
【解析】
【分析】
先对等式右边通分，再利用分式相等的条件列出关于A、B的方程组，解之即可求出A、B的值.
【详解】解：∵ ,
又∵，
∴，
∴ ，
解得.
∴A=， B=.
【点睛】本题考查了分式基本性质.利用分式的基本性质进行通分，再利用系数对应法列出方程组是解题的关键.
21.已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣5，0）、B（﹣2，3）、C（﹣1，0）.

（1）画出△ABC关于坐标原点O成中心对称的△A1B1C1；
（2）将△ABC绕坐标原点O顺时针旋转90°，画出对应的△A′B′C′；
（3）若以A′、B′、C′、D′为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出D′的坐标　 　 .
【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析；（3）（-3，4）或（3，6）或（3，-2）
【解析】
【分析】
（1）根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数即可解答；
（2）根据网格结构找出点A、B、C关于原点O顺时针旋转90°的对称点A′、B′、C′的坐标，然后顺次连接即可；
（3）根据平行四边形的对边平行且相等即可找出D′的位置，进而得出其坐标．
【详解】解：（1）△A1B1C1如图所示：

（2）△A′B′C′如图所示：

（3）如图所示，A′、B′、C′、D′为顶点的四边形为平行四边形，

此时，D′的坐标为（-3，4）或（3，6）或（3，-2）
【点睛】本题考查了图形的旋转、平行四边形的判定等知识.熟练掌握图形的有关性质是解题的关键.
22.我市为加强学生的安全意识，组织了全市学生参加安全知识竞赛，为了解此次知识竞赛成绩的情况，随机抽取了部分参赛学生的成绩，整理并制作出如下的不完整的统计表和统计图，如图所示，请根据图表信息解答以下问题．


（1）一共抽取了 个参赛学生的成绩；表中a＝ ；
（2）补全频数分布直方图；
（3）计算扇形统计图中“B”对应的圆心角度数；
（4）若成绩在80分以上（包括80分）的为“优”等，则所抽取学生成绩为“优”的占所抽取学生的百分比是多少？
【答案】（1）40，6；（2）补图见解析；（3）；（4）65%
【解析】
【分析】
（1）由图表可知D组的频数和所占的百分比，即可求出抽取的学生成绩的个数，进而即可得出a的值；
（2）由（1）可知A组人数，由频数分布表可知C、D组的人数，即可完成频数分布直方图；
（3）先求出B所占的百分比，再乘以360°即可得出答案；
（4）由表可知C、D组为优，二者频数取和再除以所抽取的总数，即可得出答案.
【详解】解：（1）∵，
∴抽取了40个参赛学生的成绩；
∴a=40-8-12-14=6,
故答案为40，6；
（2）补图如图所示：

（3）由题可知：，
答：扇形统计图中“B”对应的圆心角度数；
（4）∵成绩在80分以上（包括80分）的为“优”等，
∴，
答：所抽取学生成绩为“优”的占所抽取学生的百分比是65%.
【点睛】本题考查了统计的相关知识.在图表中提取有效信息是解题的关键.
23.如图，已知矩形ABCD中，E是AD上的一点，F是AB上的一点，EF⊥EC，且EF＝EC，DE＝4cm，矩形ABCD的周长为36cm，求AE的长.

【答案】AE=7
【解析】
【分析】
先证∠AFE=∠CED，再证Rt△AEF≌Rt△DCE，根据全等的性质可得AE=CD，根据矩形的性质及周长的值即可求解．
【详解】解：∵EF⊥CE，
∴∠FEC=90°，
∴∠AEF+∠DEC=90°，
在矩形ABCD中，
∵∠A=∠D=90°，
∴∠AEF+∠AFE=90°，
∴∠DEC=∠AFE，
在Rt△AEF与Rt△DCE中，
∵ ，
∴Rt△AEF≌Rt△DCE(AAS),
∴AE=CD，
∴AD=AE+4.
∵矩形ABCD的周长为36cm.
∴2(AD+DC)=36，
即2(AE+4+AE)=36，
解得：AE=7(cm).
∴AE的长为7cm.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、矩形的性质等知识.找出△AEF与△DCE全等的条件是解题的关键.
24.某中学图书馆添置图书，用240元购进一种科普书，同时用200元购进一种文学书.由于科普书单价是文学书单价的1.5倍，因此学校所购买的文学书比科普书多4本.
（1）求文学书的单价是多少？
（2）学校买了文学书和科普书一共多少本？
【答案】（1）文学书的单价是10元；（2）学校买了文学书和科普书一共36本.
【解析】
【分析】
（1）未知量是单价，已知总价，一定是根据数量来列等量关系．等量关系为：科普书数量+4本=文学书数量；
（2）文学书的数量的2倍-4即是书的总数量.
【详解】（1）设文学书单价为元，科普书单价为元，
由题可得：，
解之得：，
经检验是该方程的解，
答：文学书的单价是10元；
（2）（本）
答：学校买了文学书和科普书一共36本.
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，应用题中一般有三个量，已知一个量，求一个量，一定是根据另一个量来列等量关系的．找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．
25.在正方形ABCD中，对角线BD所在的直线上有两点E、F满足BE=DF，连接AE、AF、CE、CF，如图所示．
（1）求证：△ABE≌△ADF；
（2）试判断四边形AECF的形状，并说明理由．

【答案】（1）证明见解析（2）菱形
【解析】
分析：（1）根据正方形的性质和全等三角形的判定证明即可；
（2）四边形AECF是菱形，根据对角线垂直的平行四边形是菱形即可判断；
详证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
∴∠ABE=∠ADF，
在△ABE与△ADF中
，
∴△ABE≌△ADF.
（2）如图，连接AC，

四边形AECF是菱形．
理由：在正方形ABCD中，
OA=OC，OB=OD，AC⊥EF，
∴OB+BE=OD+DF，
即OE=OF，
∵OA=OC，OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AC⊥EF，
∴四边形AECF是菱形．
点睛：本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
26.如图，点C在线段AB上，分别以AC、BC为边在线段AB的同侧作正方形ACDE和正方形BCMN，连结AM、BD．
（1）AM与BD关系是：_____________________ ．
（2）如果将正方形BCMN绕点C顺时针旋转锐角α，其它不变（如图）．（1）中所得的结论是否仍然成立？请说明理由．
（3）在（2）的条件下，连接AB、DM，若AC＝4， BC＝2， 求的值．

【答案】(1)相等且垂直；(2)成立；(3)40
【解析】
【分析】
（1）根据正方形的性质可得AC=DC，CM=CB，∠ACM=∠DCB=90°，利用SAS可证出△ACM≌△DCB，根据全等三角形的性质即可得出AM=BD，∠MAC+∠DBC=90°，进而得出AM⊥BD；
（2）根据正方形的性质可得AC=DC，CM=CB，∠ACD=∠MCB=90°，通过等量相加即可得到∠ACM=∠DCB，利用SAS可证出△ACM≌△DCB，根据全等三角形的性质即可得出AM=BD，∠MAC=∠BDC，设AM与CD交于点P，即可证出∠DPM+∠BDC=90°，进而得出AM⊥BD；
（3）连接AD、BM，设AM与BD交于点Q，根据AM⊥BD，即可利用勾股定理求出答案.
【详解】解：（1）在正方形ACDE和正方形BCMN中，
∵AC=DC，∠ACM=∠DCB=90°，CM=CB，
∴△ACM≌△DCB（SAS），
∴AM=BD，∠MAC=∠BDC，
∵∠MAC+∠AMC=90°，
∴∠MAC+∠DBC=90°，
∴AM⊥BD；
故答案为相等且垂直；
（2）第（1）问中的结论仍然成立，即AM与BD的关系是：相等且垂直；
理由如下：
如图所示，设AM与CD交于点P，

在正方形ACDE和正方形BCMN中，
∵AC=DC，∠ACD=∠MCB=90°，CM=CB，
∴∠ACD+∠DCM=∠MCB+∠DCM
即∠ACM=∠DCB，
∴△ACM≌△DCB（SAS），
∴AM=BD，∠MAC=∠BDC，
∵∠MAC+∠APC=90°，
∴∠BDC+∠APC =90°，
∵∠APC =∠DPM，
∴∠BDC+∠DPM =90°，
∴AM⊥BD；
∴AM与BD的关系是：相等且垂直；
（3）如图所示，

连接AD、BM，设AM与BD交于点Q，
则AD2=42+42=32，BM2＝22+22＝8，
由（2）可知，AM⊥BD，
∴AB2=AQ2+BQ2，DM2=DQ2+MQ2；AD2=AQ2+DQ2，BM2=BQ2+MQ2，
∴AB2+ DM2＝AQ2+BQ2+ DQ2+MQ2，
AD2+ BM2＝AQ2+DQ2+ BQ2+MQ2，
∴AB2+ DM2＝AD2+ BM2＝32+8＝40.
【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识.结合图形综合运用所学知识是解题的关键.