2021--2022学年高二数学下学期期中模拟卷08（人教A版2019新高考版本）

高二数学下学期期中模拟卷（8）（人教A版2019）

一、单选题

1．（2022·陕西·西安市鄠邑区第一中学高二阶段练习（理））二项式的展开式中系数为无理数的项数为（       ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】B

【解析】

【分析】

写出二项展开式通项公式，由的指数不为整数可得无理项的个数．

【详解】

展开式通项公式为，，

当时，是整数，时，是不是整数，系数是无理数，共有3项．

故选：B．

2．（2022·山西运城·高二阶段练习）把语文，数学，英语，物理等7本不同的书放入书架，若数学书和物理书相邻，语文书不放在最左边，英语书不放在最右边，则不同的放法共有（       ）

A．780 B．960 C．1440 D．1008

【答案】D

【解析】

【分析】

把数学书和物理书捆绑，从语文书的位置进行分类，结合排列知识求解.

【详解】

先把数学书和物理书捆绑看作一个元素，共有种方法；

当语文书放在最右边时，英语书和其它书排列，共有种方法；

当语文书放不在最右边时，最右边放置除语文和英语之外的书，有4种方法，最左边放置除语文之外的余下的书，有4种方法，其它位置没有要求，有种方法；

综上共有种方法；

故选：D

3．（2022·辽宁·沈阳市第八十三中学高二开学考试）数列 的前项和等于（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

先设数列，前项和为，

当为奇数时，求出并项，

再根据并项求出当为偶数时的表达式，代值计算即可.

【详解】

设数列，数列的前项和为，

当为奇数时，，

所以当为偶数时， ，

所以.

故选：D.

4．（2022·广西·高二期末（文））“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了多年，如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记为图中虚线上的数，，，，…构成的数列的第项，则的值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

根据杨辉三角可得数列的递推公式，结合累加法可得数列的通项公式与.

【详解】

由已知可得数列的递推公式为，且，且，

故，

，

，

，

，

等式左右两边分别相加得，

，

故选：B.

5．（2022·云南·无高二开学考试）已知函数，若存在，使得不等式成立，则实数m的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

首先判断函数的奇偶性与单调性，依题意存在，使得成立，参变分离，即可求出参数的取值范围；

【详解】

解：因为定义域为，又，即为奇函数，且函数在上单调递增，所以为在定义域上单调递增的奇函数，

因为存在，使得成立，即成立，即成立，所以存在，使得成立，则成立，因为，所以，所以，即；

故选：A

6．（2022·北京市十一学校高二期末）某公司要建造一个长方体状的无盖箱子，其容积为48m3，高为3m，如果箱底每1m2的造价为15元，箱壁每1m2造价为12元，则箱子的最低总造价为（　　）

A．72元 B．300元 C．512元 D．816元

【答案】D

【解析】

【分析】

设这个箱子的箱底的长为x m，则宽为 m，设箱子总造价为f（x）元，则f (x)＝72(x)+240，由此利用均值不等式能求出箱子的最低总造价．

【详解】

设这个箱子的箱底的长为x m，则宽为 m，

设箱子总造价为f (x)元，

∴f (x)＝15×16+12×3(2x)＝72(x)+240≥144240＝816，

当且仅当x，即x＝4时，f（x）取最小值816元．

故选：D．

7．（2022·全国·高二课时练习）数列满足，则数列的前60项和等于（       ）

A．1830 B．1820 C．1810 D．1800

【答案】D

【解析】

【分析】

当为正奇数时，可推出，当为正偶数时，可推出，将该数列的前项和表示为，结合前面的规律可计算出数列的前项和.

【详解】

当为正奇数时，由题意可得，，

两式相加得；

当为正偶数时，由题意可得，，

两式相减得.

因此，数列的前项和为.

故选：D.

【点睛】

关键点点睛：本题考查数列求和，找出数列的规律是解题的关键，考查学生的推理能力与运算求解能力，分类讨论思想，属于中等题.

8．（2022·陕西·西安中学高二期末（文））对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数图象都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

根据“拐点”的概念可判断函数的对称中心，进而求解.

【详解】

，，，

令，解得：，

而，故函数关于点对称，

，

，

故选：B.

二、多选题

9．（2022·福建省龙岩第一中学高二开学考试）记数列的前n项和为，则下列条件中一定能得出是等比数列的有（       ）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【解析】

【分析】

应用特殊数列，令数列为的常数列即可判断A、D；利用关系求得、即可判断B；由对数的运算性质有，结合等比中项性质判断C.

【详解】

当为常数列且时，、都成立，但不是等比数列，A、D不符合要求；

B：由，则；当时，，即，故是首项为1，公比为2的等比数列；

C：由，即且，故是等比数列；

故选：BC

10．（2022·全国·高二单元测试）关于及其展开式，下列说法正确的是（       ）

A．该二项式展开式中二项式系数和是

B．该二项式展开式中第8项为

C．当时，除以100的余数是9

D．该二项式展开式中不含有理项

【答案】BC

【解析】

【分析】

由二项式系数和与各项系数和可判断A；由展开式通项可判断B和D，变形展开式可判断C.

【详解】

对于选项A：令得展开式各项系数和为，但其二项式系数和为，故A错误；

对于选项B：展开式中第8项为，故B正确；

对于选项C：当时，

，

能被100整除，

而，除以100的余数是9，

当时，除以100的余数是9，故正确；

对于选项D：的展开式的通项，

当为整数，即，3，，2021时，为有理项，故D错误.

故选：BC.

11．（2022·湖北·石首市第一中学高二阶段练习）对于函数图象上的任意一点，都存在另外一点，使得的图象在这两个不同点处的切线互相平行，则称函数具有性质，下列函数中不具有性质的有（       ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【解析】

【分析】

由至少有两个不同的解对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】

函数具有性质，等价于对于导函数值域中任意的值，至少有两个不同的解．

对于A，，当时，只有唯一的解，故函数不具有性质；

对于B，只有唯一的解，故函数不具有性质；

对于C，是周期函数，对于任意的，有无数个解，故函数具有性质；

对于D，在上单调递减，当时，不存在两个解，故函数不具有性质．

故选：ABD

12．（2022·福建·福州三中高二期末）关于函数，下列说法正确的是（       ）

A．函数在上单调递增

B．函数的值域是

C．对任意的正实数，方程总有两个实数解

D．若恒成立，则

【答案】AC

【解析】

【分析】

利用导数可确定在上恒成立，知A正确；由知B错误；

利用导数可分别求得和时的单调性，结合的正负可确定方程解的个数，知C正确；由且时不等式不恒成立知D错误.

【详解】

对于A，，

令，则当时，，

在上单调递增，，

即在上恒成立，在上单调递增，A正确；

对于B，，的值域不是，B错误；

对于C，由A的推导过程知：当时，在上单调递增，又，

且当时，，在上有且仅有一个解；

当时，由知：在上单调递减，

，在上单调递增；

当时，，，，

当时，；当时，；

在上有且仅有一个解；

综上所述：对任意的正实数，方程总有两个实数解，C正确；

对于D，当时，，，；

若此时，则不成立，D错误.

故选：AC.

三、填空题

13．（2022·江苏·昆山震川高级中学高二阶段练习）不等式的解集为________．

【答案】

【解析】

【分析】

直接利用排列数公式化简求解即可

【详解】

由，得

，

，

因为，所以，

所以，整理得

，解得，

因为，且，

所以得，

所以，

所以不等式的解集为，

故答案为：

14．（2022·重庆市第七中学校高二阶段练习）古人用天干、地支来记年，把天干中的一个字摆在前面，后面配上地支中的一个字，这样就构成一对干支，如“甲子”、“乙卯”等，现用天干的“甲、丙、戊、庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配，或用天干的“乙、丁、己、辛、癸”和地支的“丑、卯、巳、未、酉、亥”相配，则共可配成________对干支．

【答案】60

【解析】

【分析】

依题意分两种情况，按照分步乘法计数原理与分类加法计数原理计算可得；

【详解】

解：依题意，若用天干的“甲、丙、戊、庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配，则有对干支；

若用天干的“乙、丁、己、辛、癸”和地支的“丑、卯、巳、未、酉、亥”相配，则有对干支；

综上可得一共可配成对干支；

故答案为：

15．（2022·广东·普宁市华侨中学高二阶段练习）在等比数列中，已知，则________．

【答案】

【解析】

【分析】

求得等比数列的通项公式，再去求即可解决.

【详解】

设等比数列首项为，公比为

则，解之得，则

则数列是首项为，公比为的等比数列.

则

故答案为：

16．（2022·四川省通江中学高二阶段练习（理））已知函数，，当实数的取值范围为________时，的零点最多.

【答案】

【解析】

【分析】

作出函数的图象，由得，设，分，，分别讨论与的交点个数，当时，求得与相切时切线的斜率，与相切时切线的斜率，由此可求得实数的取值范围.

【详解】

解：作出函数的图象如图：

由得，设，

当时，与有2个交点；

当时，与有2个交点；.

当时，设与相切，切点为，则，所以切线的斜率为，

其切线方程为：，

又因切线恒过点，所以，解得，所以切线的斜率为，当时，设与相切，切点为，则，所以切线的斜率为，

其切线方程为：，

又因切线恒过点，所以，解得，所以切线的斜率为，

所以当时，与有1个交点；

当时，与有2个交点；

当时，与有3个交点；

当时，与有4个交点；

所以实数的取值范围为时，的零点最多，

故答案为：.

四、解答题

17．（2022·山西朔州·高二期末（文））（1）若在是减函数，求实数m的取值范围；

（2）已知函数在R上无极值点，求a的值.

【答案】（1）；（2）1

【解析】

【分析】

（1）将问题转化为在内恒成立，求出的最小值，即可得到答案；

（2）对函数求导得，由，即可得到答案；

【详解】

（1）依题意知，在内恒成立，

所以在内恒成立，所以，

因为的最小值为1，

所以，所以实数m的取值范围是.

（2），依题意有，

即，，解得.

18．（2022·浙江·义乌市商城学校高二阶段练习）某工厂共有10台机器共同生产一种仪器的元件，由于受生产能力和技术水平等因素的影响，会产生一定数量的次品.根据经验知道，每台机器生产的次品数（万件）与每台机器的日产量（万件）之间满足关系：，已知每生产1万件合格的元件可盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元.

(1)试将该工厂每天生产这种元件所获得的利润（万元）表示为关于（万件）的函数（利润盈利亏损）；

(2)当每台机器的日产量（万件）为多少时，获得的利润最大，最大利润为多少?

【答案】(1)

(2)日产量为6（万件）时所获得的利润最大，最大利润为万元．

【解析】

【分析】

（1）利用利润盈利亏损，得到与的关系，将代入整理即可；

（2）对（1）的解析式求导，判定取最大值时的值，求最大利润．

(1)

解：由题意，所获得的利润为

(2)

解：由（1），所以，

令，得到或（舍去）；

所以当，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减；

所以当时，函数取极大值，即最大值，

所以当时利润最大，为（万元），

当每台机器的日产量为6（万件）时所获得的利润最大，最大利润为万元．

19．（2022·辽宁·沈阳市第八十三中学高二开学考试）已知数列{an}满足(an＋1－1)(an－1)＝3(an－an＋1)，a1＝2，令bn＝.

(1)证明：数列{bn}是等差数列；

(2)求数列{an}的通项公式．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【解析】

【分析】

（1）要证明{bn}是等差数列，即证明－等于一个常数即可.

（2）由（1）知bn＝n＋，又因为bn＝，即可求出{an}的通项公式.

(1)

证明：∵(an＋1－1)(an－1)＝3(an－an＋1)

－＝＝，

∴bn＋1－bn＝，∴{bn}是以首项为b1＝＝＝1，公差为的等差数列．

(2)

由(1)及b1＝＝＝1，知bn＝n＋，∴an－1＝，∴an＝.

20．（2022·重庆南开中学高二期末）已知函数.

(1)若与在处有相同的切线，求实数的取值；

(2)若时，方程在上有两个不同的根，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）根据导数的几何意义求得函数在处的切线方程，再由有相同的切线这一条件即可求解；

（2）先分离，再研究函数的单调性，最后运用数形结合的思想求解即可.

(1)

设公切线与的图像切于点，

在处的切线为，

由题意得：；

(2)

当时，，①

，①式可化为为，

令

令，，

在上单调递增，在上单调递减.

，当时，

由题意知：

21．（2022·四川省通江中学高二阶段练习（理））已知正项数列的前项和为，且 ；

(1)求数列的通项公式；

(2)求数列的前项和.

【答案】(1)

(2)当时;当 时,;

【解析】

【分析】

（1）利用时，，结合可得，由此求得，进而求得数列的通项公式；

（2）求出 时的结果，当 时，利用裂项相消法求得结果，即得答案.

(1)

由题意正项数列的前项和为，

当时， ，

故，所以 ，

即，所以 是以为首项，以1为公差的等差数列，

则 ，

所以 ，

即，

但 不适合上式，故；

(2)

当 时，；

当 时，

.

22．（2022·福建省龙岩第一中学高二阶段练习）已知函数．

（1）若恒成立，求实数的取值范围．

（2）若函数的两个零点为，，证明：．

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】

【分析】

（1）分离常数后构造函数，求导后利用函数的单调性求得函数的最小值即可得出结论；（2）要证，即要证，即证．构造函数，求导后利用函数的单调性求解即可.

【详解】

（1）解：因为恒成立，所以，

即恒成立．

令，则，

易知在上单调递增，且．

所以当时，；当时，．

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以，故．

（2）证明：由题意可知方程的两根为，．

令，则的两个零点为，．

．

当时，，在上单调递增，不存在两个零点；

当时，在上单调递增，在上单调递减，

则，得．

设，则，．

因为，所以，．

要证，即要证，即证．

令

，．

则，所以在上单调递减，所以．

因为，所以．

因为，，且在上单调递减，

所以，即，故成立．