2020-2021学年5 共点力的平衡导学案

专题三　共点力的平衡

基础知识：

一、受力分析

1．把指定物体(研究对象)在特定的物理环境中受到的所有外力都找出来，并画出受力示意图的过程．

2．一般步骤

二、共点力的平衡

1．平衡状态

物体处于静止状态或匀速直线运动状态．

2．平衡条件

F合＝0或者

如图甲和乙所示，小球静止不动，物块匀速运动．

则小球F合＝0；

物块Fx＝0，Fy＝0.

3．平衡条件的推论

(1)二力平衡：如果物体在两个共点力的作用下处于平衡状态，这两个力必定大小相等，方向相反．

(2)三力平衡：如果物体在三个共点力的作用下处于平衡状态，其中任何一个力与另外两个力的合力大小相等，方向相反，并且这三个力的矢量可以形成一个封闭的矢量三角形．

(3)多力平衡：如果物体在多个共点力的作用下处于平衡状态，其中任何一个力与另外几个力的合力大小相等，方向相反．

命题点一 整体法与隔离法

例1.如图所示，水平地面上的L形木板M上放着小木块m，M与m间有一个处于压缩状态的弹簧，整个装置处于静止状态。下列说法正确的是(　　)

A．M对m的摩擦力方向向左

B．M对m无摩擦力作用

C．地面对M的摩擦力方向向右

D．地面对M无摩擦力作用

解析：对m受力分析，m受到重力、支持力、水平向左的弹力，根据平衡知，M对m的摩擦力方向向右，故A、B错误；对整体受力分析，在竖直方向上重力和支持力平衡，若地面对M有摩擦力，则整体不能平衡，故地面对M无摩擦力作用，答案D。

1-1.如图所示，质量M＝2 kg的木块套在水平固定杆上，并用轻绳与质量m＝1 kg的小球相连，现用与水平方向成60°角的力F＝10 N拉着小球并带动木块一起向右匀速运动，运动过程中木块与小球的相对位置保持不变，g取10 m/s2。在运动过程中，求：木块M与水平杆间的动摩擦因数μ。

解析：木块与小球组成的系统处于平衡状态，则木块与小球组成的系统所受合力为零。以木块与小球组成的系统为研究对象，根据共点力的平衡条件，

水平方向有Fcos 60°－μFN＝0，

竖直方向有FN＋Fsin 60°－Mg－mg＝0，

代入数据解得μ＝。

1-2.如图所示，用完全相同的轻弹簧A、B、C将两个相同的小球连接并悬挂，小球处于静止状态，弹簧A与竖直方向的夹角为30°，弹簧C水平，则弹簧A、B的伸长量之比为(　　)

A.∶4　　　　　B．4∶

C．1∶2          D．2∶1

解析：将两小球及弹簧B视为整体进行受力分析，如图所示，有：， ；再单独分析下面的小球可以得到

，选项B正确。

1-3.如图所示，质量为M的半球体放在粗糙水平地面上，细绳一端固定在天花板上，另一端拴住质量为m的可视为质点的光滑小球，小球置于半球体上的A点，细绳与半球体A处的切线平行，半径OA与水平方向的夹角θ＝60°，小球和半球体都处于静止状态(当地重力加速度大小为g)。求：

(1)小球对半球体的压力大小；

(2)半球体受到地面摩擦力的大小和方向。

解析：(1)对小球进行受力分析，将重力沿A点所在处的切线方向和垂直于切线的方向进行分解，如图1所示，根据共点力平衡的条件可知，半球体对小球的支持力FN＝mgsin θ，解得FN＝mg，

细绳对小球的拉力FT＝mgcos θ，解得FT＝mg，根据牛顿第三定律可知，小球对半球体压力的大小FN′＝FN＝mg。

(2)对小球和半球体构成的整体进行受力分析，将细绳对小球的拉力沿水平方向与竖直方向分解，如图2所示，

由水平方向上受力平衡有Ff＝FTsin θ，解得Ff＝mg，方向水平向左。

答案：　(1)mg　(2)mg，方向水平向左

命题点二　动态平衡问题

1．动态平衡

动态平衡就是通过控制某一物理量，使物体的状态发生缓慢的变化，但变化过程中的每一个状态均可视为平衡状态，所以叫动态平衡．

2．常用方法

例2.如图所示，一物体静止于倾斜的木板上，当倾角θ缓慢增大，直至物体开始滑动之前的过程中，下列说法正确的是(　　)

A．物体对木板的压力逐渐减小

B．物体所受的支持力和摩擦力都减小

C．物体所受支持力和摩擦力的合力变大

D．物体所受重力、支持力和摩擦力这三个力的合力逐渐增大

解析：物体受力分析如图所示，由平衡条件得FN＝Mgcos θ　①，

Ff＝Mgsin θ　②，在θ逐渐增大的过程中，由①式可知FN逐渐减小，由②式知Ff逐渐增大，A正确，B错误；由物体处于平衡状态可知：支持力FN、摩擦力Ff与重力Mg三者的合力为零，D错误；支持力FN和摩擦力Ff的合力与重力Mg等大反向，C错误。答案A。　

2-1.如图所示，两个质量都是m的小球A、B用轻杆连接后斜放在墙上处于平衡状态。已知墙面光滑，水平地面粗糙，现将A球向下移动一小段距离，两球再次达到平衡，那么将移动后的平衡状态和原来的平衡状态比较，地面对B球的支持力FN和地面对B球的摩擦力Ff的变化情况是(　　)

A．FN不变   

B．FN变大

C．Ff不变   

D．Ff变小

解析：对整体进行受力分析，知竖直方向：FN＝2mg，移动两球后，仍然平衡，则FN仍然等于2mg，所以FN不变；水平方向：地面对B的摩擦力Ff等于竖直墙壁对A的弹力；再对A隔离进行受力分析，墙壁对A球的弹力FN′＝mgtan θ，当A球向下移动一小段距离，夹角θ增大，所以FN′增大，地面对B球的摩擦力Ff变大。选项A正确。

2-2.如图所示，重力为G的物体通过绳OA、OB拴在半圆支架MN上，开始时，OA与竖直方向成37°角，OB与OA垂直，下列说法正确的是(　　)

A.此时绳OA中的拉力为0.6G

B.此时绳OA中的拉力为1.25G

C.保持OA不动，沿圆弧上移B点，OA绳中拉力变小

D.保持OA不动，沿圆弧下移B点，OB绳中拉力变小

解析：对结点O进行受力分析，如图1所示，结点O所受合力为零，根据共点力的平衡条件可知绳子OA和OB的拉力FTA、FTB的合力与重物向下拉O点的力F(F＝G)等大反向，根据几何关系得FTA＝Gcos 37°＝0.8G，故OA绳上的拉力大小为0.8G，A、B错误；画出力的矢量三角形，如图2所示，若保持绳子OA不动，沿圆弧上移B点，绳子OA上的拉力FTA逐渐减小，C正确；若保持OA不动，沿圆弧下移B点，OB绳中的拉力FTB将增大，D错误。选项C正确

2-3.(2021·湖南高考)质量为M的凹槽静止在水平地面上，内壁为半圆柱面，截面如图所示，A为半圆的最低点，B为半圆水平直径的端点。凹槽恰好与竖直墙面接触，内有一质量为m的小滑块。用推力F推动小滑块由A点向B点缓慢移动，力F的方向始终沿圆弧的切线方向，在此过程中所有摩擦均可忽略，下列说法正确的是(　　)

A．推力F先增大后减小

B．凹槽对滑块的支持力先减小后增大

C．墙面对凹槽的压力先增大后减小

D．水平地面对凹槽的支持力先减小后增大

解析　对小滑块受力分析，如图所示，由题意可知，推力F与凹槽对滑块的支持力FN始终垂直，即α＋β始终为90°，在小滑块由A点向B点缓慢移动的过程中，α减小，β增大，而F＝mgcos α、FN＝mgsin α，可知推力F一直增大，凹槽对滑块的支持力FN一直减小，A、B错误；对小滑块和凹槽整体根据平衡条件可得，墙面对凹槽的压力大小FN1＝Fsin α＝mgsin 2α，水平地面对凹槽的支持力FN2＝Mg＋mg－Fcos α，在小滑块由A点向B点缓慢移动的过程中，α由逐渐减小到零，根据数学知识可知墙面对凹槽的压力先增大后减小，水平地面对凹槽的支持力一直减小，C正确，D错误。

例3.如图所示，一小球放置在木板与竖直墙面之间，设墙面对球的弹力大小为FN1，木板对球的弹力大小为FN2，以木板与墙面连接点所形成的水平直线为轴，将木板从图示位置开始缓慢地转到水平位置，不计摩擦，在此过程中(　　)

A．FN1始终减小，FN2始终增大

B．FN1始终减小，FN2始终减小

C．FN1先增大后减小，FN2始终减小

D．FN1先增大后减小，FN2先减小后增大

解析：对球受力分析，球受3个力：重力G、墙面对球的弹力FN1和木板对球的弹力FN2，当木板逐渐转至水平的过程中，球始终处于平衡状态，即FN1与FN2的合力F始终竖直向上，大小等于球受到的重力G，如图所示，由图可知FN1的方向不变，大小逐渐减小，FN2的方向发生变化，大小也逐渐减小，选B。

3-1.甲、乙两人用两绳aO和bO通过装在P楼和Q楼楼顶的定滑轮，将质量为m的物块由O点沿Oa直线缓慢向上提升，如图9所示．则在物块由O点沿直线Oa缓慢上升过程中，以下判断正确的是(　　)

A．aO绳和bO绳中的弹力都逐渐减小

B．aO绳和bO绳中的弹力都逐渐增大

C．aO绳中的弹力先减小后增大，bO绳中的弹力一直在增大

D．aO绳中的弹力一直在增大，bO绳中的弹力先减小后增大

解析　以物块为研究对象，分析受力情况：重力G、绳bO的拉力F和绳aO的拉力FT，由平衡条件得知，F和FT的合力与G大小相等、方向相反，当将物块沿直线Oa向上缓慢移动，aO绳方向不变则FT方向不变，bO绳绕O点逆时针转动，作出转动过程三个位置力的合成图如图所示，由F3到F2到F1的过程，由图可以看出aO绳弹力FT一直变大，bO绳弹力F先减小后变大，选项D正确．

3-2.(2021·济南高一检测)如图所示，一定质量的物体通过轻绳OC悬挂，结点为O。人沿水平方向拉着OB绳，物体和人均处于静止状态。若人的拉力方向不变，缓慢向左移动一小段距离，下列说法正确的是(　　)

A．OA绳中的拉力先减小后增大

B．OB绳中的拉力不变

C．人对地面的压力逐渐减小

D．地面对人的摩擦力逐渐增大

解析：以结点O为研究对象进行受力分析，O点受到OA、OB、OC三根绳子的拉力而处于平衡状态，由三角形定则可知，三个拉力依次首尾相连会构成闭合三角形，如图甲所示；当人向左缓慢移动时，OA绳与竖直方向的夹角α变大，但是结点O始终处于平衡状态，所以三根绳子的拉力依次首尾相连仍然能构成闭合三角形，如图乙所示；由图乙可知OA绳中的拉力逐渐增大，OB绳中的拉力逐渐增大，A、B错误。在人向左缓慢移动的过程中，对人受力分析，受到重力、弹力、OB绳的拉力以及地面的摩擦力，如图丙所示，由平衡关系可知，人对地面的压力等于人的重力Mg，且保持不变，C错误。地面对人的摩擦力大小等于OB绳中的拉力，所以地面对人的摩擦力逐渐增大，选D。　

3-3.将两个质量均为m的小球a、b用细线相连后，再用细线悬挂于O点，如图所示。用力F拉小球b，使两个小球都处于静止状态，且细线OA与竖直方向的夹角保持θ＝30 °，重力加速度为g，则F的最小值为(　　)

A.mg   

B．mg

C.mg   

D.mg

解析：以a、b为整体，整体受重力2mg，细线OA的拉力FT及拉力F三个力而平衡，如图所示，三个力构成的矢量三角形中，当力F垂直于细线OA的拉力FT时有最小值，且最小值F＝2mgsin θ＝mg，选项B正确。

3-4.如图所示，物体甲放置在水平地面上，通过跨过定滑轮的轻绳与小球乙相连，整个系统处于静止状态。现对小球乙施加一个水平力F，使小球乙缓慢上升一小段距离，整个过程中物体甲保持静止，甲受到地面的摩擦力为f，则该过程中（   ）

A．f变小，F变大      B．f变小，F变小

C．f变大，F变小      D．f变大，F变大

解析 以小球乙为研究对象受力分析，设绳与竖直方向的夹角为，根据平衡条件可得，水平拉力为F=mgtanα，可见水平拉力F逐渐增大，绳子的拉力为，故绳子的拉力也是逐渐增加；以物体甲为研究对象受力分析，根据平衡条件可得，物体甲受地面的摩擦力与绳子的拉力的水平方向的分力等大反向，故摩擦力方向向左，是逐渐增大；答案D。

例4.如图所示，轻杆A端用铰链固定在墙上，B端吊一重物。通过轻绳跨过定滑轮O用拉力F将B端缓慢上拉，滑轮O在A点正上方(滑轮大小及摩擦均不计)，且OA>AB，在轻杆达到竖直位置前(　　)

A．拉力F增大　　　　　 

B．拉力F大小不变

C．轻杆的弹力增大   

D．轻杆的弹力大小不变

解析　以B端为研究对象，受力分析：受重物的拉力FT(等于重物所受的重力G)、轻杆的弹力FN和轻绳的拉力F，作出受力分析图如图所示。

由平衡条件得知，FN和F的合力与FT大小相等，方向相反，根据三角形相似可得＝＝，又FT＝G，解得FN＝G，F＝G；拉力F将B端缓慢上拉，∠BAO缓慢变小，AB、AO保持不变，BO变小，则轻杆弹力FN保持不变，拉力F变小，选项D正确。

4-1．如图所示，质量为M、半径为R的半球形物体A放在水平地面上，通过最高点处的钉子用水平细线拉住一质量为m、半径为r的光滑球B，则A对地面的压力为______，B对A的压力为______。

解析：先将两个物体作为一个整体可知A对地面的压力

，再对B进行受力分析如图所示，设支持力与水平放向夹角为θ，则

可得

答案：       

4-2.如图所示，一斜面固定在水平面上，一半球形物体固定在斜面上，球心O的正上方有一定滑轮A(视为质点)，细线的一端与一质量分布均匀的光滑圆球B连接，另一端绕过滑轮A在水平向右的拉力F作用下使圆球B保持静止．改变拉力F的大小，使圆球B从两球心等高的位置缓慢移动到圆球B的球心正好在O点的正上方(不考虑该位置的情况)．圆球B不会与定滑轮A接触，则下列说法正确的是(　　)

A．拉力F一直增大

B．拉力F先增大后减小

C．半球形物体对圆球B的支持力先增大后减小

D．半球形物体对圆球B的支持力大小保持不变

解析　对圆球B受力分析，并合成三角形如图．根据几何关系可知图中力构成的矢量三角形与阴影部分的三角形相似，则＝＝.移动过程中，高度h和两球的球心距r不变，所以半球形物体对圆球B的支持力大小保持不变，绳子长度l变短，F减小，答案　D．

4-3.(多选)如图所示，质量均为m的小球A、B用劲度系数为k1的轻弹簧相连，小球B用长为L的细绳悬于O点，小球A固定在O点正下方，当小球B平衡时，细绳所受的拉力为FT1，弹簧的弹力为F1；现把A、B间的弹簧换成原长相同，但劲度系数为k2(k2>k1)的另一轻弹簧，在其他条件不变的情况下仍使系统平衡，此时细绳所受的拉力为FT2，弹簧的弹力为F2。下列关于FT1与FT2、F1与F2大小之间的关系正确的是(　　)

A．FT1>FT2　　　　 　 　　 

B．FT1＝FT2

C．F1<F2   

D．F1＝F2

解析：以小球B为研究对象，受力分析如图所示。由平衡条件可知，弹簧的弹力F和细绳的拉力FT的合力F合与小球的重力mg大小相等，方向相反，即F合＝mg，由三角形相似得：＝＝。当弹簧劲度系数变大时，弹簧的压缩量减小，故AB长度增加，而OB、OA的长度不变，故FT1＝FT2，F2>F1，选BC。