专题05 不等式（组）及其应用-2022年中考数学真题分类集训营（全国通用）

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专题05 不等式（组）及其应用
考点一 不等式的基本性质
1、（2021·宿迁）若a＞b，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．2a＞b＋2 B．a＋1＞b＋1 C．－a＞－b D．
{答案}B{解析}∵a＞b，∴a＋1＞b＋1，故选B．
2、（2021·杭州）若a＞b，则（　　）
A．a－1≥b B．b＋1≥a C．a＋1＞b－1 D．a－1＞b十1
{答案}C
{解析}本题考查了不等式的性质．因为a＞b，根据“不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变”，得a－1＞b－1．因为a＋1＞a－1，所以a＋1＞b－1，因此本题选C．
3、（2021·贵阳）（3分）已知a＜b，下列式子不一定成立的是（　　）
A．a﹣1＜b﹣1 B．﹣2a＞﹣2b C．12a+1＜12b+1 D．ma＞mb
{答案} D．{解析}解：A、在不等式a＜b的两边同时减去1，不等号的方向不变，即a﹣1＜b﹣1，原变形正确，故此选项不符合题意；
B、在不等式a＜b的两边同时乘以﹣2，不等号方向改变，即﹣2a＞﹣2b，原变形正确，故此选项不符合题意；
C、在不等式a＜b的两边同时乘以12，不等号的方向不变，即12a＜12b，不等式12a＜12b的两边同时加上1，不等号的方向不变，即12a+1＜12b+1，原变形正确，故此选项不符合题意；
D、在不等式a＜b的两边同时乘以m，不等式不一定成立，即ma＞mb，或ma＜mb，或ma＝mb，原变形不正确，故此选项符合题意．故选：D．
4、（2021·常州）如果x＜y，那么下列不等式正确的是(　　)
A．2x＜2y B．－2x＜－2y C．x－1＞y－1 D．x＋1＞y＋1
{答案}A
{解析}本题考查了不等式的性质，其中A项两边同乘以一个正数，不等号方向应该不变，所以正确，B项两边同时乘以一个负数，不等号方向应该改编，C、D两选项不等式两边同时加上或减去同一个数，不等号方向不变．

考点二 解不等式（组）及其解集表示
5、（2021·嘉兴）不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）

A． B． C． D．
{答案}A
{解析}本题考查了不等式的解法以及解集在数轴上的表示.此题的解答过程如下：
去括号，得.移项，得.合并同类项、系数化1，得.因此本题选A．
6、（2021·衢州）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
{答案}C
{解析}由第一个不等式得x≤1，由第二个不等式得x＞－1，根据“小大大小中间找”可知不等式组的解集为﹣1＜x≤1．因此本题选C．
7、（2021·苏州）不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
{答案}C{解析}本题考查了不等式的解法及在数轴上表示不等式的解集，解不等式得x≤2，在数轴上表示为，因此本题选C．
8．（2021·衡阳）不等式组的解集在数轴上表示正确的是 （ ）

A B C D

{答案}C{解析}本题考查了一元一次不等式组的解法以及解集在数轴上的表示，先求出每个不等式的解集，再确定出各个解集的公共部分作为不等式组的解集．解不等式①得x≤1；解不等式②得，得x>－2，所以不等式组的解集为－2＜x≤1，所以解集在数轴上表示时－2对应的点用空心圆点，1对应的点用实心圆点，故选C．
9、.（2021·株洲）下列哪个数是不等式的一个解？（ ）
A. -3 B. C. D. 2
{答案}A
{解析}首先求出不等式的解集，然后判断哪个数在其解集范围之内即可．
解不等式，得
因为只有-31．
{解析}先去分母，再移项合并同类项，最后将系数化为1.
{答案}解:去分母，得 2x－1＞2.移项，得 2x＞3.系数化为1，得 x＞.
14、（2021·泰安）（2）解不等式：—1＜．
（2）解：不等式两边都乘以12，得
4（x＋1）—12＜3（x—1）
即4x＋4—12＜3x—3
4x—3x＜8—3
解得x＜5
∴原不等式组的解集是x＜5．
15、（2021·黄冈）解不等式，并在数轴上表示其解集．
{解析}本题考查了解一元一次不等式．解一元一次不等式的步骤和解一元一次方程的步骤相同，特别注意的一是去分母时，每项都要乘6；二是系数化为1时，不等式两边都除以同一个负数时，不等号要改变方向；三是解集还要在数轴上表示出来．
{答案}解：去分母，得 4x+3≥3x
移项，得 x≥﹣3
把解集在数轴上表示如下：

16、（2021·陕西）解不等式组：
{解析}分别解出不等式组中每个不等式，再利用数轴写出原不等式组的解集．
{答案}解:解不等式①，得x＞2，解不等式②，得x＜3，所以原不等式组的解集为：2＜x＜3．
17、.(2021·成都)（2）解不等式组：4(x-1)≥x+2，①2x+13＞x-1．②．
{答案}（2）4(x-1)≥x+2，①2x+13＞x-1．②，由①得，x≥2；由②得，x＜4，
故此不等式组的解集为：2≤x＜4．{解析}分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．

考点三 不等式（组）的特殊解
18、（2021·天水）若关于x的不等式3x＋a≤2只有2个正整数解，则a的取值范围为（　　）
A．－7＜a＜－4 B．－7≤a≤－4 C．－7≤a＜－4 D．－7＜a≤－4
{答案}D
{解析}解不等式3x＋a≤2得到x≤，显然不等式2个正整数解，只有1和2，所以2≤＜3，解得－7＜a≤－4，因此本题选D．
19、（2021·天水）若关于x的不等式3x＋a≤2只有2个正整数解，则a的取值范围为（　　）
A．－7＜a＜－4 B．－7≤a≤－4 C．－7≤a＜－4 D．－7＜a≤－4
{答案}D
{解析}解不等式3x＋a≤2得到x≤，显然不等式2个正整数解，只有1和2，所以2≤＜3，解得－7＜a≤－4，因此本题选D．
20、(2021·潍坊)若关于x的不等式组有且只有3个整数解，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
{答案}C
{解析}本题考查了不等式组的解集.先求出不等式组的解集：，再利用不等式组有三个整数解，逆推出a的取值范围．∵不等式组有三个整数解，∴，解得：，故选：C．
21、（2021·黑龙江龙东）若关于x的一元一次不等式组x-1＞02x-a＞0的解是x＞1，则a的取值范围是　 　．
{答案} a≤2．{解析}本题考查了二元一次不等式的解法，解：解不等式x﹣1＞0，得：x＞1，
解不等式2x﹣a＞0，得：x＞a2，∵不等式组的解集为x＞1，∴a2≤1，
解得a≤2，故答案为：a≤2．

22．（2021·绵阳）若不等式＞―x―的解都能使不等式(m―6)x＜2m＋1成立，则实数m的取值范围是　 　．
{答案}≤m＜6
{解析}不等式＞―x―的解为x＞―4．∵不等式＞―x―的解都能使不等式(m―6)x＜2m＋1成立，∴ ，解得≤m＜6．故答案为≤m＜6．
23、（2021·凉山州）若不等式组恰有四个整数解，则a的取值范围是 ．
{答案}．{解析}不等式①的解集为x＞8，不等式②的解集为x＜2－4a，故原不等式组的解集为8＜x＜2－4a．∵该不等式组恰有四个整数解，∴x＝9，10，11，12．∴12＜2－4a≤13，解得．故答案为．
/24、（2021·扬州）解不等式组，并写出它的最大负整数解.
解：解不等式x+5≤0，得x≤﹣5，解不等式2x+1，得x≤﹣3，则不等式组的解集为x≤﹣5，所以不等式组的最大负整数解为﹣5．

考点四 一元一次不等式（组）应用
/25、（2021·杭州）在某次演讲比赛中，五位评委给选手圆圆打分，得到互不相等的五个分数．若去掉一个最高分，平均分为x；去掉一个最低分，平均分为y；同时去掉一个最高分和一个最低分，平均分为z，则（　　）
A． B． C． D．
{答案}A
{解析}本题考查了算术平均数，设五位评委给选手圆圆打分为a，b，c，d，e，其中a＜b＜c＜d＜e，则x＝(a＋b＋c＋d)，y＝(b＋c＋d＋e)，z＝(b＋c＋d)，所以x－z＝(a＋b＋c＋d)－(b＋c＋d)＝(3a－b－c－d)，因为a＜b，a＜c，a＜d，所以a＋a＋a＜b＋c＋d，即3a－b－c－d＜0，所以x－z＜0，所以x＜z，即z＞x．因为y－z＝(b＋c＋d＋e)－ (b＋c＋d)＝(3e－b－c－d)，因为b＜e，c＜e，d＜e，所以b＋c＋d＜3e，所以3e－b－c－d＞0，所以y－z＞0，所以y＞z．综合知y＞z＞x，因此本题选A．
26、（2021·重庆B卷）小明准备用40元钱购买作业本和签字笔．已知每个作业本6元，每支签字笔2.2元．小明买了7支签字笔，他最多还可以买的作业本个数为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
{答案}B
{解析}本题考查了不等式的应用，设小明买了x个作业本，根据题意，得6x+2.2×7≤40，解得x≤4.1，即他最多还可以买4个作业本，因此本题选B
/27、（2021·宜宾）某单位为响应政府号召，需要购买分类垃圾桶6个，市场上有A型和B型两种分类垃圾桶，A型分类垃圾桶500元/个，B型分类垃圾桶550元/个，总费用不超过3100元，则不同的购买方式有（　　）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
{答案}B
{解析}设购买A型分类垃圾桶x个，则B型分类垃圾桶（6－x）个，根据“总费用不超过3100元”列出不等式500x＋550（6－x）≤3100，解得x≥4，又由于6－x≥0，得x≤6，因为x为整数，所以x＝4，5，6，6－x＝2，1，0，所以不同的购买方式有3种．
/28、（2021·绍兴）有两种消费券：A券，满60元减20元，B券，满90元减30元，即一次购物大于等于60元、90元，付款时分别减20元，30元．小敏有一张A券，小聪有一张B券，他们都购了一件标价相同的商品，各自付款，若能用券时用券，这样两人共付款150元，则所购商品的标价是　 　元．
{答案}85或100
{解析}本题考查了一元一次方程的应用，分类讨论思想．不妨设商品标价为x元，若x≤60，显然不成立；若60＜x＜90，则2x-20=150，得x=85；若x≥90，则2x-20-30=150，x=100，综上所述，x=85或100．因此本题答案为85或100．
29、(2021·南充）14.笔记本5元/本，钢笔7元/支，某同学购买笔记本和钢笔恰好用去100元，那么最多可以购买钢笔 支.
{答案}10
{解析}设购买了笔记本x本，钢笔y支，由题意得：5x+7y=100.所以≥0.解得.所以y可以取14，13，12，11，10,9,8,7,6,5,4,3,2,1,0.又因为x，y要取整数，所以y取5的倍数即10，5.而最大的是10.所以钢笔最多买10支.
30、（2021·苏州）如图，“开心”农场准备用的护栏围成一块靠墙的矩形花园，设矩形花园的长为，宽为.

（1）当时，求的值；
（2）受场地条件的限制，的取值范围为，求的取值范围.
{解析}（1）根据a，b关系列代数式，求时代数式的值；（2）根据的取值范围列一元一次不等式组求解．
{答案}解：（1）由题意得：，当时，.解得.
（2）∵，，∴解这个不等式组，得.
答：矩形花园宽的取值范围为.

考点五 方程与不等式（组）的实际应用
31、（2021·常州）(8分)某水果店销售苹果和梨，购买1千克苹果和3千克梨共需26元，购买 2千克苹果和1千克梨共需22元．
（1）求每千克苹果和每千克梨的售价；
（2）如果购买苹果和梨共15千克，且总价不超过100元，那么最多购买多少千克苹果？
{答案}解：（1）1千克苹果x元，1千克梨y元；
所列方程组为x＋3y＝262x＋y＝22，
解得
答：1千克苹果8元，1千克梨6元.
（2）设购买苹果a千克，则购买梨（15－a）千克
8a＋6(15－a)≤100
a≤5
答：最多买5千克苹果．
{解析}考查列二元一次方程组及列一元一次不等式解决实际问题；（1）根据两个总价得到相应的关系式是解决本题的关键．关系式为：1千克苹果与2千克梨的总价＝13；2千克苹果与1千克梨的总价＝14，把相关数值代入即可．（2）根据总价不超过100元列不等式．
32、（2021·福建）某公司经营甲、乙两种特产，其中甲特产每吨成本价为10万元，销售价为10.5万元；乙特产每吨成本价为1万元，销售价为1.2万元.由于受有关条件限制，该公司每月这两种特产的销售量之和都是100吨，且甲特产的销售量都不超过20吨.
（1）若该公司某月销售甲、乙两种特产的总成本为235万元，问这个月该公司分别销售甲、乙两种特产各多少吨？
（2）求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润.
{答案}解：（1）设这个月该公司销售甲特产吨，则销售乙特产吨.
依题意，得，
解得，则.
经检验符合题意.
所以，这个月该公司销售甲特产15吨，乙特产85吨.
（2）设一个月销售甲特产吨，则销售乙特产吨，且.
公司获得的总利润.
因为，所以随着的增大而增大.
又因为，
所以当时，公司获得的总利润的最大值为26万元.
故该公司一个月销售这两种特产能获得的最大总利润为26万元.
/33、（2021·哈尔滨）昌云中学计划为地理兴趣小组购买大、小两种地球仪.若购买1个大地球仪和3个小地球仪需用136元；若购买2个大地球仪和1个小地球仪需用132元.
（1）求每个大地球仪和每个小地球仪各多少元；
（2）昌云中学决定购买以上两种地球仪共30个，总费用不超过960元，那么昌云中学最多可购买多少个大地球仪？
{解析}本题考查了二元一次方程组，一元一次不等式的应用；能够通过已知条件列出准确的方程组和不等式是解题的关键，（1）设每个大地球仪x元，每个小地球仪y元，根据题意得：，求解即可；（2）设设昌云中学可以购买m个大地球仪,则购买小地球仪(30－m)个，根据题意不超过是≤，所以列式得：52m＋28(30－m)≤960，即可求解．
{答案}解：(1)解:设每个大地球仪x元，每个小地球仪y元
根据题意得 解得∴每个大地球仪52元，每个小地球仪28元
(2)解:设昌云中学可以购买m个大地球仪,则购买小地球仪(30－m)个.
根据题意得52m＋28(30－m)≤960解得m≤5∴昌云中学最多可以购买5个大地球仪.
/34（2021·济宁）20.(8分)为加快复工复产，某企业需运输批物资．据调查得知，2辆大货车与3辆小货车一次可以运输600箱；5辆大货车与6辆小货车一次可以运输1350箱．
（1）求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运输多少箱物资；
（2）计划用两种货车共12辆运输这批物资，每辆大货车一次需费用5000元，每辆小货车一次需费用3000元．若运输物资不少于1500箱，且总费用小于54000元．请你列出所有运输方案，并指出哪种方案所需费用最少．最少费用是多少？
{解析}（1）设1辆大货车一次运输x箱物资，1辆小货车一次运输y箱物资，由“2辆大货车与3辆小货车一次可以运输600箱；5辆大货车与6辆小货车一次可以运输1350箱”，可列方程组，即可求解；
（2）设有a辆大货车，（12﹣a）辆小货车，由“运输物资不少于1500箱，且总费用小于54000元”可列不等式组，可求整数a的值，即可求解．
{答案}解：（1）设1辆大货车一次运输x箱物资，1辆小货车一次运输y箱物资，
由题意可得：，
解得：，
答：1辆大货车一次运输150箱物资，1辆小货车一次运输100箱物资，
（2）设有a辆大货车，（12﹣a）辆小货车，
由题意可得：，
∴6≤a＜9，
∴整数a＝6，7，8；
当有6辆大货车，6辆小货车时，费用＝5000×6+3000×6＝48000元，
当有7辆大货车，5辆小货车时，费用＝5000×7+3000×5＝50000元，
当有8辆大货车，4辆小货车时，费用＝5000×8+3000×4＝52000元，
∵48000＜50000＜52000，
∴当有6辆大货车，6辆小货车时，费用最小，最小费用为48000元．
35、（2021·德州）23.（12分）小刚去超市买画笔，第一次花60元买了若干支A型画笔，第二次超市推荐了B型画笔，但B型画笔比A型画笔的单价贵2元，他又花100元买了相同支数的B型画笔.
（1）超市B型画笔单价多少元？
（2）小刚使用两种画笔后，决定以后使用B型画笔，但感觉其价格稍贵，和超市沟通后，超市给出以下优惠方案：一次性购买不超过20支，则每支B型画笔打九折；若一次购买超过20支，则前20支打九折，超过的部分打八折，设小刚购买的B型画笔x支，购买费用为y元，请写出y关于x的函数关系式.
（3）在（2）的优惠方案下，若小刚计划用270元购买B型画笔，则能购买多少支B型画笔？
{解析}（1）设超市B型画笔单价为未知数，根据等量关系列方程求出未知数的值.
（2）分别求出B型画笔支数x≤20和x＞20时的函数关系.
{答案}解：（1）设超市B型画笔单价a元，则A型画笔单价为（a-2）元，
由题意列方程，得，
解得，.
经检验是原分式方程的根.
答：超市B型画笔单价是5元.
（2）由题意知，
当小刚购买的B型画笔支数x≤20时，费用为y=0.9×5x=4.5x；
当小刚购买的B型画笔支数x＞20时，费用为y=20×0.9+（x-20）×0.8×5=4x+10.
所以，其中x为正整数.
（3）当4.5x=270（x≤20）时，解得x=60，因为60＞20不符合题意，舍去.
当4x+10=270（x＞20）时，解得x=65.
答：小刚能购买65支B型画笔.
36、（2021·湖北孝感）某电商积极响应市政府号召，在线销售甲、乙、丙三种农产品，己知1kg乙产品的售价比1kg甲产品的售价多5元，1kg 内产品的售价是1kg甲产品售价的3倍，用270元购买丙产品的数量是用60元购买乙产品数量的3倍.
(1)求甲、乙、丙三种农产品每千克的售价分别是多少元?
(2)电商推出如下销售方案:甲、乙、丙三种农产品搭配销售共40kg，其中乙产品的数量是丙产品数量的2倍，且甲、丙两种产品数重之和不超过乙产品数量的3倍.请你帮忙计算，按此方案购买40kge农产品最少要花费多少元?
{解析}本题考查列方程解应用题和用一次函数求实际问题中的最值.
（1） 根据题意找到相等关系用270元购买丙产品的数量是购买乙产品数量的3倍，分别用含未知数的代数表示这个相等关系就可得到方程.解出方程可得甲乙丙三种产品的售价.
（2） 用函数关系表示出购买40千克农产品的费用，再根据取值范围求出最值即可.
{答案}解：设1kg甲产品的售价为元，则1kg乙产品的售价为（+5）元，1kg丙产品的售价为3元，由题意得：，
解得：,经检验，既符合方程也符合题意.∴+5＝10，3＝15.
所以甲乙丙三种农产品每千克的售价分别为5元，10元，15元.
(2) 设40kg农产品中有丙产品kg，则有乙产品2kg,甲产品有（40－3）kg,
∴40－3+≤2×3 ，解得：≥5.
设按此方案购买农产品40kg所需费用为元，由题意，得：
＝20+200.
∵随的增大而增大，∴当＝5时，取最小值，且.
所以，按此方案购买40kg农产品最少需要花费300元.