清单25 空间几何体的结构、表面积与体积（原卷版）-2022年新高考数学一轮复习知识方法清单与跟踪训练

这是一份清单25 空间几何体的结构、表面积与体积（原卷版）-2022年新高考数学一轮复习知识方法清单与跟踪训练，共14页。试卷主要包含了知识与方法清单，跟踪检测，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
清单25 空间几何体的结构、表面积与体积一、知识与方法清单1.多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形底面互相平行且全等多边形互相平行侧棱平行且相等相交于一点但不一定相等延长线交于一点侧面形状平行四边形三角形梯形【对点训练1】关于如图所示的4个几何体,下列说法正确的是(　　)A.只有②是棱柱 B.只有②④是棱柱C.只有①②是棱柱 D.只有①②④是棱柱2.棱柱又分为斜棱柱和直棱柱．侧棱与底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱；侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱；底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．【对点训练2】如图,在直三棱柱中,已知是边长为1的等边三角形,,,分别在侧面和侧面内运动（含边界）,且满足直线与平面所成的角为30°,点在平面上的射影在内（含边界）．令直线与平面所成的角为,则的最大值为（    ）
A． B． C． D．3.特殊的四棱柱【对点训练3】下列说法中正确的是(　　)A.有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B.有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C.各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体D.四棱柱有4条侧棱,4个侧面,侧面为平行四边形4.如果棱锥的底面是正多边形,且它的顶点在过底面中心且与底面垂直的直线上,则这个棱锥叫做正棱锥．正棱锥的性质：侧棱相等,侧面是全等的三角形；棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影构成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也构成一个直角三角形；斜高、侧棱及底面边长的一半也构成一个直角三角形；侧棱在底面上的射影、斜高在底面上的射影及底面边长的一半也构成一个三角形．【对点训练4】（2021届衡水金卷河北省高三数学模拟）已知正三棱锥S-ABC的三条侧棱两两垂直,且侧棱长为,则此三棱锥的外接球的表面积为（    ）A． B．3 C．6 D．95.正三棱柱与正四面体底面是正三角形的正棱锥是正三棱锥.所有棱长都相等的三棱锥叫做正四面体, 正四面体是正三棱锥,但正三棱锥不一定是正四面体,正四面体所有面都是全等的正三角形.【对点训练5】（2021届云南师范大学附属中学高三月考）棱长为的正四面体容器中能放进10个半径为1的小球,则的最小值为（    ）A． B． C． D．6.由正棱锥截得的棱台叫做正棱台．正棱台的性质：侧面是全等的等腰三角形；斜高相等；棱台的高、斜高和两底面的边心距组成一个直角梯形；棱台的高、侧棱和两底面外接圆的半径组成一个直角梯形；棱台的斜高、侧棱和两底面边长的一半也组成一个直角梯形．【对点训练6】（2021届贵州省黔东南州高三上学期月考）已知正三棱台的上下底边长分别为,高为7,若该正三棱台的六个顶点均在球的球面上,且球心在正三棱台内,则球的表面积为__________．7.旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台球图形母线平行、相等且垂直于底面相交于一点延长线交于一点 轴截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形圆侧面展开图矩形扇形扇环 【对点训练7】将锐角三角形绕其一边旋转一周所形成的空间几何体是A. 一个圆柱    B. 一个圆锥    C. 一个圆台    D. 两个圆锥的组合体8. 空间几何体概念辨析题的常用方法(1)定义法：紧扣定义,由已知构建几何模型,在条件不变的情况下,变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素,根据定义进行判定．(2)反例法：通过反例对结构特征进行辨析．【对点训练8】下列说法中正确的是(　　)①棱锥的各个侧面都是三角形；②三棱柱的侧面为三角形；③四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面；④棱锥的各侧棱长都相等．A．①②  B．①③C．②③  D．②④9.将一个多面体的外表面展开,就像打开一件礼物的包纸．礼物外形不同,包装纸的形状也各不相同．如正方体按照不同的方式展开,所得到的展开图共有以下11种．利用多面体的平面展开图可求多面体表面上的最短距离【对点训练9】长方体ABCD-A1B1C1D1的棱长AA1＝4,AB＝3,AD＝5,则从A点沿长方体表面到达C1点的最短距离为(　　)．A．4  B．3  C.  D．810.空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画,其规则是(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直,直观图中,x′轴,y′轴的夹角为45°或135°,z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．(2)原图形中平行于坐标轴的线段,直观图中仍平行于坐标轴；平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段在直观图中长度变为原来的一半．【对点训练10】有一块多边形的菜地,它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示),∠ABC＝45°,AB＝AD＝1,DC⊥BC,则这块菜地的面积为________．11. 斜二测画法中的“三变”与“三不变”“三变”“三不变”【对点训练11】下列说法正确的是(　　)A．相等的角在直观图中仍然相等B．相等的线段在直观图中仍然相等C．正方形的直观图是正方形D．若两条线段平行,则在直观图中对应的两条线段仍然平行12.用斜二测画法画出的平面图形的直观图的面积是原平面图形面积的.【对点训练12】已知等腰梯形ABCD,上底CD＝1,腰AD＝CB＝,下底AB＝3,以下底所在直线为x轴,则由斜二测画法画出的直观图A′B′C′D′的面积为________．13.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧＝2πrlS圆锥侧＝πrlS圆台侧＝π(r1＋r2)l 【对点训练13】如图,圆台的上、下底面半径分别为5 cm,10 cm,母线AB=20 cm,从圆台母线AB的中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到A点,求:(1)绳子的最短长度;(2)在绳子最短时,上底面圆周上的点到绳子的最短距离.14.空间几何体的表面积与体积公式名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积＝S侧＋2S底V＝S底·h锥体(棱锥和圆锥)S表面积＝S侧＋S底V＝S底·h台体(棱台和圆台)S表面积＝S侧＋S上＋S下V＝(S上＋S下＋)h球S＝4πR2V＝πR3【对点训练14】（2022届江西省赣抚吉名校高三8月联考）已知圆锥的轴截面是顶角为120°,腰为1的等腰三角形,若该圆锥的顶点与底面圆周都在球O的球面上,则球O的表面积为___________.15.求解多面体的表面积,关键是找到其中的特征图形,如棱柱中的矩形,棱锥中的直角三角形,棱台中的直角梯形等,通过这些图形,找到几何元素间的关系,通过建立未知量与已知量间的关系进行求解．旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用,多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．【对点训练15】已知长方体木块中,,从该木块中挖去一个圆锥,使得圆锥的顶点为正方形的中心,底面圆为正方形的内切圆,则剩余部分的表面积为_____________．16.求空间几何体体积的常用方法为割补法和等积变换法：①割补法：将这个几何体分割成几个柱体、锥体,分别求出柱体和锥体的体积,从而得出要求的几何体的体积；②等积变换法：特别地,对于三棱锥,由于其任意一个面均可作为棱锥的底面,从而可选择更容易计算的方式来求体积；利用“等积性”还可求“点到面的距离”.【对点训练16】（2021届广东省珠海市考前模拟）七面体玩具是一种常见的儿童玩具．在几何学中,七面体是指由七个面组成的多面体,常见的七面体有六角锥､五角柱､正三角锥柱､Szilassi多面体等．在拓扑学中,共有34种拓扑结构明显差异的凸七面体,它们可以看作是由一个长方体经过简单切割而得到的．在如图所示的七面体中,平面（1）在该七面体中,探究以下两个结论是否正确．若正确,给出证明；若不正确,请说明理由：①平面；②平面；（2）求该七面体的体积．17.几何体的外接球问题关键是确定球心位置,主要方法有：①将几何体还原或补为正方体或长方体,进而确定球心；②几何体的外接球球心一定在过底面的外心与底面垂直的直线上；③球心到各顶点的距离都相等；④球心一定在外接球的直径上．【对点训练17】（多选题）（2021届重庆市高三第三次联合诊断）设一空心球是在一个大球(称为外球)的内部挖去一个有相同球心的小球(称为内球),已知内球面上的点与外球面上的点的最短距离为1,若某正方体的所有顶点均在外球面上､所有面均与内球相切,则（    ）A．该正方体的核长为2 B．该正方体的体对角线长为C．空心球的内球半径为 D．空心球的外球表面积为18.（2022届广西柳州市新高三上学期摸底）求解几何体外接球的半径主要从两个方面考虑：一是根据球的截面的性质,利用球的半径R、截面圆的半径r及球心到截面圆的距离d三者的关系R2＝r2＋d2求解．【对点训练18】若球О是直三棱柱的外接球,三棱柱的高和体积都是4,底面是直角三角形,则球О表面积的最小值是___________.二、跟踪检测一、单选题1．（2022届广东省深圳市高三上学期8月调研）已知圆柱的底面半径为2,侧面展开图为面积为的矩形,则该圆柱的体积为（    ）A． B． C． D．2．（2022届浙江省高三高考命题研究组方向性测试）如图是用斜二测画法画出的的直观图, 则是（    ）A．锐角 B．直角 C．钝角 D．无法判断3．（2021届河南省洛阳市高三4月调研）大约于东汉初年成书的我国古代数学名著《九章算术》中,“开立圆术”曰：置积尺数,以十六乘之,九而一,所得开立方除之,即立圆径．“开立圆术”实际是知道了球的体积,利用球的体积,求其直径的一个近似值的公式：,而我们知道,若球的半径,则球的体积,则在上述公式中,相当于的取值为（    ）A．3 B． C． D．4．（2021届云南省曲靖市高三二模）如图,在水平地面上的圆锥形物体的母线长为12,底面圆的半径等于4,一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发,绕圆锥侧面爬行一周后回到点处,则小虫爬行的最短路程为（    ）A． B．16 C．24 D．5．（2021届广东省江门市高三5月冲刺）如图,在四边形中,,,,现沿对角线折起,使得平面平面,此时点,,,在同一个球面上,则该球的体积是（    ）．A． B． C． D．6．（2022届浙江省百校高三上学期开学联考）如图,点在正方体的面对角线上运动,则下列结论一定成立的是（    ）A．三棱锥的体积大小与点的位置有关B．与平面相交C．平面平面D．7．（2021届山西省怀仁市高三下学期一模）在矩形ABCD中,BC＝4,M为BC的中点,将△ABM和△DCM分别沿AM,DM翻折,使点B与点C重合于点P,若∠APD＝150°,则三棱锥M－PAD的外接球的表面积为（    ）A．12π B．34π C．68π D．126π8．（2022届江苏省南京市高三上学期质量检测）以为底的两个正三棱锥和内接于同一个球,并且正三棱锥的侧面与底面所成的角为45°,记正三棱锥和正三棱锥的体积分别为和,则（    ）A．1 B． C． D．9．（2021届江苏省常州市高三下学期学情检测）已知四棱锥的底面ABCD是边长为2的正方形,且.若四棱锥P-ABCD的五个顶点在以4为半径的同一球面上,当PA最长时,则四棱锥P-ABCD的体积为（   ）A． B． C． D．10．已知正三棱锥中,底面是边长为的正三角形,侧棱长为,为的中点,为中点,是的动点,是平面上的动点,则的最小值是（    ）A． B． C． D．11．（2021届安徽师范大学附属中学高三下学期5月最后一卷）如图所示,圆锥的轴截面是以为直角顶点的等腰直角三角形,,为中点．若底面所在平面上有一个动点,且始终保持,过点作的垂线,垂足为．当点运动时,①点在空间形成的轨迹为圆②三棱锥的体积最大值为③的最大值为2④与平面所成角的正切值的最大值为上述结论中正确的序号为（    ）．A．①② B．②③ C．①③④ D．①②③12．（2021届四川省成都市石室中学高三一模）已知棱长为的正方体,棱中点为,动点、、分别满足：点到异面直线、的距离相等,点使得异面直线、所成角正弦值为定值,点使得．当动点、两点恰好在正方体侧面内时,则多面体体积最小值为（    ）A． B． C． D．二、多选题13．一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等,下列结论正确的是（    ）A．圆柱的侧面积为 B．圆锥的侧面积为C．圆柱的侧面积与球的表面积相等 D．圆锥的表面积最小14．（2021届广东省实验中学高三考前热身）《九章算术》是中国古代张苍､耿寿昌所撰写的一部数学专著,是《算经十书》中最重要的一部,其中将有三条棱互相平行且有一个面为梯形的五面体称之为“羡除”,则（    ）A．“羡除”有且仅有两个面为三角形； B．“羡除”一定不是台体；C．不存在有两个面为平行四边形的“羡除”； D．“羡除”至多有两个面为梯形.15．（2021届江苏省泰州中学高三下学期四模）如图,在正方体,中,是棱的中点,是线段（不含端点）上的一个动点,那么在点的运动过程中,下列说法中正确的有（    ）A．存在某一位置,使得直线和直线相交B．存在某一位置,使得平面C．点与点到平面的距离总相等D．三棱锥的体积不变16．（2021届广东省茂名市五校联盟高三下学期第三次联考）如图所示的几何体中,底面是边长为2的正方形,为矩形,平面平面,,则下列结论正确的是（ ）A． B．异面直线与所成的角为C． D．三棱锥的体积为4三、填空题17．（2021届江西省兴国县高三上学期月考）已知三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥AC,AB=AC=2,且三棱锥P-ABC外接球的表面积为.则PA=_______18．（2021届上海市奉贤中学高三下学期期中）已知是面积为的等边三角形,且其顶点都在球的球面上,若球的表面积为,则到平面的距离为______19．（2021届四川省绵阳中学高三仿真模拟）在正四棱柱中,,,长为2的线段在棱上移动,长为3的线段在棱上移动,点在棱上移动,则四棱锥的体积是________． 20．（2022届安徽省江淮十校高三上学期第一次联考）已知正方体的棱长为1,点为底面的四条棱上的动点,则的取值范围为______．四、解答题21．（2022届云南省昆明市高三上学期第一次摸底）如图,已知四棱锥的底面是菱形,AC交BD于O,平面ABC,E为AD的中点,点F在PA上,.（1）证明：平面BEF；（2）若,,求三棱锥的体积.22．（2022届江西省智学联盟体高三上学期第一次联考）如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,D是AB的中点,AC=BC=3,AB=3,AA1=6．（1）求证：AC1//平面CDB1；（2）求点C1到平面CDB1的距离．23．如图,平面平面,其中为矩形,为直角梯形,,,,.（1）求证：平面；（2）若三棱锥的体积为,求点到平面的距离.24．如图,已知图1中是等腰三角形,,,分别是,的中点,沿着把折起到△,使得平面平面,图2中,,为的中点,连接．（1）求证：平面；（2）求四棱锥的侧面积．