清单34 圆锥曲线综合问题(原卷版）-2022年新高考数学一轮复习知识方法清单与跟踪训练

这是一份清单34 圆锥曲线综合问题(原卷版）-2022年新高考数学一轮复习知识方法清单与跟踪训练，共11页。试卷主要包含了知识与方法清单，跟踪检测等内容，欢迎下载使用。
清单34 圆锥曲线综合问题一、知识与方法清单1．直线与圆锥曲线的位置关系的判断将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．(1)若a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有①Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交；②Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切；③Δ<0⇔直线与圆锥曲线相离．(2)若a＝0，b≠0，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线E相交，且只有一个交点，①若E为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；②若E为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．【对点训练1】（2022届上海市华东师大二附中高三上学期月考）已知椭圆M：的左、右焦点分别为、，，点在椭圆M上．（1）求椭圆M的方程；（2）过的直线l与椭圆M交于P、Q两点，且，求直线l的方程；（3）如图，四边形ABCD是矩形，AB与椭圆M相切于点F，AD与椭圆M相切于点E，BC与椭圆M相切于点G，CD与椭圆M相切于点H，求矩形ABCD面积的取值范围．2．圆锥曲线的弦长设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝|x2－x1|＝|y2－y1|.【对点训练2】（2022届四川省成都市高三上学期摸底）已知椭圆：过点，离心率为，点、分别为其左、右焦点．（1）求椭圆的标准方程；（2）若上存在两个点、，椭圆上有两个点、，满足、、三点共线，、、三点共线，且，若四边形的面积为，求直线的方程．3.过一点的直线与圆锥曲线的位置关系(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切；过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切；过椭圆内一点的直线与椭圆相交．(2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条与对称轴平行或重合的直线.(3)过双曲线外不在渐近线上的一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点：两条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有且只有一个交点：一条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点：两条与渐近线平行的直线．【对点训练3】过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有(　　)A．1条 B．2条C．3条 D．4条4.解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系．(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围．(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围．(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．【对点训练4】（2022届广东省梅州市高三月考）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线的左、右焦点分别为，直线交双曲线C于M，N两点.（1）若M（2，3），四边形的面积为12，求双曲线C的方程；（2）若，且四边形是矩形，求双曲线C的离心率e的取值范围.5.处理圆锥曲线最值问题的求解方法圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．【对点训练5】（2022届广东省茂名市五校联盟高三上学期联考）已知椭圆：，过点的直线，与椭圆分别交于点，和，．记直线斜率为．直线的斜率为．（1）若直线，关于直线对称，证明：为定值；（2）已知点，当时，求面积的最大值．6.椭圆与双曲线中的最值结论(1)已知P是椭圆C：一点，F是该椭圆焦点，则；2.已知P是双曲线C：一点，F是该双曲线焦点，则；双曲线C的焦点弦的最小值为.【对点训练6】过椭圆上一动点P分别向圆和圆作切线，切点分别为M，N，则的最小值为________．7.圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．【对点训练7】（2022届四川省南充市高考适应性考试）椭圆的离心率，，分别为椭圆的左、右顶点，为椭圆上任意一点，面积的最大值为.（1）求椭圆的方程；（2）过点且斜率不为零的直线交椭圆于，两点，过点作直线的垂线，垂足为，证明：直线与轴的交点为定点.8．几个定点结论(1)设点是椭圆C：上一定点，点A,B是椭圆C上不同于P的两点，若，则时直线AB斜率为定值，若，则直线AB过定点，(2)设点是双曲线C：一定点，点A,B是双曲线C上不同于P的两点，若，则时直线AB斜率为定值，若，则直线AB过定点；(3)设点是抛物线C：一定点，点A,B是抛物线C上不同于P的两点，若，则时直线AB斜率为定值，若，则直线AB过定点【对点训练8】（2022届黑龙江省大庆中学高三上学期第一次月考）已知椭圆过点，且离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）过作斜率分别为的两条直线，分别交椭圆于点，且，证明：直线过定点.9.圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值．依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值．(2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得．(3)求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得．【对点训练9】（2022届黑龙江省哈尔滨师范大学高三上学期月考）已知，分别是椭圆的左，右焦点，，当在上且垂直轴时，.（1）求的标准方程；（2）A为的左顶点，为的上顶点，是上第四象限内一点，与轴交于点，与轴交于点.求证：四边形的面积是定值.10.解决探索性问题的注意事项探索性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在．(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论；(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；(3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要开放思维，采取另外合适的方法．【对点训练10】（2022届四川省内江市高三上学期月考）已知曲线在轴右边，上每一点到点的距离减去它到轴距离的差都是.（1）求曲线的方程；（2）是否存在正数，对于过点且与曲线有两个交点的任一直线，都有？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.二、跟踪检测1．（2022届四川省巴中市高三上学期“零诊”）已知椭的离心率为，直线被椭圆截得的线段长为.（1）求椭圆的方程；（2）设过椭圆的右焦点与坐标轴不垂直的直线交于点，，交轴于点，为线段的中点，且为垂足.问：是否存在定点，使得的长为定值？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由.2．（2022届河南省洛阳市高三上学期期中）已知椭圆过点，离心率为，过点作斜率为，的直线，，它们与椭圆的另一交点分别为，，且.（1）求椭圆的方程；（2）证明：直线过定点.3．（2022届上海市建平中学高三上学期10月月考）如图所示，在平面直角坐标系中，椭圆：的左，右焦点外别为，，设P是第一象限内上的一点，、的延长线分别交于点、．（1）求的周长；（2）求面积的取值范围；（3）设、分别为、的内切圆半径，求的最大值．4．（2022届湖北省襄阳市高三上学期10月考试）在平面直角坐标系中，曲线的方程.
（1）若，直线过点被曲线截得的弦长为2，求直线的方程；（2）若，，过坐标原点斜率的直线交于、两点，且点位于第一象限，点在轴上的投影为，延长交于点，求的值.5．（2022届四川省成都石室中学高三上学期10月月考）设椭圆：的左､右焦点分别为，，下顶点为，线段(为坐标原点)的中点为.若抛物线：的顶点为，且经过点，.(1)求椭圆的方程；(2)设点关于点的对称点为，过点作直线与椭圆交于点，，且的面积为，求直线的斜率.6．（2022届江苏省南京市高三上学期10月月考）已知：的上顶点到右顶点的距离为，离心率为，过椭圆左焦点作不与轴重合的直线与椭圆相交于､两点，直线的方程为：，过点作垂直于直线交直线于点.（1）求椭圆的标准方程；（2）①求证线段必过定点，并求定点的坐标.②点为坐标原点，求面积的最大值.7．（2022届四川省乐山高三上学期10月月考）已知椭圆，过点，离心率.求椭圆的方程．过椭圆的左焦点的直线交椭圆于，两点，若在直线上存在点，使得为正三角形，求点的坐标．8．（2022届江苏省南通市高三上学期阶段考试）己知抛物线，过点作两条互相垂直的直线和，交抛物线于两点，交抛物线于两点，当点的横坐标为1时，抛物线在点处的切线斜率为.（1）求抛物线的标准方程；（2）已知为坐标原点，线段的中点为，线段的中点为，求证：直线过定点.9．（2022届河南省郸城一高高三第一次模拟）已知椭圆：的右焦点为，点在上，为椭圆的半焦距．（1）求椭圆的标准方程；（2）若经过的直线与交于，（异于）两点，与直线交于点，设，，的斜率分别为，，，求证：．10．（2022届河南省洛阳市高三上学期摸底考试）已知椭圆过点，（1）求的方程；（2）记的左顶点为，上顶点为，点是上在第四象限的点，，分别与轴，轴交于，两点，试探究四边形的面积是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由.11．（2022届广东省花都区高三上学期8月调研）双曲线的右焦点为F，以F点为圆心，a为半径的圆与C的渐近线相切．（1）求C的离心率；（2）已知点，过F点的直线与C的右支交于M，N两点，证明：F点到的距离相等．12．（2022届广东省广雅中学高三上学期9月月考）已知椭圆上的点到右焦点的最大距离是，且成等的比数列.（1）求椭圆的方程；（2）我们称圆心在椭圆上运动，半径为的圆是椭圆的“卫星圆”，过坐标原点O作椭圆C的“卫星圆”的两条切线，分别交椭圆C于A，B两点，若直线的斜率为，当，求此时“卫星圆”的标准方程.13．（2022届黑龙江省大庆实验中学高三上学期月考）已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，为坐标原点，点在椭圆上，且满足．（1）求椭圆的方程；（2）已知过点且不与轴重合的直线与椭圆交于两点，在轴上是否存在定点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．14．（2022届海南省海口中学高三上学期月考）设椭圆的左右焦点分别为，，右顶点为，已知，其中为原点，为椭圆的离心率.（1）求椭圆的方程；（2）若过的直线与坐标轴不垂直，它与椭圆交于，两点，是点关于轴的对称点，试判断直线是否过定点，如果过定点，求出定点坐标，如果不过定点，请说明理由.15．（2022届广东省广州市高三上学期10月调研）已知抛物线的焦点为．点在上， ．（1）求;（2）过作两条互相垂直的直线，与交于两点，与直线交于点，判断是否为定值?若是，求出其值；若不是，说明理由．16．（2022届云南省玉溪市高三第一次教学质量检测）已知抛物线：，过点的直线交抛物线于，，且（为坐标原点）．（1）求抛物线的方程；（2）过作与直线垂直的直线交抛物线于，．求四边形面积的最小值．17．（2022届广东省深圳市高三上学期月考）抛物线：的焦点为F，过点F的直线与抛物线交于M，N两点，弦的最小值为2.（1）求抛物线E的标准方程；（2）设点Q是直线上的任意一点，过点的直线l与抛物线E交于A，B两点，记直线AQ，BQ，PQ的斜率分别为，，，证明：为定值.18．（2022届湖北省襄阳市高三上学期10月阶段性考试）已知双曲线：的左、右顶点分别为，过右焦点的直线与双曲线的右支交于两点（点在轴上方）．（1）若，求直线的方程；（2）设直线的斜率分别为，，证明：为定值．19．（2022届重庆市南开中学高三上学期月考）设椭圆：的左焦点为，离心率为，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为．（1）求椭圆的方程；（2）设，分别为椭圆的左、右顶点，过点且斜率为的直线与椭圆交于点，两点，且，求的值．20．（2022届福建省南平市高三联考）已知椭圆的长轴长为，点在上.（1）求的方程；（2）设的上顶点为A，右顶点为B，直线与平行，且与交于，两点，，点为的右焦点，求的最小值.