专题七 双曲线问题-2022年中考数学二轮复习之重难热点提分专题

专题七   双曲线问题

1．（2021连云港）如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数（x＞0）的图象经过点A（4，），点B在y轴的负半轴上，AB交x轴于点C，C为线段AB的中点．

（1）m＝　 　，点C的坐标为　 　；

（2）若点D为线段AB上的一个动点，过点D作DE∥y轴，交反比例函数图象于点E，求△ODE面积的最大值．

【分析】（1）根据待定系数法即可求得m的值，根据A点的坐标即可求得C的坐标；

（2）根据待定系数法求得直线AB的解析式，设出D、E的坐标，然后根据三角形面积公式得到S△ODE（x﹣1）2，由二次函数的性质即可求得结论．

【解析】（1）∵反比例函数y（x＞0）的图象经过点A（4，），

∴m6，

∵AB交x轴于点C，C为线段AB的中点．

∴C（2，0）；

故答案为6，（2，0）；

（2）设直线AB的解析式为y＝kx+b，

把A（4，），C（2，0）代入得，解得，

∴直线AB的解析式为yx；

∵点D为线段AB上的一个动点，

∴设D（x，x）（0＜x≤4），

∵DE∥y轴，

∴E（x，），

∴S△ODEx•（x）x2x+3（x﹣1）2，

∴当x＝1时，△ODE的面积的最大值为．

2．（2021成都）在平面直角坐标系xOy中，反比例函数（x＞0）的图象经过点A（3，4），过点A的直线y＝kx+b与x轴、y轴分别交于B，C两点．

（1）求反比例函数的表达式；

（2）若△AOB的面积为△BOC的面积的2倍，求此直线的函数表达式．

【分析】（1）把A（3，4）代入y（x＞0）即可得到结论；

（2）根据题意得到B（，0），C（0，b），根据三角形的面积公式列方程即可得到结论．

【解析】（1）∵反比例函数y（x＞0）的图象经过点A（3，4），

∴k＝3×4＝12，

∴反比例函数的表达式为y；

（2）∵直线y＝kx+b过点A，

∴3k+b＝4，

∵过点A的直线y＝kx+b与x轴、y轴分别交于B，C两点，

∴B（，0），C（0，b），

∵△AOB的面积为△BOC的面积的2倍，

∴4×||＝2||×|b|，

∴b＝±2，

当b＝2时，k，

当b＝﹣2时，k＝2，

∴直线的函数表达式为：yx+2，y＝2x﹣2．

3．（2021遂宁）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（1，0），连结AB，以AB为边在第一象限内作正方形ABCD，直线BD交双曲线（k≠0）于D、E两点，连结CE，交x轴于点F．

（1）求双曲线（k≠0）和直线DE的解析式．

（2）求△DEC的面积．

【分析】（1）作DM⊥y轴于M，通过证得△AOB≌△DMA（AAS），求得D的坐标，然后根据待定系数法即可求得双曲线y（k≠0）和直线DE的解析式．

（2）解析式联立求得E的坐标，然后根据勾股定理求得DE和DB，进而求得CN的长，即可根据三角形面积公式求得△DEC的面积．

【解析】∵点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（1，0），

∴OA＝2，OB＝1，

作DM⊥y轴于M，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BAD＝90°，AB＝AD，

∴∠OAB+∠DAM＝90°，

∵∠OAB+∠ABO＝90°，

∴∠DAM＝∠ABO，

在△AOB和△DMA中

，

∴△AOB≌△DMA（AAS），

∴AM＝OB＝1，DM＝OA＝2，

∴D（2，3），

∵双曲线y═（k≠0）经过D点，

∴k＝2×3＝6，

∴双曲线为y，

设直线DE的解析式为y＝mx+n，

把B（1，0），D（2，3）代入得，解得，

∴直线DE的解析式为y＝3x﹣3；

（2）连接AC，交BD于N，

∵四边形ABCD是正方形，

∴BD垂直平分AC，AC＝BD，

解得或，

∴E（﹣1，﹣6），

∵B（1，0），D（2，3），

∴DE3，DB，

∴CNBD，

∴S△DECDE•CN．

4．（2021江西）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，顶点A，B都在反比例函数（x＞0）的图象上，直线AC⊥x轴，垂足为D，连结OA，OC，并延长OC交AB于点E，当AB＝2OA时，点E恰为AB的中点，若∠AOD＝45°，OA＝．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）求∠EOD的度数．

【分析】（1）根据题意求得A（2，2），然后代入y（x＞0），求得k的值，即可求得反比例函数的解析式；

（2）根据AB＝2OA时，点E恰为AB的中点，得出OA＝AE＝BE，根据直角三角形斜边中线的性质得出CE＝AE＝BE，根据等腰三角形的性质越久三角形外角的性质即可得出∠AOE＝2∠EOD，从而求得∠EOD＝15°．

【解析】（1）∵直线AC⊥x轴，垂足为D，∠AOD＝45°，

∴△AOD是等腰直角三角形，

∵OA＝2，

∴OD＝AD＝2，

∴A（2，2），

∵顶点A在反比例函数y（x＞0）的图象上，

∴k＝2×2＝4，

∴反比例函数的解析式为y；

（2）∵AB＝2OA，点E恰为AB的中点，

∴OA＝AE，

∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，

∴CE＝AE＝BE，

∴∠AOE＝∠AEO，∠ECB＝∠EBC，

∵∠AEO＝∠ECB+∠EBC＝2∠EBC，

∵BC∥x轴，

∴∠EOD＝∠ECB，

∴∠AOE＝2∠EOD，

∵∠AOE＝45°，

∴∠EOD＝15°．

5．（2021菏泽）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象相交于A（1，2），B（n，﹣1）两点．

（1）求一次函数和反比例函数的表达式；

（2）直线AB交x轴于点C，点P是x轴上的点，若△ACP的面积是4，求点P的坐标．

【分析】（1）先根据点A坐标求出反比例函数解析式，再求出点B的坐标，继而根据点A、B坐标可得直线解析式；

（2）先根据直线解析式求出点C的坐标，再设P（m，0），知PC＝|﹣1﹣m|，根据S△ACP•PC•yA＝4求出m的值即可得出答案．

【解析】（1）将点A（1，2）代入y，得：m＝2，

∴y，

当y＝﹣1时，x＝﹣2，

∴B（﹣2，﹣1），

将A（1，2）、B（﹣2，﹣1）代入y＝kx+b，

得：，

解得，

∴y＝x+1；

∴一次函数解析式为y＝x+1，反比例函数解析式为y；

（2）在y＝x+1中，当y＝0时，x+1＝0，

解得x＝﹣1，

∴C（﹣1，0），

设P（m，0），

则PC＝|﹣1﹣m|，

∵S△ACP•PC•yA＝4，

∴|﹣1﹣m|×2＝4，

解得m＝3或m＝﹣5，

∴点P的坐标为（3，0）或（﹣5，0）．

6．（2021泰安）如图，已知一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象交于点A（3，a），点B（14﹣2a，2）．

（1）求反比例函数的表达式；

（2）若一次函数图象与y轴交于点C，点D为点C关于原点O的对称点，求△ACD的面积．

【分析】（1）点A（3，a），点B（14﹣2a，2）在反比例函数上，则3×a＝（14﹣2a）×2，即可求解；

（2）a＝4，故点A、B的坐标分别为（3，4）、（6，2），求出一次函数的表达式为：yx+6，则点C（0，6），故OC＝6，进而求解．

【解析】（1）∵点A（3，a），点B（14﹣2a，2）在反比例函数上，

∴3×a＝（14﹣2a）×2，解得：a＝4，则m＝3×4＝12，

故反比例函数的表达式为：y；

（2）∵a＝4，故点A、B的坐标分别为（3，4）、（6，2），

设直线AB的表达式为：y＝kx+b，则，解得，

故一次函数的表达式为：yx+6；

当x＝0时，y＝6，故点C（0，6），故OC＝6，

而点D为点C关于原点O的对称点，则CD＝2OC＝12，

△ACD的面积CD•xA12×3＝18．

7．（2021枣庄）如图，在平面直角坐标系中，一次函数和y＝﹣2x的图象相交于点A，反比例函数的图象经过点A．

（1）求反比例函数的表达式；

（2）设一次函数的图象与反比例函数的图象的另一个交点为B，连接OB，求△ABO的面积．

【分析】（1）联立yx+5①和y＝﹣2x并解得：，故点A（﹣2.4），进而求解；

（2）S△AOB＝S△AOC﹣S△BOCOC•AMOC•BN，即可求解．

【解析】（1）联立yx+5①和y＝﹣2x并解得：，故点A（﹣2.4），

将点A的坐标代入反比例函数表达式得：4，解得：k＝﹣8，

故反比例函数表达式为：y②；

（2）联立①②并解得：x＝﹣2或﹣8，

当x＝﹣8时，yx+5＝1，故点B（﹣8，1），

设yx+5交x轴于点C（﹣10，0），过点A、B分别作x轴的垂线交于点M、N，

则S△AOB＝S△AOC﹣S△BOCOC•AMOC•BN．

8．（2021广东）如图，点B是反比例函数（x＞0）图象上一点，过点B分别向坐标轴作垂线，垂足为A，C．反比例函数（x＞0）的图象经过OB的中点M，与AB，BC分别相交于点D，E．连接DE并延长交x轴于点F，点G与点O关于点C对称，连接BF，BG．

（1）填空：k＝　   　；

（2）求△BDF的面积；

（3）求证：四边形BDFG为平行四边形．

【分析】（1）设点B（s，t），st＝8，则点M（s，t），则ks•tst＝2；

（2）△BDF的面积＝△OBD的面积＝S△BOA﹣S△OAD，即可求解；

（3）确定直线DE的表达式为：y，令y＝0，则x＝5m，故点F（5m，0），即可求解．

【解析】（1）设点B（s，t），st＝8，则点M（s，t），

则ks•tst＝2，

故答案为2；

（2）△BDF的面积＝△OBD的面积＝S△BOA﹣S△OAD82＝3；

（3）设点D（m，），则点B（4m，），

∵点G与点O关于点C对称，故点G（8m，0），

则点E（4m，），

设直线DE的表达式为：y＝sx+n，将点D、E的坐标代入上式得，解得，

故直线DE的表达式为：y，令y＝0，则x＝5m，故点F（5m，0），

故FG＝8m﹣5m＝3m，而BD＝4m﹣m＝3m＝FG，

则FG∥BD，故四边形BDFG为平行四边形．

9．（2021绥化）如图，在矩形OABC中，AB＝2，BC＝4，点D是边AB的中点，反比例函数（x＞0）的图象经过点D，交BC边于点E，直线DE的解析式为y2＝mx+n（m≠0）．

（1）求反比例函数（x＞0）的解析式和直线DE的解析式；

（2）在y轴上找一点P，使△PDE的周长最小，求出此时点P的坐标；

（3）在（2）的条件下，△PDE的周长最小值是　　．

【分析】（1）根据线段中点的定义和矩形的性质得到D（1，4），解方程和方程组即可得到结论；

（2）作点D关于y轴的对称点D′，连接D′E交y轴于P，连接PD，此时，△PDE的周长最小，求得直线D′E的解析式为yx，于是得到结论；

（3）根据勾股定理即可得到结论．

【解析】（1）∵点D是边AB的中点，AB＝2，

∴AD＝1，

∵四边形OABC是矩形，BC＝4，

∴D（1，4），

∵反比例函数y1（x＞0）的图象经过点D，

∴k＝4，

∴反比例函数的解析式为y（x＞0），

当x＝2时，y＝2，

∴E（2，2），

把D（1，4）和E（2，2）代入y2＝mx+n（m≠0）得，，

∴，

∴直线DE的解析式为y＝﹣2x+6；

（2）作点D关于y轴的对称点D′，连接D′E交y轴于P，连接PD，

此时，△PDE的周长最小，

∵D点的坐标为（1，4），

∴D′的坐标为（﹣1，4），

设直线D′E的解析式为y＝ax+b，

∴，解得：，

∴直线D′E的解析式为yx，

令x＝0，得y，

∴点P的坐标为（0，）；

（3）∵D（1，4），E（2，2），

∴BE＝2，BD＝1，

∴DE，

由（2）知，D′的坐标为（﹣1，4），

∴BD′＝3，

∴D′E，

∴△PDE的周长最小值＝DE+D′E，

故答案为：．