专题六 几何面积最值问题-2022年中考数学二轮复习之重难热点提分专题

专题六   几何面积最值问题

1．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝12 cm.点P从点A开始，沿AB边向点B以每秒1 cm 的速度移动；点Q从点B开始，沿着BC边向点C以每秒2 cm的速度移动．如果P，Q同时出发，问经过几秒钟△PBQ的面积最大？最大面积是多少？

【解答】解：设经过x秒，△PBQ的面积为S cm2.

∵AP＝1·x＝x，BQ＝2x，∴BP＝AB－AP＝6－x.

∴S△BPQ＝BP·BQ

＝×(6－x)×2x＝－x2＋6x＝－(x－3)2＋9.

答：经过3秒钟△PBQ的面积最大，最大面积是9 cm2.

2．如图，在足够大的空地上有一段长为a m的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100 m木栏．

（1）若a＝20，所围成的矩形菜园的面积为450 m2，求所利用旧墙AD的长；

（2）求矩形菜园ABCD面积的最大值．

【解答】解：(1)设AB＝x m，则BC＝(100－2x)m，

根据题意得x(100－2x)＝450，解得x1＝5，x2＝45，

当x＝5时，100－2x＝90＞20，不合题意舍去；

当x＝45时，100－2x＝10.

答：AD的长为10 m.

(2)设AD＝x m，∴S＝x(100－x)＝－(x－50)2＋1 250，

当a≥50时，则x＝50时，S的最大值为1 250；

当0＜a＜50时，则当0＜x≤a时，S随x的增大而增大，当x＝a时，S的最大值为50a－a2.

综上所述，当a≥50时，S的最大值为1 250；

当0＜a＜50时，S的最大值为50a－a2.

3．某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两边足够长)，用28 m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB，BC两边)，设AB＝x m.

（1）当x为何值时，矩形花园的面积最大？最大面积为多少？

（2）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15 m和6 m，要将这棵树围在花园内(含边界，不考虑树的粗细)，求花园面积S的最大值．

【解答】解：(1)S＝x(28－x)＝－(x－14)2＋196(0＜x＜28)，

∵a＝－1＜0，

∴S有最大值，当x＝14时，S最大值＝196(m2)．

(2)依题意有，解得6≤x≤13，在对称轴的左侧S随x的增大而增大，因此当x＝13时，S最大值＝195(m2).

4．小明的家门前有一块空地，空地外有一面长10米的围墙，为了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃，他买回了32米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏，为了浇花和赏花的方便，准备在花圃的中间再围出一条宽为一米的通道及在左右花圃各放一个1米宽的门（木质）．花圃的长与宽如何设计才能使花圃的面积最大？

【解答】：设花圃的宽为米，面积为平方米

则长为：(米)

则：

∵，∴

∵，∴与的二次函数的顶点不在自变量的范围内，

而当内，随的增大而减小，

∴当时，(平方米)

答：可设计成宽米，长10米的矩形花圃，这样的花圃面积最大．

5．如图，矩形EFHG的边GH在△ABC边BC上，其他两个顶点分别在边AB，AC上，已知△ABC的边BC＝120 cm，BC边上的高AD为80 cm.

（1）当矩形EFHG是正方形时，求这个正方形的边长；

（2）设EG的长为x cm，x为何值时，矩形EFHG的面积最大？并求面积的最大值．

【解答】解：(1)∵四边形EFHG是正方形，且AD⊥BC，

∴EF∥BC，EG＝EF＝MD(设为a)，

∴△AEF∽△ABC，AM＝80－a，

∴EF∶BC＝AM∶AD，

即a∶120＝(80－a)∶80，

解得a＝48 cm，即这个正方形的边长为48 cm.

(2)设矩形EFHG的面积为y，

由(1)知EF∶BC＝AM∶AD，

即EF∶120＝(80－x)∶80，解得EF＝120－1.5x，

∴y＝x(120－1.5x)＝－1.5x2＋120x，

∴当x＝－＝40时，y取得最大值，

y的最大值＝－1.5×1 600＋120×40＝2 400(cm2)．

6．某人定制了一批地砖，每块地砖（如图(1)所示）是边长为0.4米的正方形ABCD，点E、F分别在边BC和CD上，△CFE、△ABE和四边形AEFD均由单一材料制成，制成△CFE、△ABE和四边形AEFD的三种材料的每平方米价格依次为30元、20元、10元，若将此种地砖按图(2)所示的形式铺设，且能使中间的阴影部分组成四边形EFGH．

（1）判断图(2)中四边形EFGH是何形状，并说明理由；

（2）E、F在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？

【解答】：(1) 四边形EFGH是正方形．

图(2)可以看作是由四块图(1)所示地砖绕C点

按顺(逆)时针方向旋转90°后得到的，

故CE=CF =CG．

∴△CEF是等腰直角三角形

因此四边形EFGH是正方形．　                

     (2)设CE=x, 则BE=0.4－x，每块地砖的费用为y元

那么：y=x×30+×0.4×(0.4-x)×20+

当x=0.1时，y有最小值，即费用为最省，此时CE=CF=0.1．

答：当CE=CF=0.1米时，总费用最省．

7．如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给他做了一个简易的秋千，拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为多少米？

【解答】：如图所示建立直角坐标系

则：设 将点，代入，

，解得

  顶点，最低点距地面0.5米．

8．如图，把一张长10cm，宽8cm的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）．

（1）要使长方体盒子的底面积为48cm2，那么剪去的正方形的边长为多少？

（2）你感到折合而成的长方体盒子的侧面积会不会有更大的情况？如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由；

（3）如果把矩形硬纸板的四周分别剪去2个同样大小的正方形和2个同样形状、同样大小的矩形，然后折合成一个有盖的长方体盒子，是否有侧面积最大的情况；如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由．

【解答】：（1）设正方形的边长为cm，

则．

即．

解得（不合题意，舍去），．

剪去的正方形的边长为1cm．

（2）有侧面积最大的情况．

设正方形的边长为cm，盒子的侧面积为cm2，

则与的函数关系式为：

．

即．

改写为．

当时，．

即当剪去的正方形的边长为2.25cm时，

长方体盒子的侧面积最大为40.5cm2．

（3）有侧面积最大的情况．

设正方形的边长为cm，盒子的侧面积为cm2．

若按图1所示的方法剪折，则与的函数关系式为：

即．

当时，．

若按图2所示的方法剪折，

则与的函数关系式为：．

即．

当时，．

比较以上两种剪折方法可以看出，按图2所示的方法剪折得到的盒子侧面积最大，即当剪去的正方形的边长为cm时，折成的有盖长方体盒子的侧面积最大，最大面积为cm2．