专题八 抛物线问题-2022年中考数学二轮复习之重难热点提分专题

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1．（2021黑龙江）如图，已知二次函数y＝﹣x2+（a+1）x﹣a与x轴交于A、B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C，已知△BAC的面积是6．
（1）求a的值；
（2）在抛物线上是否存在一点P，使S△ABP＝S△ABC．若存在请求出P坐标，若不存在请说明理由．
【分析】（1）由y＝﹣x2+（a+1）x﹣a，令y＝0，即﹣x2+（a+1）x﹣a＝0，可求出A、B坐标结合三角形的面积，解出a＝﹣3；
（2）根据题意P的纵坐标为±3，分别代入解析式即可求得横坐标，从而求得P的坐标．
【解析】（1）∵y＝﹣x2+（a+1）x﹣a，
令x＝0，则y＝﹣a，
∴C（0，﹣a），
令y＝0，即﹣x2+（a+1）x﹣a＝0
解得x1＝a，x2＝1
由图象知：a＜0
∴A（a，0），B（1，0）
∵S△ABC＝6
∴12（1﹣a）（﹣a）＝6
解得：a＝﹣3，（a＝4舍去）；
（2）∵a＝﹣3，
∴C（0，3），
∵S△ABP＝S△ABC．
∴P点的纵坐标为±3，
把y＝3代入y＝﹣x2﹣2x+3得﹣x2﹣2x+3＝3，解得x＝0或x＝﹣2，
把y＝﹣3代入y＝﹣x2﹣2x+3得﹣x2﹣2x+3＝﹣3，解得x＝﹣1+7或x＝﹣1-7，
∴P点的坐标为（﹣2，3）或（﹣1+7，﹣3）或（﹣1-7，﹣3）．
2．（2021安徽）在平面直角坐标系中，已知点A（1，2），B（2，3），C（2，1），直线y＝x+m经过点A，抛物线y＝ax2+bx+1恰好经过A，B，C三点中的两点．
（1）判断点B是否在直线y＝x+m上，并说明理由；
（2）求a，b的值；
（3）平移抛物线y＝ax2+bx+1，使其顶点仍在直线y＝x+m上，求平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值．
【分析】（1）根据待定系数法求得直线的解析式，然后即可判断点B（2，3）在直线y＝x+m上；
（2）因为直线经过A、B和点（0，1），所以经过点（0，1）的抛物线不同时经过A、B点，即可判断抛物线只能经过A、C两点，根据待定系数法即可求得a、b；
（3）设平移后的抛物线为y＝﹣x+px+q，其顶点坐标为（p2，p24+q），根据题意得出p24+q=p2+1，由抛物线y＝﹣x+px+q与y轴交点的纵坐标为q，即可得出q=p24-p2-1=-14（p﹣1）2+54，从而得出q的最大值．
【解析】（1）点B是在直线y＝x+m上，理由如下：
∵直线y＝x+m经过点A（1，2），
∴2＝1+m，解得m＝1，
∴直线为y＝x+1，
把x＝2代入y＝x+1得y＝3，
∴点B（2，3）在直线y＝x+m上；
（2）∵直线y＝x+1与抛物线y＝ax2+bx+1都经过点（0，1），且B、C两点的横坐标相同，
∴抛物线只能经过A、C两点，
把A（1，2），C（2，1）代入y＝ax2+bx+1得a+b+1=24a+2b+1=1，
解得a＝﹣1，b＝2；
（3）由（2）知，抛物线为y＝﹣x2+2x+1，
设平移后的抛物线为y＝﹣x+px+q，其顶点坐标为（p2，p24+q），
∵顶点仍在直线y＝x+1上，
∴p24+q=p2+1，
∴q=p24-p2-1，
∵抛物线y＝﹣x+px+q与y轴的交点的纵坐标为q，
∴q=p24-p2-1=-14（p﹣1）2+54，
∴当p＝1时，平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值为54．
3．（2021陕西）如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点（3，12）和（﹣2，﹣3），与两坐标轴的交点分别为A，B，C，它的对称轴为直线l．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）P是该抛物线上的点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上的点．要使以P、D、E为顶点的三角形与△AOC全等，求满足条件的点P，点E的坐标．
【分析】（1）将点（3，12）和（﹣2，﹣3）代入抛物线表达式，即可求解；
（2）由题意得：PD＝DE＝3时，以P、D、E为顶点的三角形与△AOC全等，分点P在抛物线对称轴右侧、点P在抛物线对称轴的左侧两种情况，分别求解即可．
【解析】（1）将点（3，12）和（﹣2，﹣3）代入抛物线表达式得12=9+3b+c-3=4-2b+c，解得b=2c=-3，
故抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣3；
（2）抛物线的对称轴为x＝﹣1，令y＝0，则x＝﹣3或1，令x＝0，则y＝﹣3，
故点A、B的坐标分别为（﹣3，0）、（1，0）；点C（0，﹣3），
故OA＝OC＝3，
∵∠PDE＝∠AOC＝90°，
∴当PD＝DE＝3时，以P、D、E为顶点的三角形与△AOC全等，
设点P（m，n），当点P在抛物线对称轴右侧时，m﹣（﹣1）＝3，解得：m＝2，
故n＝22+2×2﹣5＝5，故点P（2，5），
故点E（﹣1，2）或（﹣1，8）；
当点P在抛物线对称轴的左侧时，由抛物线的对称性可得，点P（﹣4，5），此时点E坐标同上，
综上，点P的坐标为（2，5）或（﹣4，5）；点E的坐标为（﹣1，2）或（﹣1，8）．
4．（2021宁波）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+4x﹣3图象的顶点是A，与x轴交于B，C两点，与y轴交于点D．点B的坐标是（1，0）．
（1）求A，C两点的坐标，并根据图象直接写出当y＞0时x的取值范围．
（2）平移该二次函数的图象，使点D恰好落在点A的位置上，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．
【分析】（1）利用待定系数法求出a，再求出点C的坐标即可解决问题．
（2）由题意点D平移的A，抛物线向右平移2个单位，向上平移4个单位，由此可得抛物线的解析式．
【解析】（1）把B（1，0）代入y＝ax2+4x﹣3，得0＝a+4﹣3，解得a＝﹣1，
∴y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，
∴A（2，1），
∵对称轴x＝2，B，C关于x＝2对称，
∴C（3，0），
∴当y＞0时，1＜x＜3．
（2）∵D（0，﹣3），
∴点D平移的A，抛物线向右平移2个单位，向上平移4个单位，可得抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣4）2+5．
5．如图在直角坐标平面内，抛物线与y轴交于点A，与x轴分别交于点B（-1，0）、点C（3，0），点D是抛物线的顶点.
（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；
（2）联结AD、DC，求的面积；
（3）点P在直线DC上，联结OP，若以O、P、C为顶点的三角形与△ABC相似，求点P的坐标．
备用图

【解析】：（1） 点B（-1，0）、C（3，0）在抛物线上
∴，解得
∴抛物线的表达式为，顶点D的坐标是（1，-4）
（2）∵A（0，-3），C（3，0），D（1，-4） ∴，，
∴ ∴
∴
（3）∵，，
∴△CAD∽△AOB，∴
∵OA=OC， ∴
∴，即
若以O、P、C为顶点的三角形与△ABC相似 ，且△ABC为锐角三角形
则也为锐角三角形，点P在第四象限
由点C（3，0），D（1，-4）得直线CD的表达式是，设（）
过P作PH⊥OC，垂足为点H，则，
①当时,由得，
∴，解得， ∴
②当时,由得，
∴，解得，∴
综上得或
6．已知抛物线经过点A（1,0）和B（0,3），其顶点为D.
（1）求此抛物线的表达式；
（2）求△ABD的面积；
（3）设P为该抛物线上一点，且位于抛物线对称轴右侧，作PH⊥对称轴，垂足为H，若△DPH与△AOB相似，求点P的坐标.
【解析】：（1）由题意得：
得：，
所以抛物线的表达式为.
（2）由（1）得D（2，﹣1），
作DT⊥y轴于点T,
则△ABD的面积=.
（3）令P.
由△DPH与△AOB相似，易知∠AOB=∠PHD=90°，
所以或，
解得：或，
所以点P的坐标为（5,8），.
7．
平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线经过点A（1,0）和B（3,0），
与y轴相交于点C，顶点为P．
（1）求这条抛物线的表达式和顶点P的坐标；
（2）点E在抛物线的对称轴上，且EA=EC，
求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下，记抛物线的对称轴为
直线MN，点Q在直线MN右侧的抛物线
上，∠MEQ=∠NEB，求点Q的坐标．
【解析】：（1）∵二次函数的图像经过点A（1，0）和B（3，0），
∴，解得：，．
∴这条抛物线的表达式是.
顶点P的坐标是（2，-1）．
（2）抛物线的对称轴是直线，设点E的坐标是（2，m）．
根据题意得： ，解得：m=2，
∴点E的坐标为（2，2）．
（3）解法一：设点Q的坐标为，记MN与x轴相交于点F．
作QD⊥MN，垂足为D，
则，,
∵∠QDE=∠BFE=90°，∠QED=∠BEF，∴△QDE∽△BFE，
∴，∴，
解得（不合题意，舍去），．
∴，点E的坐标为（5，8）．
解法二：记MN与x轴相交于点F．联结AE，延长AE交抛物线于点Q，
∵AE=BE， EF⊥AB，∴∠AEF=∠NEB，
又∵∠AEF=∠MEQ，∴∠QEM=∠NEB，
点Q是所求的点，设点Q的坐标为，
作QH⊥x轴，垂足为H，则QH=，OH=t，AH=t-1，
∵EF⊥x轴，∴EF ∥QH，∴，∴，
解得（不合题意，舍去），．
∴，点E的坐标为（5，8）．
8．（2021上海）在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴分别交于点A、B（如图）．抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过点A．
（1）求线段AB的长；
（2）如果抛物线y＝ax2+bx经过线段AB上的另一点C，且BC=，求这条抛物线的表达式；
（3）如果抛物线y＝ax2+bx的顶点D位于△AOB内，求a的取值范围．
【分析】（1）先求出A，B坐标，即可得出结论；
（2）设点C（m，-12m+5），则BC=52|m，进而求出点C（2，4），最后将点A，C代入抛物线解析式中，即可得出结论；
（3）将点A坐标代入抛物线解析式中得出b＝﹣10a，代入抛物线解析式中得出顶点D坐标为（5，﹣25a），即可得出结论．
【解析】（1）针对于直线y=-12x+5，
令x＝0，y＝5，
∴B（0，5），
令y＝0，则-12x+5＝0，
∴x＝10，
∴A（10，0），
∴AB=52+102=55；
（2）设点C（m，-12m+5），
∵B（0，5），
∴BC=m2+(-12m+5-5)2=52|m|，
∵BC=5，
∴52|m|=5，
∴m＝±2，
∵点C在线段AB上，
∴m＝2，
∴C（2，4），
将点A（10，0），C（2，4）代入抛物线y＝ax2+bx（a≠0）中，得100a+10b=04a+2b=4，
∴a=-14b=52，
∴抛物线y=-14x2+52x；
（3）∵点A（10，0）在抛物线y＝ax2+bx中，得100a+10b＝0，
∴b＝﹣10a，
∴抛物线的解析式为y＝ax2﹣10ax＝a（x﹣5）2﹣25a，
∴抛物线的顶点D坐标为（5，﹣25a），
将x＝5代入y=-12x+5中，得y=-12×5+5=52，
∵顶点D位于△AOB内，
∴0＜﹣25a＜52，
∴-110＜a＜0；
9．（2021苏州）如图，二次函数y＝x2+bx的图象与x轴正半轴交于点A，平行于x轴的直线l与该抛物线交于B、C两点（点B位于点C左侧），与抛物线对称轴交于点D（2，﹣3）．
（1）求b的值；
（2）设P、Q是x轴上的点（点P位于点Q左侧），四边形PBCQ为平行四边形．过点P、Q分别作x轴的垂线，与抛物线交于点P'（x1，y1）、Q'（x2，y2）．若|y1﹣y2|＝2，求x1、x2的值．
【分析】（1）抛物线的对称轴为x＝2，即12b＝2，解得：b＝﹣4，即可求解；
（2）求出点B、C的坐标分别为（1，﹣3）、（3，﹣3），则BC＝2，而四边形PBCQ为平行四边形，则PQ＝BC＝2，故x2﹣x1＝2，即可求解．
【解析】（1）直线与抛物线的对称轴交于点D（2，﹣3），
故抛物线的对称轴为x＝2，即12b＝2，解得：b＝﹣4，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x；
（2）把y＝﹣3代入y＝x2﹣4x并解得x＝1或3，
故点B、C的坐标分别为（1，﹣3）、（3，﹣3），则BC＝2，
∵四边形PBCQ为平行四边形，
∴PQ＝BC＝2，故x2﹣x1＝2，
又∵y1＝x12﹣4x1，y2＝x22﹣4x2，|y1﹣y2|＝2，
故|（x12﹣4x1）﹣（x22﹣4x2）＝2，|x1+x2﹣4|＝1．
∴x1+x2＝5或x1+x2＝﹣3，
由x2-x1=2x1+x2=5，解得x1=32x2=72；
由x2-x1=2x1+x2=3，解得x1=12x2=52．
10．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线的图像与x轴交于点
A（3，0），与y轴交于点B，顶点C在直线上，将抛物线沿射线AC的方向平移，当顶点C恰好落在y轴上的点D处时，点B落在点E处．
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）求平移过程中线段BC所扫过的面积；
备用图
（3）已知点F在x轴上，点G在坐标平面内，且以点C、E、F、G为顶点的四边形是矩形，求点F的坐标．
．
【解析】：（1）∵顶点C在直线上，∴，∴．
将A（3，0）代入，得，
解得，．
∴抛物线的解析式为．
（2）过点C作CM⊥x轴，CN⊥y轴，垂足分别为M、N．
∵=，∴C（2，）．
∵，∴∠MAC=45°，∴∠ODA=45°，
∴．
∵抛物线与y轴交于点B，∴B（0，），
∴．
∵抛物线在平移的过程中，线段BC所扫过的面积为平行四边形BCDE的面积，
∴．
（3）联结CE.
∵四边形是平行四边形，∴点是对角线与的交点，
即 .
（i）当CE为矩形的一边时，过点C作，交轴于点，
设点，在中，，
即 ，解得 ，∴点
同理，得点
（ii）当CE为矩形的对角线时，以点为圆心，长为半径画弧分别交轴于点
、，可得 ，得点、
综上所述：满足条件的点有，，），．