2021-2022学年山东省师范大学附属中学高一上学期第一次月考数学试题含解析

山东省师范大学附属中学2021-2022学年高一上学期第一次月考数学试题

1．设集合，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】

由交集的定义计算即可.

【详解】

因为，

所以.

故选：D.

2．命题的否定为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】

利用全称命题的否定解答即可.

【详解】

因为命题，

所以命题的否定形式为.

故选：C.

3．若，则下列结论不正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】

先由得到的大小关系，再逐个验证，即可得出结果.

【详解】

由于，得到，则A错误，D正确，

进而可得，故B、C正确，

结论不正确的是A.

故选：A.

4．已知，则的最小值为（    ）

A．4 B．

C． D．

【答案】C

【分析】

将原式构造成两正数和的形式，然后利用基本不等式求解即可.

【详解】

因为，且，

当且仅当即时取等号.

故选：C.

5．将一根铁丝切割成三段,做成一个面积为、形状为直角三角形的工艺品框架,在下列4种长度的铁丝中，选用最合适（够用且浪费最少）的是（    ）（注：）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】

设直角三角形的两条直角边为，由面积可得，故周长，利用均值不等式以及，即得解

【详解】

由题意，设直角三角形的两条直角边为

则

此时三角形框架的周长

当且仅当时等号成立

由于，

故选：C

6．《几何原本》卷II的几何代数法成了后世西方数学家处理数学问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以直接完成的无字证明为 （    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】

由图形可知：，．在中，由勾股定理可得：．利用即可得出．

【详解】

解：由图形可知：，．

在中，由勾股定理可得：

．

，

．．

故选：．

7．使 “”成立的必要不充分条件是（    ）

A． B．

C．或 D．或

【答案】A

【分析】

解不等式，求得，根据必要不充分条件的定义即可得出结果.

【详解】

不等式可化为解得

则成立，反之不可以.

所以是成立的必要不充分条件.

故选：A

8．已知，，则与之间的大小关系是（    ）

A． B． C． D．无法比较

【答案】B

【分析】

构造函数，得到，然后利用不等式的性质，由与的大小判断.

【详解】

设，则，

所以，

，

而，

所以，即，

故选：B

9．下列命题是存在量词命题且是真命题的是（    ）

A．存在实数，使

B．存在一个无理数，它的立方是有理数

C．有一个实数的倒数是它本身

D．每个四边形的内角和都是360°

【答案】BC

【分析】

根据已知逐个判断各选项即可得出结果.

【详解】

对于A.是存在量词命题，但不存在实数，使成立，即为假命题，故A错误，

对于B,是存在量词命题，例如无理数，它的立方是为有理数，故B正确，

对于C,是存在量词命题，例如1的倒数是它本身，为真命题，故C正确，

对于D,是全称量词命题，故D错误，

故选：BC

10．设全集，集合，则下列运算正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】

化简集合M，N，计算，，，即可求解.

【详解】

，，

，，故A,B正确；

或，，

或，，故C错误，D正确.

故选：ABD

11．已知不等式的解集为，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AD

【分析】

对A，根据一元二次不等式与一元二次函数的关系即可判断；对B，C，利用韦达定理即可判断；对D，利用对应的二次函数最大值大于0，即可判断

【详解】

对A，不等式的解集为，

故相应的二次函数的图象开口向下，即，故A正确；

对B，C，由题意知： 和是关于的方程的两个根，

则有，，

又，故，故B，C错误；

对D，对称轴为，由于函数开口向下，且存在大于0的部分

故当，取得的最大值必大于0，故成立，故D正确.

故选：AD

12．在中，三边长分别为，，，且，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【分析】

根据不等式的性质，由三角形的性质，可判断A正确；利用基本不等式，可判断BC正确；由特殊值法，可判断D错.

【详解】

A选项，因为，，为三角形三边，所以，则，即，故A正确；

B选项，根据三角形的性质可得，，则，当且仅当时，等号成立；因此，故B错；

C选项，，当且仅当，即时，等号成立，此时不满足三角形性质，故，即C正确；

D选项，若，则能构成三角形，且满足，但此时，即D错；

故选：ABC.

【点睛】

易错点睛：

利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

13．若方程有两个不相等的正实数根，则实数a的取值范围是__________.

【答案】

【分析】

根据条件可得，列出不等式求解即可.

【详解】

由方程有两个不相等的正实数根，设为

则 ，即，解得

故答案为：

14．已知集合，若，则实数的值为__________.

【答案】或

【分析】

因为，则或或，分别求，，时集合，根据集合元素的互异性，即可求解.

【详解】

因为，则或或，

当时，，，符合题意；

当时，，，不满足集合中元素的互异性，舍去；

当时，或（舍）

当时，，符合题意；

综上所述：或，

故答案为：或

15．已知，则的最小值是_______．

【答案】9

【分析】

根据已知可将变形为，展开可得，利用基本不等式即可求得结果.

【详解】

，

当且仅当时取等号，故的最小值是9.

故答案为：9.

16．已知函数的图象顶点的纵坐标为0，若关于的不等式的解集为，则实数的值为_______．

【答案】

【分析】

利用的顶点坐标公式得出的关系，再利用解集的区间长度为4得出的方程可求解.

【详解】

由令，由图象顶点的纵坐标为0，得出，，

由的解集为，

，又，

所以，解得：.

故答案为：-3.

17．（1）解不等式：；

（2）已知，，求的范围．

【答案】（1）；（2）．

【分析】

（1）通过一元二次不等式的解法计算即可；

（2）通过不等式的性质计算即可.

【详解】

解：（1）

（2）

18．已知集合．

（1）若，求实数的取值范围；

（2）若，求实数的取值范围．

【答案】（1）或；（2）．

【分析】

（1）由且，列不等式求的范围即可.

（2）由条件知，且，列不等式求的范围即可.

【详解】

解：（1），且，

或，

解得：或．

（2），

，

解得：．

19．已知命题，命题,若命题都是真命题，求实数的取值范围．

【答案】．

【分析】

通过命题的真假关系，求得命题都是真命题时实数的取值范围取交集即可.

【详解】

解：①命题是真命题，

则当时，

，解得，不满足条件；

当时，要使得，必有

，解得，

命题是真命题时．

②命题是真命题，

则有，即，

解得：或．

综上①②，命题都是真命题时，．

20．某机械加工公司计划建造一个室内面积为的矩形车间．在车间内，沿左、右两侧与前侧内墙各保留宽的通道，沿后侧内墙保留宽的通道以方便运送原材料；其他为机械操作面积．当矩形车间的边长各为多少时，车间的机械操作面积最大？最大操作面积是多少？

【答案】当矩形车间的边长各为时，车间的机械操作面积最大，最大操作面积是．

【分析】

设矩形车间的长为，宽为，由题意得，则车间的机械操作面积，利用基本不等式计算即可求得结果.

【详解】

解：设矩形车间的长为，宽为，且，

则由题意得，

车间的机械操作面积

，，

，

当且仅当即时，．

答：当矩形车间的边长各为时，车间的机械操作面积最大为．

21．解关于x的不等式.

【答案】答案见解析.

【分析】

对分、、、 和五种情况讨论得解.

【详解】

当时，不等式的解为；

当时，不等式对应方程的根为或2，

①当时，不等式即 的解集为；

②当时，不等式的解集为 ；

③当时，不等式的解集为 ；

④当时，不等式的解集为 .

综上所述，当时，不等式解集为；

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为.

【点睛】

易错点睛：解答本题有两个易错点：（1）漏掉这一种情况，因为不确定不等式是不是一元二次不等式，所以要讨论；（2）当时，分类出现错误或遗漏.

22．有一种变压器铁芯的截面是如图所示的正十字形，为保证磁通量的稳定性，要求十字形铁芯的面积为．为节约成本，需使用来绕铁芯的铜线最省，即正十字形外接圆周长最短．问当正十字形的长和宽为多少厘米时，正十字形外接圆周长最短，最短是多少厘米？

【答案】当正十字形的长为，宽为时，正十字形外接圆周长最短，最短是．

【分析】

设，，由十字形铁芯的面积，可得，正十字形外接圆半径的平方可表示为，代入化简可得，利用均值不等式可得，利用圆的周长公式即得解

【详解】

设正十字形的宽厘米，长厘米，且，

则由题意得：十字形铁芯的面积

所以，

正十字形外接圆周长最短，则圆半径最短，

圆半径

，

，

当且仅当时即时，，

此时，，

，

正十字形外接圆周长最短为：．

答：当正十字形的长为，宽为时，正十字形外接圆周长最短是.