第52讲 圆锥曲线的综合应用-定点、定值问题（讲） 2021-2022年新高考数学一轮复习考点归纳 （学生版+教师版）

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思维导图
知识梳理
1．直线与圆锥曲线的位置关系
判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(或x)得到一个关于变量x(或y)的一元方程．
例：由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Ax＋By＋C＝0，,Fx，y＝0))消去y，得ax2＋bx＋c＝0.
(1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则：
Δ>0⇔直线与圆锥曲线C相交；
Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C相切；
Δ0)的焦点F(1,0)，O为坐标原点，A，B是抛物线C上异于O的两点．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若直线OA，OB的斜率之积为－eq \f(1,2)，求证：直线AB过x轴上一定点．
【跟踪训练1-1】已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右焦点F(eq \r(3)，0)，长半轴长与短半轴长的比值为2.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设不经过点B(0,1)的直线l与椭圆C相交于不同的两点M，N，若点B在以线段MN为直径的圆上，证明：直线l过定点，并求出该定点的坐标．
【名师指导】
定点问题实质及求解步骤
解析几何中的定点问题实质是：当动直线或动圆变化时，这些直线或圆相交于一点，即这些直线或圆绕着定点在转动．这类问题的求解一般可分为以下三步：
题型2 “设参→用参→消参”三步解决圆锥曲线中的定值问题
【例2-1】已知抛物线E：y2＝2px(p>0)，直线x＝my＋3与E交于A，B两点，且eq \(OA,\s\up7(―→))·eq \(OB,\s\up7(―→))＝6，其中O为坐标原点．
(1)求抛物线E的方程；
(2)已知点C的坐标为(－3,0)，记直线CA，CB的斜率分别为k1，k2，证明：eq \f(1,k\\al(2,1))＋eq \f(1,k\\al(2,2))－2m2为定值．
【跟踪训练2-1】已知椭圆C的两个顶点分别为A(－2，0)，B(2,0)，焦点在x轴上，离心率为eq \f(\r(3),2).
(1)求椭圆C的方程；
(2)如图所示，点D为x轴上一点，过点D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过点D作AM的垂线交BN于点E.求证：△BDE与△BDN的面积之比为定值，并求出该定值．
【名师指导】
定值问题实质及求解步骤
定值问题一般是指在求解解析几何问题的过程中，探究某些几何量(斜率、距离、面积、比值等)与变量(斜率、点的坐标等)无关的问题．其求解步骤一般为：