第28讲 平面向量的概念及线性运算（讲） 2021-2022年新高考数学一轮复习考点归纳 （学生版+教师版）

第28讲 平面向量的概念及线性运算（讲）

思维导图

知识梳理

1．向量的有关概念

(1)向量的定义及表示：既有大小又有方向的量叫做向量．以A为起点、B为终点的向量记作，也可用黑体的单个小写字母a，b，c，…来表示向量．

(2)向量的长度(模)：向量的大小即向量的长度(模)，记为.　　　　　　　　　　　　　　　　 　　

2．几种特殊向量

3．向量的线性运算

4．共线向量定理

向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa.

题型归纳

题型1    平面向量的有关概念

【例1-1】（2020春•临川区校级期中）下列说法正确的是（　　）

A．零向量没有方向 

B．向量就是有向线段 

C．只有零向量的模长等于0 

D．单位向量都相等

【例1-2】（2020春•芮城县月考）有下列命题：

①两个相等向量，若它们的起点相同，终点也相同；

②若，则；

③若，则四边形ABCD是平行四边形；

④若，，则；

⑤若，，则；

⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段．

其中，假命题的个数是（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5

【跟踪训练1-1】（2019春•城关区校级月考）给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的：②若，都是单位向量，则；③向量与相等，则所有正确命题的序号是（　　）

A．① B．③ C．①③ D．①②

【跟踪训练1-2】（2019春•北碚区期末）下列命题中，正确的个数是（　　）

①单位向量都相等； 

②模相等的两个平行向量是相等向量；

③若，满足||＞||且与同向，则；

④若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合；

⑤若∥，∥，则∥．

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

【跟踪训练1-3】（2019•西湖区校级模拟）下列关于向量的叙述不正确的是（　　）

A．向量的相反向量是 

B．模为1的向量是单位向量，其方向是任意的 

C．若A，B，C，D四点在同一条直线上，且AB＝CD，则 

D．若向量与满足关系，则与共线

【跟踪训练1-4】（2019春•民乐县校级月考）下列关于向量的结论：

（1）若||＝||，则或；

（2）向量与平行，则与的方向相同或相反；

（3）起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量；

（4）若向量与同向，且||＞||，则．

其中正确的序号为（　　）

A．（1）（2） B．（2）（3） C．（4） D．（3）

【名师指导】

题型2    向量的线性运算

【例2-1】（2020•海南）在△ABC中，D是AB边上的中点，则（　　）

A．2 B．2 C．2 D．2

【例2-2】（2020•绥化模拟）已知点D在△ABC的边AC上，CD＝2DA，点E是BD中点，则（　　）

A． B． C． D．

【例2-3】（2020春•焦作期末）在正方形ABCD中，点M，N分别满足，，且，则λ＝（　　）

A．2 B．1 C． D．

【跟踪训练2-1】（2020春•凉山州期末）如图，△ABC中，已知2，则（　　）

A． B． C． D．

【跟踪训练2-2】（2020•东莞市二模）已知A，B，C三点不共线，且点O满足，则（　　）

A． B． 

C． D．

【跟踪训练2-3】（2020•湖北模拟）△ABC中，点D为BC的中点，，M为AD与CE的交点，若，则实数λ＝（　　）

A． B． C． D．

【名师指导】

题型3    共线向量定理的应用

【例3-1】（2020春•新余期末）已知两个非零向量，不共线，若3，623，48，且A、B、D三点共线，则λ等于　 　．

【例3-2】（2019春•西城区校级期中）向量（k，12），（4，5），（10，k），当k为何值时，A、B、C三点共线．

【跟踪训练3-1】（2020•江都区校级模拟）在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，且AD＝DB，BE＝2EC，记，，若，则x+y的值为　　    ．

【跟踪训练3-2】（2020•茂名二模）设，是不共线的两个平面向量，已知，，若A，B，C三点共线，则k＝（　　）

A．2 B．﹣2 C．6 D．﹣6

【跟踪训练3-3】（2020春•临川区校级期中）设，不共线，，，，若A，C，D三点共线，则实数m的值是（　　）

A． B． C． D．

【名师指导】