第27讲 解三角形应用举例（讲） 2021-2022年新高考数学一轮复习考点归纳 （学生版+教师版）

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第27讲 解三角形应用举例（讲）思维导图知识梳理1．仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)．2．方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．3．方向角：相对于某一正方向的水平角．(1)北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③)．(2)北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向．(3)南偏西等其他方向角类似．区分两种角(1)方位角：从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角．(2)方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角．4．坡角与坡度(1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角)．(2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡度)．坡度又称为坡比．题型归纳题型1    解三角形的实际应用【例1-1】（2020春•鼓楼区校级期末）海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径，两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点，，测得，，，，则，两点的距离为　　A． B．80 C．160 D．【分析】根据题意画出图形，中利用正弦定理求出的值，中利用等角对等边求出的值，再在中由余弦定理求出的值．【解答】解：如图所示：中，，，，，由正弦定理，得，解得，中，，，，，，中，由余弦定理，得，，即，两点间的距离为，故选：．【例1-2】（2020春•威宁县期末）小华想测出操场上旗杆的高度，在操场上选取了一条基线，请从测得的数据①，②处的仰角，③处的仰角，④，⑤中选取合适的，计算出旗杆的高度为　　A． B． C． D．【分析】首先利用仰角和俯角的应用求出和的长，进一步利用余弦定理的应用求出的长【解答】解：选①②③⑤，如图所示：则，，设，则，．在中，利用余弦定理：，整理得：，即故选：．【例1-3】（2019秋•黄山期末）新安江某段南北两岸平行，一艘游船从南岸码头出发航行到北岸，假设游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为，设和的夹角为，北岸的点在的正北方向，游船正好抵达处时，　　A． B． C． D．【分析】依题意可作出图形，利用图中的直角三角形可求得，从而可得答案．【解答】解：依题意，作图如下，设由到航行的时间为，则，，在直角三角形中，，所以，所以，所以，故选：．【跟踪训练1-1】（2020春•湖北期末）为了测量河对岸两地、之间的距离，先在河这岸选择一条基线，测得米，再测得，，，，据此计算、两地之间的距离是　　A． B． C． D．【分析】先在直角三角中，求出，然后在三角形中，利用正弦定理求出，最后利用三角形中，利用余弦定理求出的值．【解答】解：由已知，在三角形中，米，，，．又在三角形中，米，，，，由正弦定理得，即，．所以在中，，，．故选：．【跟踪训练1-2】（2020春•德州期末）如图所示，为了测量山高，选择和另一座山的山顶作为测量基点，从点测得点的仰角，点的仰角，，从点测得．已知山高，则山高（单位：为　　A．750 B． C．850 D．【分析】利用直角三角形求出，由正弦定理求出，再利用直角三角形求出的值．【解答】解：在中，，，所以；在中，，，从而，由正弦定理得，，因此；在中，，，由，得．故选：．【跟踪训练1-3】（2020春•萍乡期末）俗语云：天王盖地虎，宝塔镇河妖．萍乡塔多，皆因旧时萍城多水患，民不聊生．迷信使然，建塔以辟邪镇邪．坐落在萍城小西门汪公潭境内的宝塔岭上就有这么一座“如愿塔”．此塔始建于唐代，后该塔曾因久失修倒塌，在清道光年间重建．某兴趣小组为了测量塔的高度，如图所示，在地面上一点处测得塔顶的仰角为，在塔底处测得处的俯角为．已知山岭高为36米，则塔高为　　A．米 B．米 C．米 D．米【分析】根据题意结合图形，利用三角形的边角关系，即可求出塔高的值．【解答】解：如图所示，在中，，，所以；在中，，所以，所以，即塔高为米．故选：．【跟踪训练1-4】（2020•全国Ⅱ卷模拟）公路北侧有一幢楼，高为60米，公路与楼脚底面在同一平面上．一人在公路上向东行走，在点处测得楼顶的仰角为，行走80米到点处，测得仰角为，再行走80米到点处，测得仰角为．则　　    ．【分析】画出示意图，知道边长和角度，然后利用，即可求出结论．【解答】解：如图；面，，；由题可得：；；；；；故答案为：．【名师指导】1.测量距离问题的2个策略(1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．2.高度也是两点之间的距离，其解法同测量水平面上两点间距离的方法是类似的，基本思想是把要求解的高度(某线段的长度)纳入到一个可解的三角形中，使用正、余弦定理或其他相关知识求出该高度．3.测量角度问题的基本思路测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解． 题型2   正、余弦定理在平面几何中的应用【例2-1】（2020春•垫江县校级期末）如图，在平面四边形中，的面积为，，，，，则　　   ，　　．【分析】直接利用余弦定理和三角形面积公式的应用，勾股定理的应用求出结果．【解答】解：连接，如图所示：在中，由于，，，利用余弦定理：，解得，所以，所以．由于，所以．已知的面积为，所以，解得．进一步利用勾股定理的应用：，解得．故答案为：，【例2-2】（2020春•天河区期末）如图，在四边形中，，且，，．（1）求的面积；（2）若，求的长．【分析】（1）利用已知条件求出角的正弦函数值，然后求的面积；（2）利用余弦定理求出，通过的值利用余弦定理求解的长．【解答】解：（1），，可求：．．． （2），，，在中，由余弦定理知，，在中，，可得：，整理可得，解得：． 【跟踪训练2-1】（2019秋•珠海期末）如图，在中，，，是边上一点，，，则的长为　　A． B． C．8 D．【分析】先根据余弦定理求出度数，最后根据正弦定理可得答案．【解答】解：在中，，，，由余弦定理得，因为是三角形内角，，在中，，，，由正弦定理得：．故选：．【跟踪训练2-2】（2020•漳州模拟）如图，在中，是边上的点，且，，，则的值为　　A． B． C． D．【分析】设，则由题意可得：，，利用余弦定理表示出，把三边长代入求出的值，进而确定出的值，由，，以及的值，利用正弦定理求出的值即可．【解答】解：设，则由题意可得：，，在中，由余弦定理得：，，在中，由正弦定理得，，即，解得：，故选：．【跟踪训练2-3】（2020春•泰州期末）如图，在中，角的平分线交于，且．若，，则　　    ．【分析】不妨令，易知，，然后在中，利用正弦定理，求出，的值，最后在中，利用正弦定理，可求出的值．【解答】解：在中，角的平分线交于，且．设，则，，，即，整理得，所以：，结合得，即，显然是锐角，所以，．再由得：，，解得．故答案为：．【跟踪训练2-4】（2020•青岛模拟）如图，在平面四边形中，，，．（1）若，求四边形的面积；（2）若，求．【分析】（1）由已知结合勾股定理可求，然后结合余弦定理可求，再由三角形的面积公式可求；（2）由已知结合正弦定理可求，然后结合同角平方关系可求，结合特殊角的三角函数值及两角和的正弦公式可求．【解答】解：（1）连接，在 中，由勾股定理可得，，故，中，由余弦定理可得，，因为为三角形的内角，故，所以，，故求四边形的面积，（2）在中，由正弦定理可得，所以，因为，所以，，中，，故，所以．【名师指导】与平面图形有关的解三角形问题的关键及思路求解平面图形中的计算问题，关键是梳理条件和所求问题的类型，然后将数据化归到三角形中，利用正弦定理或余弦定理建立已知和所求的关系．具体解题思路如下：(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果． 题型3    解三角形与三角函数的综合问题【例3-1】（2020春•温州期中）设函数，．（Ⅰ）已知，，函数是偶函数，求的值；（Ⅱ）设的三边，，所对的角分别为，，，若，，求的面积的最大值．【分析】把已知函数解析式利用辅助角公式化简．（Ⅰ）由函数是偶函数，得，进一步得到，恒成立，得到，再由的范围求得值；（Ⅱ）由求解角，由已知结合余弦定理及基本不等式求得的最大值，则的面积的最大值可求．【解答】解：．（Ⅰ）由函数是偶函数，得，即，，（舍或，恒成立．即，，，或；（Ⅱ）由，得，即，，，得，即．由余弦定理可得：，（当且仅当时取等号），即．的面积．即的面积的最大值为．【跟踪训练3-1】（2020•遂宁模拟）已知向量，向量，，函数，直线是函数图象的一条对称轴．（1）求函数的解析式及单调递增区间；（2）设的内角，，的对边分别为，，，且，，锐角满足，求的值．【分析】（1）利用向量的数量积以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式，结合函数的对称性周期性，求解函数的解析式．利用正弦函数的单调性求解函数的单调增区间即可．（2）利用函数的解析式结合正弦定理余弦定理转化求解即可．【解答】解：（1），直线是函数图象的一条对称轴，，，，，，，．由，得，．单调递增区间为，．（2）由，得，即，因为为锐角，所以，所以，即，又，所以由正弦定理得．①由余弦定理，得，即．②由①②解得．   【名师指导】解三角形与三角函数综合问题的一般步骤