北师大版 (2019)必修 第二册4.1 平面向量基本定理同步达标检测题

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2.4.1　平面向量基本定理 1.设e1，e2是不共线的向量，则下面四组向量中，能作为一组基的组数有(　　)①e1和e1+e2;②e1-2e2和e2-2e1;③e1-2e2和4e2-2e1;④2e1+e2和e1-e2.　　　　　　　　　　　　　　　　A.1组 B.2组 C.3组 D.4组【解析】①设e1+e2=λe1，则无解，所以e1+e2与e1不共线，即e1与e1+e2可作为一组基;②设e1-2e2=λ(e2-2e1)，则(1+2λ)e1-(2+λ)e2=0，则无解，所以e1-2e2与e2-2e1不共线，即e1-2e2与e2-2e1可作为一组基;③因为e1-2e2=-(4e2-2e1)，所以e1-2e2与4e2-2e1共线，即e1-2e2与4e2-2e1不可作为一组基;④设e1+e2=λ(e1-e2)，则(1-λ)e1+(1+λ)e2=0，所以无解，所以e1+e2与e1-e2不共线，即e1+e2与e1-e2可作为一组基.【答案】C2.已知e1，e2为平面内所有向量的一组基，λ∈R，a=e1+λe2，b=2e1，则a与b共线的条件为(　　)A.λ=0 B.e2=0C.e1∥e2 D.e1∥e2或λ=0【解析】因为e1，e2不共线，而a与b共线，所以λ=0.【答案】A3.设a，b为平面内所有向量的一组基，已知向量=a-kb，=2a+b，=3a-b，若A，B，D三点共线，则实数k的值等于(　　)A.2 B.-2 C.10 D.-10【解析】=(a-kb)+(-2a-b)+(3a-b)=2a-(k+2)b.因为A，B，D三点共线，所以存在实数λ使得=λ，即a-kb=λ[2a-(k+2)b]=2λa-λ(k+2)b.因为a，b为基向量，所以解得λ=，k=2.【答案】A4.已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC的中点，且2=0，则(　　)A. B.=2C.=3 D.2【解析】由2=0，得2=-().因为D是BC的中点，所以=2，于是2=-2，即.【答案】A5.(多选)如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是(　　)A.λe1+μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量B.对于平面α内任一向量a，使a=λe1+μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个C.若向量λ1e1+μ1e2与λ2e1+μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e1+μ1e2=λ(λ2e1+μ2e2)D.若实数λ，μ使得λe1+μe2=0，则λ=μ=0【解析】由平面向量基本定理可知A，D是正确的.对于B，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基确定，那么平面内任意一个向量在此基下的实数对是唯一的.对于C，当两向量均为零向量时，即λ1=λ2=μ1=μ2=0时，则这样的λ有无数个.故选BC.【答案】BC6.若e1，e2为平面内所有向量的一组基，且a=3e1-4e2，b=6e1+ke2不能作为一组基，则k的值为　　　　　. 【解析】因为a，b不能作为一组基，所以存在实数λ，使得a=λb，即3e1-4e2=λ(6e1+ke2)，则6λ=3，且kλ=-4，解得λ=，k=-8.【答案】-87.(2020湖北浠水实验高级中学高一期末)设D为△ABC所在平面内一点，=-，若=λ(λ∈R)，则λ=　　　　. 【解析】因为D为△ABC所在平面内一点，由=-，可得3=-+4，即4-4，则4，即=-4，可得=-3，故=-3，则λ=-3.【答案】-31.已知平面内有一点P及一个△ABC，若，则(　　)A.点P在△ABC外部 B.点P在线段AB上C.点P在线段BC上 D.点P在线段AC上【解析】因为，所以=0，即=0，所以=0，所以2，所以点P在线段AC上.【答案】D2.A，B，O是平面内不共线的三个定点，且=a，=b，点P关于点A的对称点为Q，点Q关于点B的对称点为R，则等于(　　)A.a-b B.2(b-a)C.2(a-b) D.b-a【解析】如图，a=)，b=)，相减得b-a=).所以=2(b-a).【答案】B3.(2020北京通州高一期末)在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且=3，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，若=x+(1-x)，则x的取值范围是(　　)A.0， B.0，C.-，0 D.-，0【解析】如图.依题意，设=λ，其中1<λ<，则有+λ+λ()=(1-λ)+λ.又=x+(1-x)，且不共线，于是有x=1-λ∈-，0，即x的取值范围是-，0.故选D.【答案】D4.如图，平行四边形ABCD中，=a，=b，H，M分别是AD，DC的中点，BF=BC，以a，b为基表示向量=　　　　，=　　　　. 【解析】在平行四边形ABCD中，=a，=b，H，M分别是AD，DC的中点，BF=BC，所以=b+a，=a+b-b=a-b.【答案】b+a　a-b5.在△ABC所在平面上有一点P，满足+4，则△PBC与△PAB的面积比为　　　　　　. 【解析】+4，所以2，即点P在AC边上，且AP=2PC，所以△PBC与△PAB的面积比为1∶2.【答案】1∶26.如图所示，在△OAB中，=a，=b，M，N分别是OA，OB上的点，且a，b.设AN与BM交于点P，用向量a，b表示.解设=m=n，因为，所以+ma+m(1-m)a+mb，+n(1-n)b+na.因为a与b不共线，所以解得所以a+b.7.已知A，B，C三点不共线，O为平面上任意一点，证明存在实数p，q，r，使得p+q+r=0，且若p+q+r=0，则必有p=q=r=0.证明由题意可得r=-(p+q).所以p+q-(p+q)=0，即p()=q()，p=q，所以p+q=0=0·+0·.由平面向量的基本定理可知，其分解是唯一的，所以p=0，q=0，p+q=0.因为p+q+r=0，故有p=q=r=0.