高中数学北师大版 (2019)必修 第二册6.1 余弦定理与正弦定理第1课时课后作业题

2.6.1　余弦定理与正弦定理

课时1 余弦定理

1.(2020山东高一月考)已知△ABC的角A，B，C所对的边为a，b，c，c=，b=1，C=，则a=(　　)

A. B.2 C. D.3

【解析】由余弦定理推论可得，cos C==-，整理可得a2+a-6=0，解得a=2.故选B.

【答案】B

2.(2019北京十五中高一期中)△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a=3，b=4，C=60°，则c的值等于              (　　)

A.5 B.13 C. D.

【解析】由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=9+16-24×=13，所以c=.故选C.

【答案】C

3.(2019海南高二期末(文))在△ABC中，AB=3，BC=7，A=120°，则AC=(　　)

A.5 B.6 C.8 D.

【解析】根据余弦定理AC2+AB2-BC2=2·AB·AC·cos A，代入数据，得到AC2+3AC-40=0，解得AC=5.故选A.

【答案】A

4.(2019广东执信中学高三月考(理))在△ABC中，已知B=，BC边上的高恰为BC边长的一半，则cos A=(　　)

A. B. C. D.

【解析】作AH⊥CB交CB延长线上一点H，又知∠ABC=.所以△AHB为等腰直角三角形，设BC=2a，则AB=a，AH=a，CH=3a，由勾股定理得AC=a，根据余弦定理得cos∠BAC=.故选A.

【答案】A

5.(2019中央民族大学附属中学高一月考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2+c2=a2+bc，则角A的大小为　　　　　　. 

【解析】因为b2+c2=a2+bc，

由余弦定理得cos A=.

因为A为△ABC的内角，所以A=60°.

【答案】60°

6.(2019北京人大附中高三开学考试)在△ABC中，a=3，b=，B=60°，则c=　　　　，△ABC的面积为　　　　. 

【解析】由余弦定理，得9+c2-2×3c×=13，解得c=4;由三角形的面积公式，得S=acsin B=×3×4×=3.

【答案】4　3

1.若△ABC的内角A，B，C所对应的边a，b，c满足(a+b)2-c2=4，且C=60°，则ab的值为(　　)

A.8-4 B.1 

C. D.

【解析】因为△ABC的边a，b，c满足(a+b)2-c2=4，

所以c2=(a+b)2-4=a2+b2+2ab-4.

又C=60°，由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=a2+b2-ab，所以2ab-4=-ab，所以ab=.故选C.

【答案】C

2.(2020四川阆中中学高三月考(理))在解三角形的问题中，其中一个比较困难的问题是如何由三角形的三边a，b，c直接求三角形的面积.据说这个问题最早是由古希腊数学家阿基米德解决的，他得到了海伦公式即S=，其中p=(a+b+c).我国南宋著名数学家秦九韶(约1202—1261)也在《数书九章》里面给出了一个等价解法，这个解法写成公式就是S=.这个公式中的Δ应该是(　　)

A. B.

C. D.

【解析】因为=accos B，

所以acsin B=S.故选C.

【答案】C

3.(2019北京清华附中高三月考(理))在△ABC中，A=60°，a=，b=3，则c=　　　　　. 

【解析】由余弦定理可得，()2=32+c2-2×3c×，整理得c2-3c+2=0，解得c=1或2.

【答案】1或2

4.(2020白城市第四中学高一月考)在钝角三角形ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若a=1，b=3，则最大边c的取值范围是　　　　　. 

【解析】由题意知3-1<c<3+1，即2<c<4，又△ABC为钝角三角形，C为最大边，所以cos C<0，

所以根据余弦定理得，a2+b2-c2<0，

即c2>10，解得c>.所以<c<4，

故最大边c的取值范围是(，4).

【答案】(，4)

5.(2020北京市第十三中学高三开学考试)已知△ABC同时满足下列四个条件中的三个:

①A=;②cos B=-;③a=7;④b=3.

(1)请指出这三个条件，并说明理由;

(2)求△ABC的面积.

解(1)△ABC同时满足①③④.理由如下:

因为cos B=-<-，且B∈(0，π)，

所以B>.

若△ABC同时满足①②，则A+B>π，显然不成立.

所以△ABC只能同时满足③，④.

所以a>b，所以A>B，故△ABC不满足②.

故△ABC满足①③④.

(2)由余弦定理得，a2=b2+c2-2bccos A，

即72=32+c2-2×3×c×.

解得c=8或c=-5(舍去).

所以△ABC的面积S=bcsin A=6.　

6.如图，在地面上共线的三点A，B，C处测得一建筑物的仰角分别为30°，45°，60°，且AB=BC=60 m，则建筑物的高度为多少?

解设建筑物的高度为h m，由题图知，PA=(2h) m，PB=(h) m，PC= m，

在△PBA和△PBC中，分别由余弦定理，

得cos∠PBA=， ①

cos∠PBC=. ②

因为∠PBA+∠PBC=180°，

所以cos∠PBA+cos∠PBC=0. ③

由①②③，解得h=30或h=-30(舍去)，即建筑物的高度为30 m.