2022届吉林省长春市普通高中高三质量监测（三）文科数学试题及答案

这是一份2022届吉林省长春市普通高中高三质量监测（三）文科数学试题及答案，共10页。试卷主要包含了在复平面内，复数对应的点坐标为，抛物线过点，则的准线方程为，函数图象的一个对称中心为，若点满足线性条件，则的最大值为，函数的图象大致是，若，则 等内容，欢迎下载使用。
长春市2022届高三质量监测（三）文科数学
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.集合，则A.     B.     C.     D.   2.在复平面内，复数对应的点坐标为A.     B.     C.     D.   3．已知，则“”是“”的A.充分而不必要条件  B.必要而不充分条件 C.充分必要条件  D.既不充分也不必要条件
4.抛物线过点，则的准线方程为A.     B.     C.     D.   5.已知平面向量满足，且与的夹角为，则A.     B.     C.     D.   6.函数图象的一个对称中心为A.     B.     C.     D.   7.某区创建全国文明城市，指挥部办公室对所辖街道当月文明城市创建工作进行考评.工作人员在本区选取了甲、乙两个街道，并在这两个街道各随机抽取10个地点进行现场测评，下表是两个街道的测评分数（满分100分），则下列说法正确的是甲75798284868790919398乙73818183878895969799A.甲、乙两个街道的测评分数的极差相等
B.甲、乙两个街道的测评分数的平均数相等
C.街道乙的测评分数的众数为87
D.甲、乙两个街道测评分数的中位数中，乙的中位数较大
8.若点满足线性条件，则的最大值为A.    2    B.    3    C.    4    D.    5
9.已知等比数列的各项均为正数，其前项和为，若，则
A.    4    B.    10    C.    16    D.    32
10.函数的图象大致是11.已知边长为2的等边三角形，为的中点，以为折痕，将△折起，使，则过四点的球的表面积为A.     B.     C.     D.   12.已知函数满足，当时，，那么A.     B.     C.     D.   二、填空题：本题共4小题，每小题5分.（其中15题，第一空2分，第二空3分）
13.若，则         .14.已知，则的值为         .15.已知数列是首项为3，公比为的等比数列，是其前项的和，若，则         ，        .16.已知点是双曲线上的一点，，设，，△的面积为，则的值为        .三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤、第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22~23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17. （12分）
某学校在寒假期间安排了“垃圾分类知识普及实践活动”.为了解学生的学习成果，该校从全校学生中随机抽取了50名学生作为样本进行测试，记录他们的成绩，测试卷满分100分，将数据分成6组：[40,50）,[50,60），[60,70）,[70,80）,[80,90），[90,100]，并整理得到频率分布直方图：
(I)求的值；
(Ⅱ)若全校学生参加同样的测试，试估计全校学生的平均成绩（每组成绩用中间值代替）；
(Ⅲ)在样本中，从其成绩在80分及以上的学生中按分层抽样随机抽取6人，再从这6人中随机取3人，求3人中成绩在[90,100]中至多1人的概率.
18. （12分）
如图，是△外一点，△的内角的对边分别为，已知.(I)求的大小;(II)若，且△的面积是△面积的2倍，求的值.19.（12分）
如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，
，△是以为底边的等腰三角形，平面平面，点分别为的中点.
（I）求证：；
（Ⅱ）若，求三棱锥的体积.
   20.（12分）
已知椭圆的离心率为,长轴的两个端点分别为.
（I）求椭圆的方程；
（II）过点的直线与椭圆交于（不与重合）两点，直线与直线交于点，求证：、、三点共线.
21．（12分）
已知函数.
（I）若，求的单调区间；
（Ⅱ）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.
（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分.
22.（10分）选修4-4坐标系与参数方程
    在直角坐标系中，已知曲线为参数），在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，已知曲线，曲线.
（I）求曲线与的交点直角坐标
（Ⅱ）设点分别为曲线,上的动点，求的最小值.
23.（10分）选修4-5不等式选讲
已知函数.
（I）解不等式;
（Ⅱ）若不等式有解，求实数的取值范围.

          长春市普通高中2022届高三质量监测（三）数学（文科）试题参考答案及评分标准
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1.B【解析】
2.C【解析】对应点是
3.A【解析】当a>0时，当且仅当a=1时，“=”成立，所以a>1，有；若，有a>0且a≠1
4.B【解析】把点（-4,4）代入得a=1,所以抛物线方程为，所以准线方程为y=-1.
5.A【解析】
6.D【解析】由得，当k=-1时，，y=-1.
7.D【解析】甲街道极差为23，乙街道极差为26；甲街道平均数86.5，乙街道平均数88；乙街道众数81；甲街道中位数为86.5，乙街道中位数为87.5。
8.D【解析】当直线y=-2x+z过（1,3）时，z有最大值5.
9.C【解析】q=-3(舍)或q=2,所以。
10.A【解析】f（x）为偶函数，且f（2）<0.
11.C【解析】AD,BD,CD互相垂直，所以所以选C.
12.A【解析】f（21）=f（1+2×10）=。
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.【解析】
14. 【解析】。
15. 【解析】由通项公式易解。
16.【解析】设，，
三、解答题
17.（本小题满分12分）
【试题解析】解：（1）由频率分布直方图可知a=0.014.（2分）
（2）平均成绩为（45×0.006+55×0.014+65×0.018+75×0.032+85×0.020+95×0.010）×10
＝72.6．（6分）
（3）根据分层抽样可知，成绩在「80,90）中有4人，分别设为A,B,C,D，
在[90,100]中有2人，分别设为a,b，（8分）从这6个人中随机选出3人的方案一共有
ABC、ABD、ABa、ABb、ACD、ACa、ACb、ADa、ADb、BCD、
BCa、BCb、BDa、BDb、CDa、CDb、Aab、Bab、Cab、Dab,20种,（10分）
其中至多包含[90,100]中1人的有ABC、ABD、ABa、ABb、ACD、ACa、ACb、
ADa、ADb、BCD、BCa、BCb、BDa、BDb、CDa、CDb，共计12种，（1分）
因此，取出的3人中，成绩在[90,100]中至多一人的概率为（12分）
18.（本小题满分12分）
【试题解析】解：（1）在△ABC中，由及正弦定理，得，（2分）
整理得2sinBcos∠BAC=cos∠BACsin∠BCA+sin∠BACcos∠BCA
即2sinBcos∠BAC=sinB,因为在△ABC中,sinB≠0,（4分）
所以cos∠BAC=，又0<∠BAC<π，所以∠BAC=，(6分）
（2）由（1）知∠BAC=，因为，所以（8分）又（10分）所以，解得（12分）19.（本小题满分12分）
【试题解析】（1）因为F为BC的中点，底面ABCD是边长为2的菱形，∠DAB=，
所以∠DCB=且DC=2CF=2，易知：△DFC为直角三角形，故∠FDC=，
而∠ADC=，则∠ADF=∠ADC－∠FDC=，故DF⊥AD,(2分）
由平面ADP⊥平面ABCD,平面ADP∩平面ABCD=AD,DF平面ABCD,
所以DF⊥平面ADP，（4分）又AE平面ADP，即AE⊥DF.（6分）
（2）由△PAD是以AD为底边的等腰三角形，E为PD的中点，AE=，设DE=m，
由余弦定理有，cos∠EDA=cos∠PDA，，解得m=1，（8分）△PAD为等边三角形，由平面PAD⊥平面ABCD，点P到平面ABCD的距离为（10分）
由△CDF的面积为，所以三棱锥D-CEF的体积为.（12分）
20.（本小题满分12分）
【试题解析】解：（1）由长轴的两个端点分别为A(-2,0），B(2,0），可得a=2，
由离心率为，可得，所以（2分）又,解得b=1,所以椭圆C的标准方程为.（4分）
（2）设直线的方程为x=my+1，由得
设，则（6分）所以，直线AM的方程为，所以所以（8分）所以即，所以N、B、Q三点共线。（12分）21.（本小题满分12分）
【试题解析】（1）当a=1时，，则。（1分）
当时，因为x+1<1,且，所以
所以，单调递减（2分）当时，因为x+1>1,且，所以
所以，单调递增（3分）所以当a=1时，f(x）的单调递减区间为（-∞,0），单调递增区间为（0,+∞）.（4分）
（2）恒成立等价于恒成立令，则的最小值大于等于0。（5分）②     ①当a=0时，在区间上恒成立，符合题意；（6分）②当时，因为在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以在区间上单调递增，（8分）
当x趋近于0时，趋近于-∞，当x趋近于+∞时，趋近于+∞,
所以存在唯一,使,此时,即,(10分)
则当时，单调递减；当时，单调递增。所以。令，解得。综上，实数的取值范围为。(10分)（2）解法二：,设,当时，令，【】22.（本小题满分10分）
【试题解析】解：（1）曲线的普通方程为；（2分）曲线的直角坐标方程为；（4分）则交点M的直角坐标为（-1,0）.（5分）
（2）曲线的直角坐标方程为，即为圆.（7分）
|AB|的最小值即为圆心（1,0）到曲线（直线）的距离再减去半径1,（9分）
即为.（10分）
23.（本小题满分10分）
（1）（2分）所以的解集为（3分）（7分）由图象可知，当有解时，即可，则的取值范围是。（10分）