常熟市实验中学2020-2021学年八年级下学期3月阶段性检测数学试题（含解析）

这是一份常熟市实验中学2020-2021学年八年级下学期3月阶段性检测数学试题（含解析），共33页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020—2021学年春学期初二数学阶段性检测试卷
本张试卷共130分，选择题30分，填空题24分，解答题76分
一、选择题（共30分）
1. 下列各分式中，最简分式是（　　）
A. B. C. D.
2. 下列调查中，适合用抽样调查的是( )
A. 了解全班同学每周体育锻炼的时长 B. “新冠”肺炎疫情期间检测地铁乘客的体温
C. 某学校招艺术特长生，对报名的学生进行面试 D. 了解全国中学生每天写作业的时长
3. 将下列分式中x，y(xy≠0)的值都扩大为原来的2倍后，分式的值一定不变的是(　　)
A. B. C. D.
4. 如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，点P是AB中点，PO=2，则菱形ABCD的周长是(　　)

A. 4 B. 8 C. 16 D. 24
5. 下列条件中，不能确定四边形ABCD为平行四边形的是(　　)
A. ∠A=∠C，∠B=∠D B. ∠A＋∠B=180°，∠B＋∠C=180°
C. ，AD=BC D. ，AD=BC
6. 代数式有意义时，x应满足的条件是(　　)
A x≠8 B. x＜8 C. x＞8 D. x≥8
7. 如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，点E在AB边上，EF⊥AC于点F，连接EC，AF＝3，△EFC的周长为12，则EC的长为(　　)

A. B. 3
C. 5 D. 6
8. 如果关于x的分式方程有增根，那么m的值为（ ）
A. B. 2 C. 4 D.
9. 如图，平面直角坐标系中，长方形OABC，点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点B（6，3），现将△OAB沿OB翻折至△OA′B位置，OA′交BC于点P．则点P的坐标为（　　）

A. （，3） B. （，3） C. （，3） D. （）
10. 如图，以边长为4的正方形的中心为端点，引两条互相垂直的射线，分别与正方形的边交于、两点，则线段的最小值是（ ）

A. B. 2 C. D. 4
二、填空题（共24分）
11. 若x、y满足y= + ＋4，xy= _______．
12. 如图，把长方形ABCD沿EF对折，若∠1=500，则∠AEF的度数等于__.
13. 如图，在矩形ABCD中，AB＝6，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，若BE＝EO，则AD的长是____．

14. 已知二元一次方程组，则的值____．
15. 已知实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简=______．

16. 如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝3．点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上．若四边形EGFH是菱形，则AE的长=____．

17. 如图，在▱ABCD中，AB=2，BC=3，∠ABC=60°，对角线AC与BD交于点O，将直线l绕点O按顺时针方向旋转，分别交AD、BC于点E、F，则四边形ABFE周长的最小值是______．

18. 如图，长方形ABCD中，∠DAB＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AD＝BC＝18，AB＝CD＝24．点E为DC上一个动点， △ADE与△A D'E关于直线AE对称，当△CD'E为直角三角形时，DE的长为_____．
C
三、解答题（共76分）
19. 计算：
（1）；
（2）．
20. 解分式方程：
（1）；
（2）．
21. 先化简，再求值，在0、1、－1、2四个数中选一个合适的数代入求值．
22. 2018年3月28日是全国中小学生安全教育日，育才中学为加强学生的安全意识，组织了全校800名学生参加安全知识竞赛，从中抽取了部分学生成绩(得分取正整数，满分为100分)进行统计．请根据尚未完成的频率分布表和频数分布直方图解题．
分数段
频数
频率

16
0.08

40
0.2

50
0.25


0.35

24


（1）这次抽取了 名学生的竞赛成绩进行统计，其中：m= ，n= ；
（2）补全频数分布直方图．
（3）若成绩在70分以下(含70分)的学生为安全意识不强，有待进一步加强安全教育，则该校安全意识不强的学生约有多少人?
23. 在矩形ABCD中，将点A翻折到对角线BD上的点M处，折痕BE交AD于点E．将点C翻折到对角线BD上的点N处，折痕DF交BC于点F．

（1）求证：四边形BFDE为平行四边形；
（2）若四边形BFDE为菱形，且AB＝2，求BC的长．
24. 如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E、F 分别是AB、CD的中点，AD=BC，∠PEF=20°，求∠PFE的度数．

25. 如图所示，长方形纸片ABCD长AD=8cm，宽AB=4cm，将其折叠，使点D与点B重合.
（1）求证：BE=BF；
（2）求折叠后DE的长；
（2）求以折痕EF为边的正方形面积.

26. 动点P在□ABCD边上沿着A→B→C→D的方向匀速移动，到达点D时停止移动．已知P的速度为1个单位长度/s，其所在位置用点P表示，P到对角线BD的距离（即垂线段PQ的长）为d个单位长度，其中d与t的函数图像如图2所示．
（1）若a＝3，求当t＝8时△BPQ的面积；
（2）如图3，点M，N分别在函数第一和第三段图像上，线段MN平行于横轴，M、N的横坐标分别为t1、t2，设t1、t2时点P走过的路程分别为，若＝ 16，求t1、t2的值．

27. 如图所示，菱形的顶点在轴上，点在点的左侧，点在轴的正半轴上.点的坐标为.动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度，按照的顺序在菱形的边上匀速运动一周，设运动时间为秒.
(1)①点的坐标 .②求菱形的面积.
(2)当时，问线段上是否存在点，使得最小，如果存在，求出 最小值;如果不存在，请说明理由.
(3)若点到的距离是1，则点运动的时间等于 .

28. 如图，点O为矩形ABCD的对称中心，AB＝10cm，BC＝12cm．点E，F，G分别从A，B，C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点E的运动速度为1cm/s，点F的运动速度为3cm/s，点G的运动速度为xcm/s．当点F到达点C（即点F与点C重合）时，三个点随之停止运动．在运动过程中，△EBF关于直线EF的对称图形是△EB'F，设点E，F，G运动的时间为t（单位：s）．
（1）当t＝ s时，四边形EBFB'为正方形；
（2）当x为何值时，以点E，B，F为顶点三角形与以点F，C，G为顶点的三角形可能全等？
（3）是否存在实数t，使得点B'与点O重合？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．


一、选择题（共30分）
1. 下列各分式中，最简分式是（　　）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】利用最简分式的意义：一个分式的分子与分母没有非零次的公因式时（即分子与分母互素）叫最简分式最简分式；由此逐一分析探讨得出答案即可．
【详解】解：、分子不能分解因式，分子分母没有非零次的公因式，所以是最简分式，符合题意；
、分子分解因式为与分母可以约去，结果为，所以不是最简分式，不符合题意；
、分子不能分解因式，分子分母没有非零次的公因式，所以是最简分式，符合题意；
、分子分母可以约2，结果为，所以不是最简分式，不符合题意；
故选：A、C．
【点睛】此题考查最简分式的意义，解题的关键是要把分子与分母因式分解彻底，进一步判定即可．
2. 下列调查中，适合用抽样调查的是( )
A. 了解全班同学每周体育锻炼的时长 B. “新冠”肺炎疫情期间检测地铁乘客的体温
C. 某学校招艺术特长生，对报名的学生进行面试 D. 了解全国中学生每天写作业的时长
【答案】D
【解析】
【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
【详解】解：A 、了解全班同学每周体育锻炼的时长，适合全面调查，故本选项不合题意；
B 、新冠"肺炎疫情期间检测地铁乘客的体温，适合全面调查，故本选项不合题意；
C 、某学校招艺术特长生,对报名学生进行面试，适合全面调查，故本选项不合题意；
D 、了解全国中学生每天写作业的时长，适合抽样调查，不适合普查，故本选项符合题意.
故选: D .
【点睛】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说,对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
3. 将下列分式中x，y(xy≠0)的值都扩大为原来的2倍后，分式的值一定不变的是(　　)
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据分式的基本性质解答．
【详解】解：∵分式中x，y（xy≠0）的值都扩大为原来的2倍，
∴A. ，分式的值发生改变；
B. ，分式的值发生改变；
C. ，分式的值一定不变；
D. ，分式的值发生改变；
故选：C．
【点睛】本题考查了分式的基本性质：分式的分子和分母都乘以或除以同一个不为0的数（或式子），分式的值不变．
4. 如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，点P是AB的中点，PO=2，则菱形ABCD的周长是(　　)

A. 4 B. 8 C. 16 D. 24
【答案】C
【解析】
【分析】根据菱形的性质可得AC⊥BD，AB=BC=CD=AD，再根据直角三角形的性质可得AB=2OP，进而得到AB长，然后可算出菱形ABCD的周长．
【详解】∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AB=BC=CD=AD．
∵点P是AB的中点，
∴AB=2OP．
∵PO=2，
∴AB=4，
∴菱形ABCD的周长是：4×4=16．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了菱形的性质，以及直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，关键是掌握菱形的两条对角线互相垂直，四边相等，此题难度不大．
5. 下列条件中，不能确定四边形ABCD为平行四边形的是(　　)
A. ∠A=∠C，∠B=∠D B. ∠A＋∠B=180°，∠B＋∠C=180°
C. ，AD=BC D. ，AD=BC
【答案】D
【解析】
【分析】平行四边形的五种判定方法分别是：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定逐一验证．
【详解】解：A、由两组对角分别相等的四边形是平行四边形，可得四边形ABCD为平行四边形，故选项A不合题意；
B、∵∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°
∴AD∥BC，AB∥CD
由两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可得四边形ABCD为平行四边形，故选项B不合题意；
C、由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得四边形ABCD为平行四边形，故选项C不合题意；
D\、“AB∥CD且AD=BC”不可以判定四边形ABCD是平行四边形；故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟练运用平行四边形的判定是本题的关键．
6. 代数式有意义时，x应满足的条件是(　　)
A. x≠8 B. x＜8 C. x＞8 D. x≥8
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件分析得出答案．
【详解】代数式有意义时，
x﹣8＞0，
解得：x＞8，
故选C.
【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，正确把握相关性质是解题关键．
7. 如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，点E在AB边上，EF⊥AC于点F，连接EC，AF＝3，△EFC的周长为12，则EC的长为(　　)

A. B. 3
C. 5 D. 6
【答案】C
【解析】
【详解】∵四边形ABCD是正方形,AC为对角线,∴∠EAF=45°，
又∵EF⊥AC，∴∠AFE=90°∠AEF=45°，∴EF=AF=3，
∵△EFC的周长为12，∴FC=12−3−EC=9−EC，
在Rt△EFC中,EC²=EF²+FC²，
∴EC²=9+(9−EC) ²，解得EC=5.
故选C.
点睛：本题考查了正方形的性质和勾股定理，由四边形ABCD是正方形，AC为对角线，得出∠EAF=45°，又因为EF⊥AC，得到∠AFE=90°，得出EF=AF=3，由△EFC的周长为12，得出线段FC=12-3-EC=9-EC，在Rt△EFC中，运用勾股定理EC²=EF²+FC²，求出EC=5．
8. 如果关于x的分式方程有增根，那么m的值为（ ）
A. B. 2 C. 4 D.
【答案】D
【解析】
【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根，所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x-2=0，确定可能的增根；然后代入化为整式方程的方程求解，即可解答．
【详解】解：，
去分母得： ，
即 ，
∵关于x的分式方程有增根，
∴ ，即 ，
∴ ，
解得： ．
故选：D．
【点睛】本题考查了分式方程的增根，解题的关键是熟练掌握增根问题可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②让最简公分母为0确定增根；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
9. 如图，平面直角坐标系中，长方形OABC，点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点B（6，3），现将△OAB沿OB翻折至△OA′B位置，OA′交BC于点P．则点P的坐标为（　　）

A. （，3） B. （，3） C. （，3） D. （）
【答案】A
【解析】
【分析】由折叠的性质和矩形的性质证出OP=BP，设OP=BP=x，则PC=6﹣x，再用勾股定理建立方程9+（6﹣x）2=x2，求出x即可．
【详解】∵将△OAB沿OB翻折至△OA′B位置，OA′交BC于点P，
∴∠A'OB=∠AOB，
∵四边形OABC是矩形，
∴BC∥OA，
∴∠OBC=∠AOB，
∴∠OBC=∠A'OB，
∴OP=BP，
∵点B的坐标为（6，3），
∴AB=OC=3，OA=BC=6，
设OP=BP=x，则PC=6﹣x，
在Rt△OCP中，根据勾股定理得，OC2+PC2=OP2，
∴32+（6﹣x）2=x2，
解得：x=，
∴PC=6﹣=，
∴P（，3），
故选：A．
【点睛】此题主要考查折叠和矩形的性质以及利用勾股定理构建方程，熟练掌握，即可解题.
10. 如图，以边长为4的正方形的中心为端点，引两条互相垂直的射线，分别与正方形的边交于、两点，则线段的最小值是（ ）

A. B. 2 C. D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】过点O作OG⊥AD于点G．易证△OFA≌△OEB，从而可得OF=OE，可得，当OF最小时，EF最小，此时OF与OG重合，从而可求得线段EF的最小值．
【详解】过点O作OG⊥AD于点G，如图

∵四边形ABCD是正方形，且对角线AC、BD相交于点O
∴OA=OB=OD ，∠OAF=∠OBE=45°，AC⊥BD
∴∠AOB=∠BOE+∠AOE=90°
∵OE⊥OF
∴∠AOE+∠AOF=90°
∴∠FOA=∠EOB
在△FOA和△EOB中

∴ △FOA≌△EOB(ASA)
∴OF=OE
∵OE⊥OF
∴由勾股定理得：
∴当OF最小时，EF最小
∵OG⊥AD
∴OF≥OG
即当OF与OG重合时，线段OF最小，最小值为OG的长，从而EF的最小值为
∵OA=OD，OG⊥AD
∴G点是AD的中点
∴OG=AD=2
∴
故选：C．
【点睛】本题是一个求最值的问题，考查了正方形的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，垂线段最短等知识．关键是把求线段EF的最小值转化为求线段OF的最小值．
二、填空题（共24分）
11. 若x、y满足y= + ＋4，xy= _______．
【答案】8
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件可确定x的值，进而可得y的值，然后把x、y的值代入所求式子计算即可．
【详解】解：∵，
∴x=2，y=4，
∴xy=2×4=8．
故答案为：8．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件和一元一次不等式组的解法，属于常考题型，熟练掌握基本知识是解题的关键．
12. 如图，把长方形ABCD沿EF对折，若∠1=500，则∠AEF的度数等于__.
【答案】
【解析】
【详解】∵把矩形ABCD沿EF对折，∴AD∥BC，∠BFE=∠2，
∵∠1=50°，∠1+∠2+∠BFE=180°，∴∠BFE==65°，
∵∠AEF+∠BFE=180°，∴∠AEF=115°．
故答案为115°.

13. 如图，在矩形ABCD中，AB＝6，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，若BE＝EO，则AD的长是____．

【答案】
【解析】
【分析】由矩形的性质可得OB=OD=OA=OC，AC=BD，由线段垂直平分线的性质可得OA=AB=OB，可证△OAB是等边三角形，可得∠ABD=60°，由直角三角形的性质可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OB=OD，OA=OC，AC=BD，
∴OA=OB，
∵BE=EO，AE⊥BD，
∴AB=AO，
∴OA=AB=OB，
即△OAB是等边三角形，
∴∠ABD=60°，
∴∠ADE=90°-∠ABD=30°，
∴AD=AB=6，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质以及含30°角的直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
14. 已知二元一次方程组，则值____．
【答案】3
【解析】
【分析】把化简后，将代入即可．
【详解】解： ∵


∴当时，
原式
故答案是：3．
【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟悉相关解法是解题的关键．
15. 已知实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简=______．

【答案】
【解析】
【分析】根据数轴判断出a、b、c的正负情况以及绝对值的大小，然后根据绝对值和二次根式的性质去掉根号和绝对值号，再进行计算即可得解．
【详解】解：由图可知：
c＜a＜0＜1＜b，
∴c-a＜0，
∴
=
=
=
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，绝对值的性质，根据数轴判断出a、b、c的情况是解题的关键．
16. 如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝3．点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上．若四边形EGFH是菱形，则AE的长=____．

【答案】
【解析】
【分析】首先连接EF交AC于O，由矩形ABCD中，四边形EGFH是菱形，易证得△CFO≌△AOE（AAS），即可得OA=OC，然后由勾股定理求得AC的长，继而求得OA的长，又由△AOE∽△ABC，利用相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．
【详解】解：连接EF交AC于O，

∵四边形EGFH是菱形，
∴EF⊥AC，OE=OF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠D=90°，AB∥CD，
∴∠ACD=∠CAB，
在△CFO与△AOE中，
，
∴△CFO≌△AOE（AAS），
∴AO=CO，
∵AC==，
∴AO=AC=，
∵∠CAB=∠CAB，∠AOE=∠B=90°，
∴△AOE∽△ABC，
∴，
∴，
∴AE=．
故答案为：．
【点睛】本题考查了菱形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质．注意准确作出辅助线是解题的关键．
17. 如图，在▱ABCD中，AB=2，BC=3，∠ABC=60°，对角线AC与BD交于点O，将直线l绕点O按顺时针方向旋转，分别交AD、BC于点E、F，则四边形ABFE周长的最小值是______．

【答案】5+
【解析】
【分析】作AM⊥BC于M，证明△AOE≌△COF，即可推出四边形ABFE周长，所以当EF最小时，四边形ABFE周长最小即可算出最小值.
【详解】解：作AM⊥BC于M，如下图所示：

∵∠ABC=60°，
∴ ， ，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA=OC，AD∥CB，
∴∠EAO=∠FCO，
在△AOE和△COF中
，
∴ ，
∴ ，
∴四边形ABFE周长 ，
当EF的值最小时，四边形ABFE周长有最小值，此时EF⊥BC，即的最小值，
∴四边形ABFE周长的最小值是 ．
故答案为．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，结合线段和最短问题，正确转换线段之间的关系表达出周长是解题关键.
18. 如图，长方形ABCD中，∠DAB＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AD＝BC＝18，AB＝CD＝24．点E为DC上的一个动点， △ADE与△A D'E关于直线AE对称，当△CD'E为直角三角形时，DE的长为_____．
C
【答案】18或9
【解析】
【分析】本题分两种情况：（1）当∠D'EC＝90°时，根据轴对称的性质求出∠AED＝45°，然后判断出△ADE是等腰直角三角形，从而求出DE＝AD；
（2）当∠E D'C＝90°时，∠A D'E＝90°，判断出A、D'、C在同一直线上，利用勾股定理列式求出AC，再根据轴对称的性质可得A D'＝AD，DE＝D'E，然后求出D'C，设DE＝D'E＝x，用（24- x）表示出EC，然后利用勾股定理列出方程求解即可．
【详解】解：（1）当∠CE D'＝90°时，如图1，

∵∠CE D'＝90°，
由轴对称的性质得∠AED＝∠AED'＝×90°＝45°，
∵∠D＝90°
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴DE＝AD＝18；
（2）当∠ED'C＝90°时，如图2，

由轴对称的性质得： ∠AD'E＝∠D＝90°，AD'＝AD，DE＝D'E，
∴A、D'、C在同一直线上，
由勾股定理得，AC＝＝＝30，
∴CD'＝30-18＝12，
设DE＝D'E＝x，则EC＝CD-DE=24−x，
在Rt△D'EC中，D'E2＋D'C2＝EC2，
即x2＋122＝（24 – x)2，
解得x＝9，
即DE＝9，
综上所述，DE的长为18或9．
故答案为：18或9．
【点睛】此题主要考查轴对称的性质、勾股定理的应用，利用轴对称的性质和勾股定理求线段的长度，以及分类讨论的方法是解决问题的关键．
三、解答题（共76分）
19. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）分别化简各数，再计算加减法；
（2）将分子和分母因式分解，将除法转化乘法，约分计算后，再通分计算加减法．
【详解】解：（1）
=
=；
（2）
=
=
=
=
【点睛】本题考查了实数的混合运算，分式的混合运算，解题的关键是掌握各自的运算法则．
20. 解分式方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）无解；（2）
【解析】
【分析】（1）方程最简公分母为，然后方程左右两边同乘最简公分母，将分式方程化为整式方程求解即可，注意检验增根；（2）方程最简公分母为，然后方程左右两边同乘最简公分母，将分式方程化为整式方程求解即可，注意检验增根．
【详解】（1）解：方程两边同乘，得

解这个一元一次方程，得

检验：当时，，
是增根，原方程无解．
（2）解：方程两边同乘，得

解这个一元一次方程，得

检验：当时，
故是原方程的解．
【点睛】本题考查解分式方程，最主要的是要将分式方程转化为整式方程，还有解分式方程一定要注意验根，是中考常考题型．
21. 先化简，再求值，在0、1、－1、2四个数中选一个合适的数代入求值．
【答案】,当a=2时，原式=1
【解析】
【分析】先计算括号内异分母分式的减法同时将括号外除法化为乘法，再计算分式的乘法运算，最后在四个数中挑选一个分式有意义的a的值代入计算即可．
【详解】解：÷
＝
＝
＝，
∵，，，
∴，且，
当a=2时，原式= =1．
【点睛】本题考查分式的化简求值．解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则及分式有意义的条件．
22. 2018年3月28日是全国中小学生安全教育日，育才中学为加强学生的安全意识，组织了全校800名学生参加安全知识竞赛，从中抽取了部分学生成绩(得分取正整数，满分为100分)进行统计．请根据尚未完成的频率分布表和频数分布直方图解题．
分数段
频数
频率

16
0.08

40
0.2

50
0.25


0.35

24


（1）这次抽取了 名学生的竞赛成绩进行统计，其中：m= ，n= ；
（2）补全频数分布直方图．
（3）若成绩在70分以下(含70分)的学生为安全意识不强，有待进一步加强安全教育，则该校安全意识不强的学生约有多少人?
【答案】（1）200，70，0.12；（2）见解析；（3）420人
【解析】
【分析】（1）利用50.5--60.5的人数除以频率即可得到抽取总人数；m=总人数减去各分数段的人数；n=24除以抽取的总人数；
（2）根据（1）中计算的m的值补图即可；
（3）利用样本估计总体的方法，用总人数1500×抽取的学生中成绩在70分以下（含70分）的学生所占的抽取人数的百分比计算即可．
【详解】解：（1）抽取的学生数：16÷0.08=200（名），
m=200-16-40-50-24=70；
n=24÷200=0.12；
（2）如图所示；

（3）1500×=420（人），
答：该校安全意识不强的学生约有420人．
【点睛】此题主要考查了频数分布直方图和频数分布表，以及利用样本估计总体，关键是读懂频数分布直方图，能利用统计图获取信息；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
23. 在矩形ABCD中，将点A翻折到对角线BD上的点M处，折痕BE交AD于点E．将点C翻折到对角线BD上的点N处，折痕DF交BC于点F．

（1）求证：四边形BFDE为平行四边形；
（2）若四边形BFDE为菱形，且AB＝2，求BC的长．
【答案】（1）证△ABE≌△CDF，推出AE=CF，求出DE=BF，DE∥BF，根据平行四边形判定推出即可．
（2）
【解析】
【分析】分析：（1）证△ABE≌△CDF，推出AE=CF，求出DE=BF，DE∥BF，根据平行四边形判定推出即可．
（2）求出∠ABE=30°，根据直角三角形性质求出AE、BE，即可求出答案．
【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD矩形，∴∠A=∠C=90°，AB=CD，AB∥CD．∴∠ABD=∠CDB．
∵在矩形ABCD中，将点A翻折到对角线BD上的点M处，折痕BE交AD于点E．将点C翻折到对角线BD上的点N处，
∴∠ABE=∠EBD=∠ABD，∠CDF=∠CDB．∴∠ABE=∠CDF．
在△ABE和△CDF中，∵，
∴△ABE≌△CDF（ASA）．∴AE=CF．
∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AD∥BC．
∴DE=BF，DE∥BF．∴四边形BFDE为平行四边形．
（2）∵四边形BFDE为为菱形，∴BE=ED，∠EBD=∠FBD=∠ABE．
∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，∠ABC=90°．∴∠ABE=30°．
∵∠A=90°，AB=2，∴，．
∴BC=AD=AE+ED=AE+BE=．
24. 如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E、F 分别是AB、CD的中点，AD=BC，∠PEF=20°，求∠PFE的度数．

【答案】20°
【解析】
【分析】根据三角形中位线定理得到PE=AD，PF=BC，得到PE=PF，根据等腰三角形的性质解答．
【详解】解：∵P是BD的中点，E是AB的中点，
∴PE是△ABD的中位线，
∴PE=AD，
同理，PF=BC，
∵AD=BC，
∴PE=PF，
∴∠PFE=∠PEF=20°．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，掌握三角形的中位线等于第三边的一半是解题的关键．
25. 如图所示，长方形纸片ABCD的长AD=8cm，宽AB=4cm，将其折叠，使点D与点B重合.
（1）求证：BE=BF；
（2）求折叠后DE的长；
（2）求以折痕EF为边的正方形面积.

【答案】（1）证明见解析；（2）5cm；（3）20cm2.
【解析】
【详解】（1）在长方形ABCD中，AD//BC，
，
，
，
∴ BE=BF ，
设DE=cm，则BE=cm，AE=，
在中，由勾股定理，
∴，
即DE的长为5cm．
（2）过E作于点H，则EH=AB=4，BH=AE=3，
∴ HF=BF-BH=5-3=2，
∴，
∴ 以EF为边长的正方形的面积为．

26. 动点P在□ABCD边上沿着A→B→C→D的方向匀速移动，到达点D时停止移动．已知P的速度为1个单位长度/s，其所在位置用点P表示，P到对角线BD的距离（即垂线段PQ的长）为d个单位长度，其中d与t的函数图像如图2所示．
（1）若a＝3，求当t＝8时△BPQ的面积；
（2）如图3，点M，N分别在函数第一和第三段图像上，线段MN平行于横轴，M、N的横坐标分别为t1、t2，设t1、t2时点P走过的路程分别为，若＝ 16，求t1、t2的值．

【答案】（1）；（2），
【解析】
【分析】（1）当时，点在点，可知；当点运动到点时，，结合图2，可知的值；当点运动到点时，的值与点在点时的值相等，可求得与的值；时对应的点在和之间的函数图象上，用待定系数法求得此段函数解析式，则可得时的值；在中，由勾股定理求得的值，最后利用三角形的面积公式计算即可；
（2）由题意可得，，根据线段平行于横轴，可得出即，从而可得方程组，解方程组即可．
【详解】解：（1）如图：

由题意知：当时，点在点，此时最长为，即；
当点运动到点时，，
；
当点运动到点时，的值最长，与点在点时的值相等，即，
，
当时，点在边上，即，
，
则时对应的点在和之间的函数图象上，
设此时函数为，把，分别代入得：
，
解得：，
当时，，
在中，由勾股定理得：，


；
（2）由题意可得，．
，
①，
线段平行于横轴，
，即此时的值相同，
，即②，

联立①②得：，
解得：，
，．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，准确理解题意、数形结合、分段讨论是解题的关键．
27. 如图所示，菱形的顶点在轴上，点在点的左侧，点在轴的正半轴上.点的坐标为.动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度，按照的顺序在菱形的边上匀速运动一周，设运动时间为秒.
(1)①点的坐标 .②求菱形的面积.
(2)当时，问线段上是否存在点，使得最小，如果存在，求出 最小值;如果不存在，请说明理由.
(3)若点到的距离是1，则点运动的时间等于 .


【答案】（1）①（2,0） ② （2）存在； （3）
【解析】
【分析】（1）①过点作，根据点C的坐标求出BF的长度，便可求出C的坐标．
②根据已知，得到，菱形的面积为便可计算出
（2）作点关于的对称点为点，则有
便可找到最小值了．
（3）分四种情况进行讨论即可．
【详解】解：①
②过点作垂足为
点的坐标为

在菱形中，


如图所示:当时，
在菱形中，点关于的对称点为点
连结交于点.连接.

由易得

在中



最小值为
（3）分四种情况讨论：

第一种，如图2所示




第二种如图3所示





第三种情况如图4所示
同理可以得到



第四种情况如图5所示
同理可以得到AP=2


综上所述，满足条件的为：
【点睛】本题属于几何坐标系与几何图形的综合，结合动点进行考查，难度一般。做题时，认真分析，细心应对．
28. 如图，点O为矩形ABCD的对称中心，AB＝10cm，BC＝12cm．点E，F，G分别从A，B，C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点E的运动速度为1cm/s，点F的运动速度为3cm/s，点G的运动速度为xcm/s．当点F到达点C（即点F与点C重合）时，三个点随之停止运动．在运动过程中，△EBF关于直线EF的对称图形是△EB'F，设点E，F，G运动的时间为t（单位：s）．
（1）当t＝ s时，四边形EBFB'为正方形；
（2）当x为何值时，以点E，B，F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点的三角形可能全等？
（3）是否存在实数t，使得点B'与点O重合？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）2.5；（2）3或4；（3）不存在，理由见解析
【解析】
【分析】（1）利用正方形的性质，得到BE=BF，列一元一次方程求解即可；
（2）分两种情况讨论，①△EBF≌△FCG，②△EBF≌△GCF，分别根据对应边相等列等式计算即可；
（3）本问为存在型问题．假设存在，则可以分别求出在同一条件下的t值，但它们互相矛盾，所以不存在．
【详解】解：（1）若四边形EBFB′为正方形，则BE=BF，BE=10-t，BF=3t，
即：10-t=3t，
解得t=2.5；
（2）分两种情况讨论：
①△EBF≌△FCG，
则EB=FC，BF=CG，
∴，
解得：，
②当△EBF≌△GCF时，
则EB=GC，BF=FC，
∴，
解得：，
综上，当x=3或4时，以点E，B，F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点的三角形可能全等；
（3）假设存在实数t，使得点B′与点O重合．
如图，过点O作OM⊥BC于点M， ON⊥AB于点N，

则在Rt△OFM中，，，
∴，
即，
解得：
Rt△OEN中，，，，
∴，
即，
解得：，
∵，
∴假设不成立，
即不存在实数t，使得点B'与点O重合．
【点睛】本题为运动型综合题，考查了矩形性质、轴对称、全等三角形的判定性质、勾股定理、解方程等知识点．注意分类讨论，避免漏解，利用假设法，然后通过推导出互相矛盾的结论，从而判定不存在是解此题的关键