2019-2020学年上海市长宁区二模数学试卷及答案

2020年长宁区高三数学在线学习效果评估

参考答案与评分标准

说明：

1．如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分．

2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅．当考生的解答在某一步出现错误，影响了后续部分，如果该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，但不超过后继部分给分数的一半；如果这一步后面的解答有较严重的错误，就不给分．

一．填空题（本大题共有12题，满分54分，第1—6题每题4分，第7---12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．

1．        2．         3．          4．          5．

6．          7．         8．           9．         10．

11．        12．

二．选择题(本大题共有4题，满分20分，每题5分)每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．

13．C          14．B           15．B           16．D

三、解答题（本大题共有5题，满分76分）  解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必须的步骤．

17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

（1）解：如图，由题意得 ，．

在中，，即该圆锥的高．  ……………………3分

由圆锥的体积公式得 ．即该圆锥的体积为 ．……………………6分

（2）解法1：联结，如图所示，

由为线段的中点，得∥，

所以异面直线与所成的角就是直线与

所成的角．                …………………3分

因为，

所以 ，．

在中，，

所以为等边三角形，即 ．         …………………………………6分

因此异面直线与所成的角的大小为 ．         ………………………………8分

解法2：以为坐标原点，以、、为 轴、轴、轴的正半轴，建立如图所示的

空间直角坐标系，可得，，，， ………2分

因为为线段的中点， 得，

所以，．…………………4分

设直线与所成的角为，向量与的夹角为，

则，……………6分

又 ，所以．

即异面直线与所成的角的大小为．………8分

18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

解：（1）由，得 ，

因为为的内角，所以 ．……………………………………………………3分

由余弦定理得

所以 ．                     ………………………………………………………6分

（2）由题意得

       ………………………………………4分

              ………………………………………6分

因为，所以的最大值为 ．        ………………………………………8分

19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

解：（1）由题意，(单位：天)时刻后水中含有物质N的量为

．                       ………………………………………2分

解，得．                       …………………………………………4分

所以若在水中首次投放个单位的物质N，物质N能持续有效发挥作用天．……………6分

（2）设第（）天水中所含物质N的量为 mol/L，

则     ……………………………4分

      …………………6分

当且仅当 ，即 时，等号成立．即当时，．

所以第天至第天，水中所含物质N的量始终不超过 mol/L．    …………………8分

20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）

解：（1）由题意得 ，，       …………………………………2分

解得 ，，

所以所求椭圆的方程为 .               …………………………………4分

（2）由题意点的坐标为 ，设点.

因为， 所以，      …………………………3分

又  

解得 或 或   （舍去）

所以所求点的坐标为 或.      ……………………………6分

（3）设 ，，直线的方程为. 

由方程组 ，得 .

所以，                   ……………………2分

直线的方程为  ，得

直线的方程为  ，得    ………………4分

所以 

因为，得，

所以为定值 .                                        ………………………6分

21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）

（1）解：数列具有“性质” ．             …………………………………1分

设数列的公比为，则，.    …………………………………2分

对任意正整数，，

因为 ，所以.

所以数列具有“性质”.                   ……………………………………4分

（2）证明：由已知        ……………………………………1分

①若，则，，

所以不存在正整数，使得；         ……………………………………3分

②若，则当时，，

，所以不存在正整数，使得；

综上，当时，数列不具有“性质”        …………………………………6分

（3）解：设数列的公差为，则 .

由已知，对任意，都存在正整数，使得，

即 ，

所以，且        ①             …………………………2分

对任意，设，，,

所以 ，得 ，

因此           ②                        ……………………4分

由（2）知，又由①、②可得或.      ………………………………6分

当时，，，不满足要求，

所以，. 

可以验证满足要求.                …………………………………………8分