2019-2020学年上海市浦东区二模数学试卷及答案

浦东新区2019学年度第二学期期中教学质量监测

高三数学答案及评分细则             

2020.05

一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分．考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分或5分，否则一律得零分．

1．设全集，集合，则        ．

2. 某次考试，名同学的成绩分别为：，则这组数据的中位数为   ．

3. 若函数，则          ．

4. 若是关于的方程的一个根（其中为虚数单位， ），则          ．

5.若两个球的表面积之比为则这两个球的体积之比为           ．

6.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为，圆的参数方程为，则直线与圆的位置关系是    相交    ．

7. 若二项式展开式的第项的值为，则 ．

8. 已知双曲线的渐近线方程为，且右焦点与抛物线的焦点重合，则这个双曲线的方程是____________.

9. 从个男生、个女生中任选个人当发言人，假设事件表示选出的个人性别相同，事件表示选出的个人性别不同．如果的概率和的概率相等，则             ．

10. 已知函数的零点有且只有一个，则实数的取值集合为     {1}   ．

11. 如图，在中，，为中点，为上一点，且满足，若的面积为，则的最小值为          .

12.已知数列满足，对任何正整数均有，，设，则数列的前项之和为             .

【解】，

，，

二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．

13．若、满足 ， 则目标函数的最大值为(    )

A．         B．          C．           D.

14. 如图，正方体中，、分别为棱、上的点，在平面内且与平面平行的直线(    )

A． 有一条                B． 有二条      

C． 有无数条              D.  不存在

15. 已知函数.给出下列结论：

①是周期函数；   ② 函数图像的对称中心；

③ 若，则；

④ 不等式的解集为.

则正确结论的序号是 (    )

A．  ① ②      B． ② ③ ④         C．  ① ③ ④        D.   ① ② ④   

16. 设集合，设集合是集合的非空子集，中的最大元素和最小元素之差称为集合的直径. 那么集合所有直径为的子集的元素个数之和为(    )

A．       B．     C．       D. 

三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．

17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分.

如图所示的几何体是圆柱的一部分，它是由边长为2的正方形(及其内部)以边所在直线为旋转轴顺时针旋转得到的．

（1）求此几何体的体积；

（2）设是弧上的一点，且，求异面直线与所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）

【解答】（1）因为．…………（4分）

所以，．………（7分）

（2）如图所示，以点B为坐标原点建立空间直角坐标系．则，，，．

所以，，.…………………（11分）

设异面直线与所成的角为，则

.…………（13分）

所以，异面直线与所成角为.…………（14分）

18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

已知锐角的顶点与坐标原点重合，始边与轴正方向重合，终边与单位圆分别交于、两点，若、两点的横坐标分别为．

（1）求的大小；

（2） 在中，为三个内角对应的边长，若已知角，，且，求的值．

【解答】（1）由已知 ………… (2分)

因而 …………（6分）

（2）法一：（正弦定理）由已知， ………….(7分)

  …………(10分)

   …………(14分)

法二：（余弦定理），

因而由已知得

法三：（余弦定理、正弦定理）

因而由余弦定理得：

同理

得得

法四：（射影定理）可得，

下同解法二

19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

疫情后，为了支持企业复工复产，某地政府决定向当地企业发放补助款，其中对纳税额在万元至万元（包括万元和万元）的小微企业做统一方案．方案要求同时具备下列两个条件：①补助款（万元）随企业原纳税额（万元）的增加而增加；②补助款不低于原纳税额（万元）的．经测算政府决定采用函数模型（其中为参数）作为补助款发放方案．

（1）判断使用参数是否满足条件，并说明理由；

（2）求同时满足条件①、②的参数的取值范围．

【解答】（1）法一：因为当时，，所以当时不满足条件②．

…………（6分）

法二：由条件②可知．

因为，所以当时不满足条件②．…………（6分）

法三：由条件②可知在上恒成立，所以，

解得，所以当时不满足条件②．…………（6分）

(注：如果证明了当时满足条件①得2分)

（2）法一：由条件①可知，在上单调递增，则对任意时，

有恒成立，

即恒成立，所以；…………（10分）

由条件②可知，，即不等式在上恒成立，

所以  …………（13分）

综上，参数的取值范围是．…………（14分）

法二：由条件①可知，在上单调递增，

所以当时，满足条件；当时，得，

所以 …………（10分）

由条件②可知，，即不等式在上恒成立，所以，得  …………（13分）

综上，参数的取值范围是．…………（14分）

20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.

在平面直角坐标系中，，分别是椭圆的左、右焦点，直线与椭圆交于不同的两点、，且.

（1）求椭圆的方程；

（2）已知直线经过椭圆的右焦点，是椭圆上两点，四边形是菱形，求直线的方程；

（3）已知直线不经过椭圆的右焦点，直线，，的斜率依次成等差数列，求直线在轴上截距的取值范围.

【解答】（1）由可得，从而，

椭圆方程为.  ………… (4分)

（2）由于四边形是菱形，因此且.

由对称性，在线段上. 因此，分别关于原点对称；并且由于菱形的对角线相互垂直，可得，即.  ………… (6分)

设，与椭圆方程联立可得，设,因此，. ………… (8分)

由，可得，

解得，即直线方程为.………… (10分)

（3） 设，由，可得，

即.

化简可得，

即.

若，则经过，不符，因此.………… (12分)

联立直线与椭圆方程，.

因为 ①

由，可得， ② ………… (14分)

将②代入①，；再由，

可得，. ………… (16分)

21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.

若数列对任意连续三项，均有，则称该数列为“跳跃数列”.

（1）判断下列两个数列是否是跳跃数列：

① 等差数列：；

② 等比数列：；

（2）若数列满足对任何正整数，均有.证明：数列是跳跃数列的充分必要条件是.

（3）跳跃数列满足对任意正整数均有，求首项的取值范围.

【解答】（1）① 等差数列：不是跳跃数列；………… (2分)

② 等比数列：是跳跃数列. ………… (4分)

（2）必要性：若，则是单调递增数列，不是跳跃数列；

若，是常数列，不是跳跃数列. ………… (6分)

充分性：下面用数学归纳法证明：若，则对任何正整数，均有成立.

（1）当时，，， ，

，………… (8分)

，所以命题成立………… (9分)

（2）若时，，

则，

，所以当时命题也成立……… (10分)

根据数学归纳法，可知命题成立，数列满足，故是跳跃数列.

（3），

，………… (11分)

，………… (12分)

 [1]若，则，此时；………… (14分)

 [2]若，则，此时；………… (16分)

若，则，所以.

若，则，所以.

所以，

此时对任何正整数，均有………… (18分)