2022届高考数学二轮专题复习24利用导数证明不等式

这是一份2022届高考数学二轮专题复习24利用导数证明不等式，共15页。试卷主要包含了隐零点问题，已知函数，已知等内容，欢迎下载使用。
1．已知函数．
（1）当时，求函数的单调递增区间；
（2）当时，证明： (其中e为自然对数的底数)．
【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析．
【解析】（1）的定义域为，
，
当，即时，在递增．
当时，，在上递增．
当，即时，在上，递增．
综上所述，当时，的递增区间为；
当时，的递增区间为；
当时，，的递增区间为．
（2）当时，由化简得，
构造函数，
，在上递增，
，
故存在，使得，即．
当时，递减；
当时，递增，
所以时，取得极小值，也即是最小值．
，
所以，故．
2．已知函数．
（1）设是的极值点，求的单调区间；
（2）当时，求证：．
【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为；（2）证明见解析．
【解析】（1）的定义域为，，
是的极值点，，
即，，
在上单调递增，在上单调递增，
在上单调递增，且，
的单调递减区间为，单调递增区间为．
（2）由可得，
所以，
令，则，
在上单调递增，且．
，使得，有，①
且在区间上单调递减，在区间上单调递增，
，
由①得，即有，，
，
又在区间上单调递增，
，
，
，
，结论得证．
3．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若函数有两个不大于的极值点，证明：．
【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析．
【解析】（1）定义域为R，由，
得，
当时，，
此时在上单调递增；在上单调递减．
当时，令，即，，
因为，所以，
令，则或，
即在和上单调递增．
令，则，即在上单调递减．
当时，令，即．
因为，所以，
令，则或，
即在和上单调递增．
令，则，即在上单调递减．
综上所述：
当时，在上单调递增，在上单调递减．
当时，在和上单调递增，在上单调递减．
当时，在和上单调递增，在上单调递减．
（2）因为函数有两个不大于的极值点，由（1）知，
因为且，所以，
所以要证明，只要证明，
即要证明，
令，
则，
令，则，
令，则，
所以在上单调递增，
因为，，
所以在上有唯一零点，设为，
且当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以．
因为，即，即，
所以，
所以，所以原不等式成立．
2．极值点偏移问题
1．（多选）已知函数有两个极值点，，则（）
A．a的取值范围为B．
C．D．
【答案】BCD
【解析】由题设，且定义域为，则，
当时，则单调递增，不可能存在两个零点，即不可能存在两个极值点，A错误；
当时，即单调递增，当时，即单调递减，即，
当时，，所以至多有一个零点；
当时，，而，当趋向于0时趋于负无穷大，当趋向于正无穷时趋于负无穷大，
综上，，在内各有一个零点，且，
B：由且趋向于0时趋于负无穷大，所以，
故，
令，
，
又，所以单调递减，
故当时，，
又，所以，
而，因此，故正确；
C：，
令，显然有，令，显然，
因此有，
设，则，
当时，单调递减，当时，单调递增，
因为，所以，
令，即，
因为，所以单调递增，
因为，所以，
而，所以，
因为，所以，
当时，单调递减，因此有，即，正确；
D：由，则，故，正确，
故选BCD．
2．已知函数．
（1）证明：在R上为增函数；
（2）若，证明：．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】（1）由题意，，
令，则，令，则，
故在区间上，，为减函数；
在区间上，，为增函数，
故，故在R上为增函数．
（2）由（1）知为增函数，且，故由，，
可得，则．
欲证，只需证，即证，
即证．
令，
则，
令，则，
故为增函数，，
故为增函数，，
故，则，原式得证．
3．已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数在上有两个不相等的零点，求证：．
【答案】（1）当时，单调递增，当时，在上单调递增，在上单调递减；（2）证明见解析．
【解析】（1），．
①当时，恒成立，单调递增；
②当时，由，得，单调递增，
由，得，单调递减．
综上：当时，单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减．
（2）∵在上有两个不相等的零点，，不妨设，
∴在上有两个不相等的实根，
令，，∴，
由，得，单调递减；
由，得，单调递增，
，，，，
∴，
要证，即证，
又∵，只要证，即证，
∵，即证，
即证，即证，即证，
令，，∴，
令，，则，
当时，恒成立，所以在上单调递增，
又，∴，∴，∴，
∴在上递增，∴，∴，
∴．
4．已知．
（1）若函数在上有极值，求实数a的取值范围；
（2）已知方程有两个不等实根，证明：（注：是自然对数的底数）
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【解析】（1），定义域为，．
令，解得；令，解得，
所以在上单增，在上单减，在处取得唯一的极值．
要使函数在上有极值，
只需，解得，
即实数a的取值范围为．
（2）记函数，则函数有两个不等实根．
因为，，
两式相减得，，
两式相加得，．
因为，所以要证，只需证明，只需证明，
只需证明，证．
设，只需证明．
记，则，所以在上单增，
所以，所以，即，所以．
即证．
3．双变量问题
1．若函数存在两个极值点和，则取值范围为__________．
【答案】
【解析】令，则，
由且，解得．
，
令，，
在区间上递减，．
所以取值范围是，故答案为．
2．已知函数．
（1）若，求函数的单调区间；
（2）设存在两个极值点，且，若，求证：．
【答案】（1）在和上单调递增，在上单调递减；（2）证明见解析．
【解析】（1）解：当时，，，
所以，
令，解得或；令，解得，
所以函数在和上单调递增，在上单调递减．
（2）解：，
，，
因为存在两个极值点，，所以存在两个互异的正实数根，，
所以，，则，所以，
所以
，
令，则，
，，
在上单调递减，
，而，
即，
．
3．已知函数，在处的切线与直线平行．
（1）求实数的值，并判断函数的单调性；
（2）若函数有两个零点，求证：．
【答案】（1），函数在上单调递减，在上单调递增；（2）证明见解析．
【解析】（1）解：函数的定义域，
因为，所以解得，
，，
令，解得，故在上单调递减，
令，解得，故在上单调递增．
（2）解：由，为函数的两个零点，得，
两式相减，得，即，，
因此，，
令，由，得，则，
构造函数，则，
所以在上单调递增，故，，
又，所以，所以，
故，命题得证．
4．其它
1．已知函数．
（1）求函数的单调区间和极值；
（2）当时，求证：．
【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为，极小值为，没有极大值；（2）证明见解析．
【解析】（1）易知函数定义域为R，
∵，∴，
令，解得，在上单调递增，
，解得，在上单调递减，
即的单调递增区间为，单调递减区间为，
∴函数的极小值为，没有极大值．
（2）解法一：要证，
即证，
设，要证原不等式成立即证成立，
∵，
∵，∴(当且仅当，时等号成立)，
由（1）知(等号成立)，
∴，∴在单调递增，∴，
∴当时，得证．
解法二：要证，即证，
设，要证原不等式成立即证成立，
∵，
设，则，
令，则，
∵，，
又，∴，
即在单调递增，
∴，即在单调递增，
∴，∴，
即在单调递增，∴，
∴当时，得证．
2．已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）证明：对任意正整数n，．
【答案】（1）见解析；（2）证明见解析．
【解析】（1）的定义域为，
，
令，得或，
①当，即时，若，则，递增；若，则，递减；
②当，即时，若，则，递减；
若，则，递增；若，则，递减，
综上所述，
当时，在，单调递减，在单调递增；
当时，在单调递增，在单调递减．
（2）由（2）知当时，在上递减，，
即，
，，，2，3，，，
，
．