2022届高考数学二轮专题复习23恒成立与存在性问题

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1．已知函数，．
（1）讨论的单调性；
（2）若时，恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）答案见解析；（2）．
【解析】（1）的定义域为，，
当时，恒成立，所以在上单调递减；
当时，令，解得，所以在上单调递增；
令，解得，所以在上单调递减，
综上所述：当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增，在上单调递减．
（2），
则有，
当时，在上单调递增，所以，满足题意；
当时，，且，当时，有，
使时，单调递减，使得，不合题意，
的取值范围为．
2．已知函数．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若对任意，都有，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）解：当时，函数，定义域为，
又，，所以，
所以曲线在点处的切线方程为，
即．
（2）解：若在上恒成立，
即在上恒成立，
可令，，
则，，，
令，可解得，
当时，即时，在上恒成立，
所以在上单调递增，，
又，所以恒成立，
即时，在上恒成立，
当，即时，
在上单调递减，在上单调递增，
此时，，
又，，即，
不满足恒成立，故舍去，
综上可知：实数的取值范围是．
3．已知函数．
（1）若函数f(x)的图象在点处的切线方程为，求函数f(x)的极小值；
（2）若a＝1，对于任意，当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】（1）－2；（2）．
【解析】（1）因为的定义域为(0，＋∞)，
所以．
由函数f(x)的图象在点处的切线方程为，
得，解得a＝1．
此时．
令，得x＝1或．
当和时，f′(x)>0；当时，f′(x)<0．
所以函数f(x)在和(1，＋∞)上单调递增，在上单调递减，
所以当x＝1时，函数f(x)取得极小值f(1)＝ln 1＋1－3＝－2．
（2）由a＝1得f(x)＝ln x＋x2－3x．
因为对于任意，当时，恒成立，
所以对于任意，
当时，恒成立，
所以函数在[1，10]上单调递减．
令 x∈[1，10]，
所以在[1，10]上恒成立，
则在[1，10]上恒成立．
设，
则．
当x∈[1，10]时，F′(x)<0，所以函数F(x)在[1，10]上单调递减，
所以，所以，
故实数m的取值范围为．
4．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若函数，不等式在上恒成立，
求实数a的取值范围．
【答案】（1）当时，在上单调递增；当时，在单调递减，在单调递增；（2）．
【解析】（1）．
①当时，，在上单调递增；
②当时，令，得．
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增，
综上所述：当时，在上单调递增；
当时，在单调递减，在单调递增．
（2）由题意，函数，且在上恒成立，
先由，可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
当时，函数．
再令，且，可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
当，函数取得最小值，为，
，即在区间上恒成立．
由（1）知，当时，在上单调递增，
在上恒成立，符合题意；
当时，在上单调递减，在上单调递增，
在上不恒成立，
综上可得，实数a的取值范围是．
2．存在性问题
1．已知函数，．若，使得，则实数的取值范围是（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】当时，，，
当，时，，
当，时，．
令，则，，
当时，，；
当时，，；
综上所述，；
由题意，得两个函数的值域的交集非空，所以，解得，
故选B．
2．已知函数的定义域为，当时，，，若对，，使得，则正实数的取值范围为（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】对，，使得，，
①当时，，，
②当时，，
，在上单调递增，，
由①②得，
又，在上为增函数，，，，
的取值范围为，故选D．
3．已知函数，．若，都，使成立，则实数的取值范围为（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，都，使成立，；
当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
又时，；时，；，
当时，；
①当，即时，在上单调递增，，
，解得，；
②当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
，，解得或，
；
③当，即时，在上单调递减，，
，解得，，
综上所述：的取值范围为，故选D．
4．已知，，若对，，使得，则a的取值范围是（）
A．[2，5]B．C．D．
【答案】A
【解析】，
所以在[1，2]递减，在（2，3]递增，
，
可得的值域为，
对称轴为，在[1，3]递增，可得的值域为，
若对，，使得，
可得的值域为的值域的子集．
则，且，解得，故选A．
5．已知，，若，使得成立，则实数a的取值范围是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由，得，即，
记，，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
，，
记，，
，
，，，
时，，单调递减；
当时，，单调递增，
∴，，故选A．
6．已知函数，其中a≠0．
（1）若，讨论函数的单调性；
（2）是否存在实数a，对任意，总存在，使得成立？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）在单调递增，单调递减；（2）存在；．
【解析】（1）时，，
当时，；当时，，
∴在单调递增，单调递减．
（2）存在满足条件的实数a，且实数a的值为．
理由如下：
，
(i)当时，，∴在[0，1]上单调递减，∴，
则，∴此时不满足题意；
(ii)当时，在单调递增，单调递减，
①当时，即，在[0，1]单调递减，同上，此时不满足题意；
②当时，即时，在单调递增，单调递减，
∴，
当时，对任意，，
∴此时不满足题意；
③当时，即，在[0，1]单调递增，，
令，易知在[0，1]单调递减，
∴，
若对任意，总存在，使得，即使得，
∴，即，∴，∴，
综上所述，存在满足题意的实数a，且实数a的值为．
7．设函数．
（1）若是函数的一个极值点，试求出a关于b的关系式（用a表示b），并确定的单调区间；
（2）在（1）的条件下，设，函数．若存在，使得成立，求a的取值范围．
【答案】（1），单调区间见解析；（2）．
【解析】（1），
∵是函数的一个极值点，
∴，即，解得，
则，
令，即，解得或，
∵是函数的一个极值点，
∴，，
①当，即，在和上单调递增，在上单调递减；
②当，即，在和上单调递增，在上单调递减，
综上：，的单调递增区间为和，单调递减区间为；
当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为．
（2）由（1）知，当时，在单调递减，在单调递增，
∴函数在上的最小值为，
∵，，
∴函数在上的值域为，即，
∵在上为增函数且，
∴若存在，使得成立，只需与之间的最小距离小于1，
即，解得，
综上：当时，存在，使得成立．