河南省名校联盟2021-2022学年高三下学期第一次模拟理科数学试题

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河南省名校联盟2021-2022学年下学期高三第一次模拟理科数学试卷满分150分，时间120分钟注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考场填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚。 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效。一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合，，，则=A．     B．    C． D．2．已知复数满足，则A．     B．      C． D．3．执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的结果是A．13 B．5 C．3 D．24．若函数是定义在上的周期为2的奇函数，当时，，则A．0      B．2      C．4     D．-25．若，满足约束条件，则取得最大值的最优解为A．（1,3） B．（1,1） C．4 D．06．已知直线和直线，下列说法不正确的是A．始终过定点 B．若，则或C．若，则或2 D．当时，始终不过第三象限7．如图，在中，点M是上的点且满足，是上的点，且，设，则A．         B．C．         D．8．已知函数的部分图象如图所示，下列关于函数的表述正确的是A．函数的图象关于点对称B．函数在上递减C．函数的图象关于直线对称D．函数的图象上所有点向左平移个单位得到函数的图象9．志愿团安排去甲､乙､丙､丁四个精准扶贫点慰问的先后顺序，一位志愿者说：不能先去甲，甲的困难户最多；另一位志愿者说：不能最后去丁，丁离得最远.他们共有多少种不同的安排方法A．14 B．12    C．24 D．2810．在中，角，，的对边分别为，，，若，，则的取值范围是A． B． C． D．11．已知椭圆，其长轴长为4且离心率为，在椭圆上任取一点P，过点P作圆的两条切线，切点分别为，则的最小值为A．   B．   C． D．012．如图，直四棱柱的底面是边长为2的正方形，，，分别是，的中点，过点，，的平面记为，则下列说法中正确的个数是①点到平面的距离与点到平面的距离之比为1:2②平面截直四棱柱所得截面的面积为③平面将直四棱柱分割成的上、下两部分的体积之比为47:25④平面截直四棱柱所得截面的形状为四边形A．0   B．1   C．2   D．3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知为虚数单位，复数满足，则         ．14．若实数，满足约束条件，则的最大值为         ． 15．如图，在同一个平面内，向量与的夹角为，且，   向量与的夹角为，且，． 若=+（，），则         ． 16．如图①，用一个平面去截圆锥，得到的截口曲线是椭圆．许多人从纯几何的角度出发对这个问题进行过研究，其中比利时数学家Germinal dandelin(1794-1847)的方法非常巧妙，极具创造性．在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面，截面相切，两个球分别与截面相切于，在截口曲线上任取一点，过作圆锥的母线，分别与两个球相切于，由球和圆的几何性质，可以知道，，，于是．由的产生方法可知，它们之间的距离是定值，由椭圆定义可知，截口曲线是以为焦点的椭圆． 如图②，一个半径为的球放在桌面上，桌面上方有一个点光源，则球在桌面上的投影是椭圆．已知是椭圆的长轴，垂直于桌面且与球相切，，则椭圆的离心率为         ．三、解答题：共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（本小题满分12分）已知等比数列的前项和.（Ⅰ）求的值，并求出数列的通项公式；（Ⅱ）令，设为数列的前项和，求. 18.（本小题满分12分）已知斜三棱柱，侧面与底面垂直，，，，且.   （Ⅰ）试判断与平面是否垂直，并说明理由；   （Ⅱ）求二面角的余弦值.  19.（本小题满分12分）江苏卫视推出的大型科学竞技真人秀《最强大脑(8)》现已进入联盟抢分赛环节，由12强选手组建的凌霄、逐日、登峰联盟三支队伍(每队四人)将进行“12进6”的登顶预备战，每局有两队参加，没有平局. 按12强历次成绩统计得出，在一局比赛中，逐日联盟胜凌霄联盟的概率为，逐日联盟胜登峰联盟的概率为，凌霄联盟胜登峰联盟的概率为. 联盟抢分赛规则如下：按抽签决定由逐日联盟和凌霄联盟先进行第一局的比赛，然后每局的获胜队与未参加此局比赛的队伍进行下一局的比赛. 在比赛中，有队伍先获胜两局，就算取得比赛的胜利，直接晋级6强的全国脑王争霸赛.（Ⅰ）求只进行两局比赛，逐日联盟晋级6强的概率；（Ⅱ）求只进行两局比赛，就能确定晋级6强联盟队的概率；（Ⅲ）求逐日联盟晋级6强的概率. 20.（本小题满分12分）已知点为椭圆的右焦点，椭圆上任意一点到点距离的最大值为，最小值为.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若为椭圆上的点，以为圆心，长为半径作圆，若过点可作圆的两条切线（为切点），求四边形面积的最大值．  21.（本小题满分12分）已知函数.（Ⅰ）当曲线在处的切线与直线垂直时，求实数的值；（Ⅱ）求函数的单调区间；（Ⅲ）求证：  . （二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答. 并用2B铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分. 如果多做，则按所做的第一题计分.22.  [选修4—4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系中，点是曲线（为参数）上的动点，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（Ⅰ）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）若点在轴右侧，点在曲线上，求的最小值. [选修4—5：不等式选讲]设函数.（Ⅰ）若，求证：；（Ⅱ）对于，恒成立，求实数的取值范围.        理科数学答案题号123456789101112答案CCCDABBBAADD  13．   14．4   15．   16．17．【解析】（Ⅰ）法一：当时，                     1分当时，                  3分是等比数列，，即，解得                     5分所以，的值为，数列的通项公式为                      6分法二：是等比数列，即               3分设的公比为，                6分（Ⅱ）                            8分                         12分18.【解析】取中点,连接、，又,得，平面平面，交线为,又平面，则平面，,为中点，以为轴,为轴,为轴建立如图所示的空间直角坐标系.则，，，，                              3分（Ⅰ），  所以与不垂直，即与平面不垂直                      6分（另解：求出平面法向量，与不平行，则与平面不垂直）（Ⅱ）因为平面,设平面的一个法向量        7分设为平面的一个法向量，，   由    令，则，即，                       10分又因为， 如图知，二面角为钝角，所以二面角的余弦值为    12分法二：（Ⅰ）由,,,得,由,,，得,所以,则不垂直于,平面,则与平面不垂直.                         3分（Ⅱ）如图：过做，垂足为，平面平面，交线为,又平面，则平面，                             6分所以二面角的补角为所求.                     7分过向棱作垂线，垂足为，连接，则就是二面角的平面角，，所以，                      10分所以，所以二面角的余弦值为                    12分19.【解析】（Ⅰ）记“只进行两局比赛，逐日联盟晋级６强”为事件．　　　                                       3分（Ⅱ）记“只进行两局比赛，就能确定晋级６强联盟队”为事件　则事件包含逐日联盟晋级或凌霄联盟晋级．　　　                             7分（Ⅲ）记“逐日联盟晋级６强”为事件．则事件包含三种情况：① 逐日联盟胜凌霄联盟，逐日联盟胜登峰联盟：               ② 逐日联盟胜凌霄联盟，逐日联盟负登峰联盟，登峰联盟负凌霄联盟，逐日联盟胜凌霄联盟： ③ 逐日联盟负凌霄联盟，凌霄联盟负登峰联盟，登峰联盟负逐日联盟，逐日联盟胜　　凌霄联盟： 　　　                              12分(注：②③求对各给2分）20.【解析】（Ⅰ）根据题意椭圆上任意一点到点距离的最大值为，最小值为.所以      解得                          2分所以因此椭圆的标准方程为                           4分（Ⅱ）（法一）由（1）知，为椭圆的左焦点，根据椭圆定义知，，设，点在圆外           6分 所以，在直角三角形中，，          8分由圆的性质知，四边形面积，其中．    9分即（）．令（），则当时，，单调递增；当时，，单调递减．所以，在时，取极大值，也是最大值此时                            12分（法二）同法一，四边形面积，其中 9分所以当且仅当，即时取等号所以                                             12分 21.【解析】因为，      所以                                     1分根据题意                           2分（Ⅰ）解得 ，满足，                            4分（Ⅱ）当时，，令，令或所以的递增区间是，递减区间是当时，，令，令所以的递增区间是，递减区间是综上所述：当时，的递增区间是，递减区间是；当时，的递增区间是，递减区间是.               8分（3）由（2）知当时，，并且，因此有在恒成立，用替换得，即在恒成立，因此当时不等式恒成立令用替换得，所以即               12分22.【解析】（Ⅰ）消去得即曲线的普通方程为                           2分曲线的极坐标方程为 ，由 得曲线的直角坐标方程为                     4分（Ⅱ）P是曲线右支上的动点  设点P坐标为 是曲线上   最小值即点P到曲线的距离           则=                         7分，，当且仅当时取等号当时，取最小值 最小值为                        10分23.【解析】（Ⅰ）当时，                 2分  当且仅当 等号成立                                                      4分（注：没写取等号条件扣1分）（Ⅱ）对于，恒成立                恒成立     7分     即           实数的取值范围                             10分法二：         （1）当时 即时，                             6分（2）当 即 时①当时 ， ②当时 ，      由 ① ②可知                           9分综上：的取值范围                               10分