2020届河南省名校联盟高三下学期6月联考理科数学试题

这是一份2020届河南省名校联盟高三下学期6月联考理科数学试题，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


2020届河南省名校联盟高三下学期6月联考数学（理科）试题
一、选择题：本题有12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先解分式不等式得，解不等式得，再求集合交集即可
【详解】解：解分式不等式得，故，
解一元二次不等式得 ，故，
所以.
故选：A.
【点睛】本题考查分式不等式，一元二次不等式的解法，集合的交集运算，是基础题.
2. 已知在复数域内一元n次方程有n个根，i是虚数单位.若复数为一元二次方程（a，）的一个根，则此一元二次方程的另一个根在复平面内所对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】
根据实系数一元二次方程的虚根成对定理和复数的几何意义可得结果.
【详解】因为复数为一元二次方程（a，）的一个根，
所以根据实系数一元二次方程的虚根成对定理知此一元二次方程的另一个根为，它在复平面内所对应的点在第三象限.
故选：C.
【点睛】本题考查了实系数一元二次方程的虚根成对定理，考查了的复数的几何意义，属于基础题.
3. 设曲线是双曲线，则“的方程为”是“的渐近线方程为”的（ ）
A. 充分必要条件 B. 充分而不必要条件
C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
分析】
根据的方程为，则渐近线为；若渐近线方程为，则双曲线方程为（）即可得答案.
【详解】解：若的方程为，则，，渐近线方程为，
即为，充分性成立；
若渐近线方程为，则双曲线方程为（），
“的方程为”是“的渐近线方程为”的充分而不必要条件.
故选：B.
【点睛】本题通过圆锥曲线的方程主要考查充分条件与必要条件，属于中档题.判断充要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.
4. 正项等比数列中，，且与的等差中项为2，则（ ）
A. B. 2 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据等比数列的下标和性质可得，再由等差中项的性质可得，从而求出公比，求得首项；
【详解】解:由题意，在正项等比数列中，由，可得，即.由与的等差中项为2，得.设公比为q，则，则或（舍去），
所以，解得.
故选:C.
【点睛】本题考查等比数列下标和性质的应用，以及等比数列通项公式的应用，考查计算能力，属于基础题.
5. 若（），，且（），则（ ）
A. 0 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据向量平行的坐标表示可得，再根据平面向量数量积的坐标表示可得结果.
【详解】，所以，解得，
，，，，
.
故选：D.
【点睛】本题考查了向量平行的坐标表示，考查了平面向量数量积的坐标表示，属于基础题.
6. 2019年12月，国家统计局发布社会消费品零售总额1~11月相关数据，如下图所示，下面分析正确的是（ ）

2019年11月份社会消费品零售总额主要数据
指标
11月
1~11

绝对量（亿元）
同比增长（%）
绝对量（亿元）
同比增长（%）
社会消费品零售总额
38094
8.0
372872
8.0
其中：除汽车以外的消费品零售额
34629
9.1
337951
9.0
其中：限额以上单位消费品零售额
13965
4.4
132639
3.9
其中：实物商品往上零售额
—
—
76032
19.7
按经营地分




城镇
32345
7.9
318614
7.9
乡村
5748
9.1
54259
9.0



A. 2019年1~11月中，6月是社会消费品零售总额最高的月份
B. 2019年11月，社会消费品总额乡村增长率高于城市增长率，所以乡村对拉动社会消费品总额总增长率的作用大于城镇
C. 2019年前3季度中，第一季度平均同比增长率最高
D. 2019年1~11月份，社会消费品零售总额372872亿元，其中汽车消费品零售总额34921亿元
【答案】D
【解析】
【分析】
对于A，由图表可知6月是社会消费品零售总额同比增长速度最高的月份，而不是社会消费品零售总额最高的月份，对于B，11月，乡村社会消费品零售总额同比增长率比较高但是绝对量较少，从图表看，对于C，11月，乡村社会消费品零售总额同比增长率比较高但是绝对量较少，对于D选项，从表中的数据计算可得答案.
【详解】由图知2019年1~11月中，6月是社会消费品零售总额同比增长速度最高的月份，A错误；
2019年11月，乡村社会消费品零售总额同比增长率比较高但是绝对量较少，所以城镇的影响更大，B错误；
第二季度平均同比增长率高于第一季度，C错误；
2019年1~11月，汽车消费品零售总额亿元，D正确.
故选：D.
【点睛】此题考查了统计图表识别和应用，属于基础题.
7. 设点P是函数图象上的任意一点，点P处切线的倾斜角为，则角的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
在中令后可求，再根据导数的取值范围可得的范围，从而可得的取值范围.
【详解】，
，，，，.
点P是曲线上的任意一点，点P处切线的倾斜角为，.
，.
故选：B.
【点睛】本题考查导数的运算以及导数的几何意义，还考查了直线的斜率与倾斜角的关系，本题属于基础题.
8. 如图，边长为的正方形，射线从出发，绕着点B顺时针方向旋转至，点E为线段上的点，且，则在旋转的过程中，与线段有交点的概率为（ ）

A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
首先求出，再根据角度型几何概型概率公式计算可得；
【详解】解：，，与线段有交点的概率为.
故选：A.
【点睛】本题考查几何概型的概率公式的应用，属于基础题.
9. 已知函数（a、）的图像关于y轴对称，将函数的图像向右平移个单位长度，再把所有点的横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图像，则下列关于函数的说法正确的是（ ）
A. 最小正周期为 B. 图象关于直线对称
C. 图象关于点对称 D. 在上是减函数
【答案】C
【解析】
【分析】
由函数（a、）的图像关于y轴对称，可求出，从而得，则，然后依次求解此函数的周期，对称轴，对称中心，单调区间，可得答案.
【详解】因为函数的图像关于y轴对称，所以，，即，，因此（），所以，从而，其周期，选项A错误；
由（）得对称轴方程为（），选项B错误；
对称中心为（），时，对称中心为，选项C正确；
由，得
所以单调递减区间为（），选项D错误.
故选：C.
【点睛】此题考查了三角函数的图像和性质，三角函数的图像变换，属于基础题.
10. 已知函数函数零点的个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】
令，讨论的取值范围：当时或当时，可得或，讨论的取值范围，再利用导数研究函数的单调性，求出最值即可求解.
【详解】令，则，
（1）当时，，即，即.
当时，有一个解.
当时，，，；
，，且.
当时，，而，所以方程无解.
（2）当时，，由（1）知，即.
当时，有一个解.
当时，，所以无解.
综上，函数有两零点.
故选：B.
【点睛】本题考查了利用导数研究函数的零点，考查了计算求解能力，属于中档题.
11. 设数列满足，，，数列前n项和为，且（且）.若表示不超过x最大整数，，数列的前n项和为，则（ ）
A. 2019 B. 2020 C. 2021 D. 2022
【答案】C
【解析】
【分析】
根据递推公式，可知从第2项起是等差数列，可得，再根据累加法，可得，由此可得当时，，又，由此即可求出.
【详解】当时，，
，
，
，
从第2项起是等差数列.
又，，，，
，
当时，

，
（），
当时，.
又，
.
故选：C.
【点睛】本题主要考查了数列的递推公式、等差数列的概念，以及累加法在求通项公式中的应用，属于中档题.
12. 已知正方体的外接球的表面积为，与的重心分别为，，球与该正方体的各条棱都相切，则球被所在直线截的弦长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意可求得正方体棱长为3，则球的半径，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得，进而可得点到直线的距离，根据公式可得弦长.
【详解】设正方体的边长为，则，即正方体棱长为，.球的球心为正方体的中心，以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A（3，0，0），，B（3，3，0），，D（0，0，0），
，
点到直线的距离，
又球的半径为，
因此正方体外接球被所在直线截的弦长为.
故选：D.

【点睛】本题考查了正方体的几何性质，正方体和球的关系以及垂径定理，考查空间想象能力和计算能力，属于中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知，则______.
【答案】28
【解析】
【分析】
先求出二项的通项公式，由此通项可知展开式中的次数均为偶数，所以，当时，的次数为4，从而可求出，进而可得结果.
【详解】解：因为的第项为（且），
所以不存在，所以，
因为的系数为，所以，
所以.
故答案为：28
【点睛】此题考查二项式展开式的指定项的系数，熟记二项式展开式的通项公式是解题的关键，属于基础题.
14. 已知点在不等式组表示的平面区域D上运动，（1）若区域D表示一个三角形，则a的取值范围是______；（2）若，则的最小值是______.
【答案】 (1). (2). 5
【解析】
【分析】
要使不等式组表示的平面区域是一个三角形，结合图形可知；作出可行域，根据图形找到最优解，可得答案.
【详解】因为直线与的交点为，
所以要使不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是.
当时，作出可行域，如图：

由图可知，当直线经过点时，取得最小值.
故答案为：；5.
【点睛】本题考查了利用线性规划求线性目标函数的最值，属于基础题.
15. 已知抛物线C：的焦点F与的一个焦点重合，过焦点F的直线与C交于A，B两不同点，抛物线C在A，B两点处的切线相交于点M，且M的横坐标为2，则弦长______.
【答案】10
【解析】
【分析】
首先根据已知条件得到抛物线方程为，设直线方程为，，，利用导数的几何意义得到两条切线分别为和，联立切线得到，从而得到，联立直线与抛物线，利用韦达定理即可得到，再求焦点弦长即可.
【详解】由题意可得，则，抛物线方程为.
设直线方程为，，，
其中，.
由得，所以在点处的切线方程为，
化简得①，
同理可得在点B处的切线方程为②.
联立①②得，又M的横坐标为2，
.
将方程代入抛物线得，，
，，
.
故答案为：
【点睛】本题主要考查抛物线的焦点弦，同时考查导数的几何意义，属于中档题.
16. 函数，当时，恒成立，则实数a的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】
先根据时得，再对函数求导，研究导函数的单调性、最值等，进而研究函数单调性，即可解决.
【详解】解：，，.
由题意得，
令，则.
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
的最小值为.
又，，
，，即，
在区间为减函数.
，当时，.
又当，时，，
故恒成立，因此a的取值范围是.
故答案为：
【点睛】本题考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查分析与解决问题的能力，是中档题.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
17. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
（1）求角A的大小；
（2）若，试判断的形状并给出证明.
【答案】（1）；（2）为等边三角形，证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）利用正弦定理将角化边，再由余弦定理计算可得；
（2）由正弦定理边化角及诱导公式、两角和的正弦公式可得，即可得到，从而得到三角形的形状；
【详解】解：（1），
由正弦定理得，
，根据余弦定理知.
又角A为的内角，.
（2）为等边三角形
，由正弦定理得.
由三角形内角和公式得，故，
，整理得，
，又，.
又由（1）知，为等边三角形.
【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理的应用，两角和的正弦公式的应用，属于中档题.
18. 2019年，受非洲猪瘟影响，全国猪肉价格大幅上涨.10月份全国居民消费指数（）同比上涨，创七年新高，其中猪肉价格成为推动居民消费指数上涨的主要因素之一.某学习调查小组为研究某市居民对猪肉市场的信心程度，对当地200名居民在未来一段时间内猪肉价格上涨幅度的心理预期值进行了一个抽样调查，得到如图所示的频率分布直方图：

（1）求频率分布直方图中a的值，并估算该市居民对猪肉价格上涨幅度的平均心理预期值；
（2）将猪肉价格上涨幅度预期值在和的居民分别定义为对市场“信心十足型”和“信心不足型”，现采用分层抽样的方法从样本中位于这两个区间的居民中随机抽取6名，再从这6人中随机抽取3名进行跟踪调查，记X表示这三人中“信心十足型”的人数，求X的分布列、数学期望与方差.
【答案】（1），预期值为；（2）分布列见解析，，.
【解析】
【分析】
（1）由频率直方图中的各矩形的面积和为1，可求得a，再由频率直方图求得对猪肉价格上涨幅度心理预期值的平均数，则由此可估计该市的居民对猪肉价格上涨幅度的平均心理预期值；
（2）先由分层抽样的定义分别求出在“信心十足型”居民中和在“信心不足型”居民中各抽取的人数，再得出随机变量可能的取值，根据古典概率公式可求得其分布列，从而求得期望和方差.
【详解】解：（1）由直方图知，解得.
设该市居民对猪肉价格上涨幅度的平均心理预期值为，则
，
所以该市居民对猪肉价格上涨幅度的平均心理预期值为.
（2）由题意，样本中，“信心十足型”型居民有人.
“信心不足型”型居民有人.
由分层抽样的定义可知“信心十足型”居民抽取4人，“信心不足型”居民抽取2人.
则X的可能取值为1，2，3，
，
，
，
故X分布列为
X
1
2
3
P
0.2
0.6
0.2


，
.
【点睛】本题考查识别频率直方图，根据频率直方图估计总体的预期值，考查随机变量的分布列的求法，以及随机变量的期望和方差，属于中档题.
19. 如图，在三棱锥中，底面是正三角形，，底面，点E，F分别为，的中点.

（1）求证：平面平面；
（2）在线段（不含端点）上是否存在点G，使得平面与平面所成锐二面角的正弦值为？若存在，确定点G的位置；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）不存在，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据底面可得，结合可证平面，从而可得平面平面.
（2）设，以，，方向为x，y，x轴建立坐标系，求出平面的法向量与平面的法向量的夹角的余弦值后得到关于的方程，求出后可得线段上不存在满足条件的点.
【详解】证明：（1），E为的中点，.
又平面，平面，.
，，平面，平面，又平面，平面平面.
（2）如图，由（1）知，，，点E，F分别为，的中点，
，，，又，
，，两两垂直，以E为原点，以，，方向为x，y，x轴建立坐标系，

则，，，
，，.
设（），
，
，
，.
设平面的法向量为，
则
令，则，.
，，设平面的法向量，
则
令，则，，.
由已知，，
因为，故线段上不存在点G，使得直线与平面所成的角的正弦值为.
【点睛】面面垂直的判定可由线面垂直得到，而线面垂直可通过线线垂直得到，注意面中两条直线是相交的．由面面垂直也可得到线面垂直，注意线在面内且线垂直于两个平面的交线.空间中的角的计算，可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算，也可以构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的计算.
20. 在平面直角坐标系中，设椭圆（）的离心率是e，定义直线为椭圆的“类准线”，已知椭圆C的“类准线”方程为，长轴长为8.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）O为坐标原点，A为椭圆C的右顶点，直线l交椭圆C于E，F两不同点（点E，F与点A不重合），且满足，若点P满足，求直线的斜率的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由题意列关于，，的方程，联立方程组求得，，，则椭圆方程可求；
（2）分直线轴与直线l不垂直于x轴两种情况讨论，当直线l不垂直于x轴时，设，，直线l：（，），联立直线方程与椭圆方程，消元由，得到，再列出韦达定理，由则，解得，再由，求出的坐标，则，再利用基本不等式求出取值范围；
【详解】解：（1）由题意得：，，又，
联立以上可得：，，，椭圆C的方程为.
（2）由（1）得，当直线轴时，又，联立得，
解得或，所以，此时，直线的斜率为0.
当直线l不垂直于x轴时，设，，直线l：（，），
联立，整理得，
依题意，即（*）且，.
又，

，
，即，且t满足（*），
，，
故直线的斜率，
当时，，当且仅当，即时取等号，此时；
当时，，当且仅当，即时取等号，此时；
综上，直线的斜率的取值范围为.
【点睛】本题考查利用待定系数法求椭圆方程，直线与椭圆的综合应用，属于难题.
21. 已知函数（a、）.
（1）当，时，求的单调区间；
（2）当，时，求的最小值.
【答案】（1）增区间，减区间为；（2）.
【解析】
【分析】
（1）求出函数的定义域，然后对函数求导，导函数大于零，解得其增区间，导函数小于零，解得其减区间；
（2）由，令（），然后利用导数讨论的单调性，最值，从而可求出的最小值.
【详解】（1）当，时，（）.
，
令得，或（舍去）.
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）.
设（），，
1）当时，，则在上单调递减，且，
，在上单调递增，
.
2）当时，，
设，，有两根，.
，，不妨令，
当时，，即，在上单调递减，
当时，，即，在上单调递增.
①当，即时，，在上单调递增.
又，，
.
②当，即时，，在上单调递减，在上单调递增.
又，，
，
存在使得，
.
综上可得
【点睛】此题考查利用导数求函数的单调性，利用导数求函数的最值，考查分类讨论思想和计算能力，属于较难题.
22. 已知直线l的参数方程为：（t为参数），曲线C的极坐标方程为：，点P是曲线C上除极点以外的任意一点，点M在直线上且满足，设点M的轨迹为曲线E.
（1）求直线l和曲线E的极坐标方程；
（2）若直线l分别与曲线C、曲线E交于A（与原点不重合）、B两不同点，求线段的长.
【答案】（1）（），；（2）.
【解析】
【分析】
（1）先将直线l的参数方程化为普通方程，再将普通方程化为极坐标方程，设（），，则由题意得，，而点P是曲线C上除极点以外的任意一点，所以，化简后得曲线E的极坐标方程；
（2）设A、B两点的极径分别为、，直线l的极坐标方程分别与曲线C的极坐标方程和曲线E的极坐标方程联立方程组求出、，从而可求出的值.
【详解】（1）将直线l的参数方程（t为参数）消去参数t，
得，又，，得直线l的极坐标方程为（）.
设（），，由题意，①
又，，即.②
因为点P在曲线C上，所以，
将①②代入，得，
整理得曲线E的极坐标方程为.
（2）设A、B两点的极径分别为、，
联立直线l和曲线C的极坐标方程，
得.
联立直线l和曲线E的极坐标方程，
得，
.
【点睛】此题考查参数方程与极坐标方程，考查了极坐标系中极径的几何意义，考查运算能力，属于中档题.
23. 已知函数.
（1）解不等式；
（2）若正实数m，n满足，试比较与的大小，并说明理由.
【答案】（1）；（2），理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）通过讨论的范围，求出不等式的解集即可；
（2）先根据绝对值的三角不等式可得，进而求出；再利用基本不等式求出的最小值，由此即可得结果．
【详解】（1）①当时，，无解；
②当时，，；
③当时，，恒成立，，
所以该不等式的解集为.
（2）因为|，
当且仅当，即或时取“”，
所以，即.
又，
当且仅当，即，时取等号，
所以.
【点睛】本题考查了绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，以及基本不等式的应用，属于中档题．