专题16 角的比较与补（余）角（专题强化-提高）-2021-2022学年七年级数学上册期中期末考点大串讲（沪科版）

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专题16 角的比较与补（余）角（专题强化-提高）

一、单选题(共40分)
1．(本题4分)（2021·福建宁化·初一期中）阅读下列说法：①过两点有且只有一条直线；②两点之间，线段最短；③若AP=BP，则点P是线段AB的中点；④°=°6＇；⑤小于平角的角可分为锐角和钝角，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】
【分析】
根据直线、线段、角度换算以及角的概念，对选项一一分析即可．
【详解】
解： ①过两点有且只有一条直线，正确；
②两点之间，线段最短，正确；
③若点P在线段AB上正确，若点P在线段AB外则错误，故错误；
④°=°36＇，错误；
⑤小于平角的角可分为锐角、钝角，还应包含直角，错误；
故正确的有2个，
故选：B.
【点睛】
本题考查直线、线段、角度换算以及角的概念．解题的关键是熟练掌握这些概念．
2．(本题4分)（2021·内蒙古初一期末）已知∠,∠,则∠和∠的大小关系是（ ）
A．∠∠ B．∠∠ C．∠∠ D．无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】
一度等于60′,知道分与度之间的转化,统一单位后比较大小即可求解．
【详解】
解：∵∠α=21′,∠β==21.6′,
∴∠∠．
故选：C．
【点睛】
考查了度分秒的换算,熟练掌握角的比较与运算,能够在度与分之间进行转化．
3．(本题4分)（2019·全国初一单元测试）已知，，，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．，，相等
【答案】C
【解析】
【分析】
利用度分秒的换算1°＝ 60' 来计算.
【详解】
因为，所以∠A＝∠C.

故选C.
【点睛】
此题考查度分秒的换算，解题关键在于掌握换算法则.
4．(本题4分)（2021·山东省昌乐第一中学初一月考）已知∠1=18°18′，∠2=18.18°，∠3=18.3°，下列结论正确的是（　　）
A．∠1=∠3 B．∠1=∠2 C．∠2=∠3 D．∠1=∠2=∠3
【答案】A
【解析】
【分析】
根据小单位化大单位除以进率，可化成相同单位的角，根据有理数的大小比较，可得答案．
【详解】
∠1=18°18′=18.3°=∠3＜∠2，
故选：A．
【点睛】
本题考查了度、分、秒的换算，利用小单位化大单位除以进率化成相同单位的角是解题的关键．
5．(本题4分)（2021·全国初一课时练习）如图，，为外的一个锐角，且，射线平分，平分，则的度数为（ ）．

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意，先求得∠COB的值；OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，则可求得∠AOM、∠AON的值；∠MON=∠AOM+∠AON，计算得出结果．
【详解】
∵∠AOB=90°，且∠AOC=40°，
∴∠COB=∠AOB+∠AOC=90°+40°=130°，
∵OM平分∠BOC，
∴∠BOM=∠BOC=65°，
∴∠AOM=∠AOB-∠BOM=25°，
∵ON平分∠AOC，
∴∠AON=∠AOC=20°，
∴∠MON=∠AOM+∠AON=45°．
∴∠MON的度数是45°．
故选：A．
【点睛】
本题考查了余角的计算，角的计算，角平分线的定义．首先确立各角之间的关系，根据角平分线定义得出所求角与已知角的关系转化是解题的关键．
6．(本题4分)（2021·湖南雨花·初一期末）下列关系式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据大单位化小单位乘以进率，可得答案.
【详解】
A. ，，故A错误；
B. ，，故B错误；
C. ，，故C错误；
D. ，，故D正确.
故选D.
【点睛】
本题考查了度分秒的换算，大单位化小单位乘以进率是解此题的关键.
7．(本题4分)（2021·广西初一期末）一副直角三角尺叠放如图1所示，现将45°的三角尺ADE固定不动，将含30°的三角尺ABC绕顶点A顺时针转动，使两块三角尺至少有一组边互相平行．如图2：当∠CAE=60°时，BC∥DE．则∠CAE（0°∠CAE 180°）其它所有可能符合条件的度数为（ ）

A．75°和105° B．90 °和135° C．90°，105°和150° D．90°，120°和150°
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意画图行，再由平行线的判定定理即可得到结论；
【详解】

如图，
当AC∥DE时，；
当BC∥AD时，，
∴，
∴；
当AB∥DE时，．
故选C．
【点睛】
本题主要考查了三角形的全等及旋转的知识点，准确计算是解题的关键．
8．(本题4分)（2021·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校初一月考）如图所示，，，平分，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先利用角的和差关系求出∠AOB的度数，根据角平分线的定义求出∠BOD的度数，再利用角的和差关系求出∠COD的度数．
【详解】
解：∵∠AOC=90°，∠COB=，
∴∠AOB=∠AOC+∠COB=90°+．
∵OD平分∠AOB，
∴∠BOD=（90°+）=45°+，
∴∠COD=∠BOD-∠COB=45°-，
故选：C.
【点睛】
本题综合考查了角平分线的定义及角的和差关系，熟练掌握是解题的关键.
9．(本题4分)（2021·辽宁辽阳·初一期末）已知如图，，，小明想过点引一条射线，使（与都小于平角），那么的度数是（ ）

A． B．或 C． D．或
【答案】D
【解析】
【分析】
分OD在∠AOB的内部与外部两种情况，画出图形求解即可．
【详解】
解：①当OD在∠AOB内部时，如图①，
∵，∠AOB=100°，
∴∠BOD=∠AOB=×100°=75°，
∴∠BOC=∠BOD-∠BOC=75°-30°=45°．

②当OD在∠AOB外部时，如图②，
∵，∴∠AOD:∠AOB=1:2，
∴∠AOD=50°，
又∠AOC=∠AOB-∠BOC=100°-30°=70°，
∴∠COD=∠AOD+∠AOC=50°+70°=120°，
故∠COD的度数为45°或120°．
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了角的计算，根据已知进行分类讨论是解题关键．
10．(本题4分)（2021·全国初一课时练习）如图，把放置在量角器上，与量角器的中心重合，读得射线、分别经过刻度和，把绕点逆时针方向旋转到，下列结论：
①；
②若射线经过刻度，则与互补；
③若，则射线经过刻度45．
其中正确的是（ ）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】D
【解析】
【分析】
由==36°，得，即可判断①，由=117°-27°-36°=54°，=153°-27°=126°，即可判断②，由，得，进而得，即可判断③．
【详解】
∵射线、分别经过刻度和，绕点逆时针方向旋转到，
∴==36°，
∵，，
∴，
故①正确；
∵射线经过刻度，
∴=117°-27°-36°=54°，=153°-27°=126°，
∴+=54°+126°=180°，即：与互补，
故②正确；
∵，
∴，
∴，
∴射线经过刻度45．
故③正确．
故选D．
【点睛】
本题主要考查角的和差倍分关系以及补角的定义，掌握角的和差倍分关系，列出方程，是解题的关键．

二、填空题(共20分)
11．(本题5分)（2021·甘肃初一期末）如图，这是购物车的侧面示意图，扶手与车底平行，，则的度数是_________．

【答案】
【解析】
【分析】
先根据平行线的性质可得，再根据角的和差即可得．
【详解】
扶手与车底平行，，
，
又，
，
解得，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了平行线的性质、角的和差，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
12．(本题5分)（2021·江苏秦淮·初一期末）如图，AE是ABC的角平分线，AD⊥BC，垂足为D．若∠ABC＝66°，∠C＝34°，则∠DAE＝________°．

【答案】16
【解析】
【分析】
先求出∠BAC的度数，再求出∠BAD的度数和∠CAE的度数，再求出∠DAE的度数．
【详解】
解：∵∠BAC=180°-66°-34°=80°，
又∵AE是△ABC的角平分线，
∴∠CAE=40°，
∵∠ABC=66°，AD是BC边上的高．
∴∠BAD=90°-66°=24°，
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=∠CAE-∠BAD=40°-24°=16°．
故答案为：16．
【点睛】
本题考查了三角形的内角和定理和角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．
13．(本题5分)（2021·黑龙江五常·初一期末）如图所示，O是直线AB与CD的交点，∠BOM：∠DOM＝1：2，∠CON＝90°，∠NOM＝68°，则∠BOD＝_____°．

【答案】33．
【解析】
【分析】
根据角的和差关系可得∠DOM＝∠DON﹣∠NOM＝22°，再根据∠BOM：∠DOM＝1：2可得∠BOM＝∠DOM＝11°，据此即可得出∠BOD的度数．
【详解】
∵∠CON＝90°，
∴∠DON＝∠CON＝90°，
∴∠DOM＝∠DON﹣∠NOM＝90°﹣68°＝22°，
∵∠BOM：∠DOM＝1：2，
∴∠BOM＝∠DOM＝11°，
∴∠BOD＝3∠BOM＝33°．
故答案为：33．
【点睛】
本题考查了余角的定义，角的和差的关系，掌握角的和差的关系是解题的关键．
14．(本题5分)（2021·四川金牛·初一期末）如图1，在长方形纸片ABCD中，E点在边AD上，F、G分别在边AB、CD上，分别以EF、EG为折痕进行折叠并压平，点A、D的对应点分别是点A′和点D′，若ED′平分∠FEG，且在内部，如图2，设∠A′ED'=n°，则∠FE D′的度数为___________(用含n的代数式表示)．

【答案】
【解析】
【分析】
先根据角之间的关系表示出∠AEA′+∠DED′，再由折叠的性质得到∠A′EF+∠D′EG，然后根据∠FEG=∠A′EF+∠D′EG－∠A′ED′可表示出∠FEG，最后利用角平分线的性质求出∠FED′即可.
【详解】
解：∵∠AEA′+∠DED′－∠A′ED′=180°，∠A′ED′=n°，
∴∠AEA′+∠DED′=180°+n°，
由折叠的性质可知，∠AEA′=2∠A′EF，∠DED′=2∠D′EG，
∴∠A′EF+∠D′EG=，
∴∠FEG=∠A′EF+∠D′EG－∠A′ED′==，
∵ED′平分∠FEG，
∴∠FED′=∠FEG=.
【点睛】
本题考查与折叠、角平分线有关的角度问题，明确折叠的性质，正确找出角与角之间的关系是解题的关键.

三、解答题(共90分)
15．(本题8分)（2021·江苏徐州·初一期末）如图，点在直线上，、分别是、的平分线.

（1）的补角是∠______；
（2）若，求的度数；
（3）射线与之间有什么特殊的位置关系？为什么？
【答案】（1）BOE；（2）31°；（3）OD⊥OE，理由见解析．
【解析】
【分析】
（1）根据补角的定义即可得出答案；
（2）根据角平分线的定义可知；
（3）根据角平分线的定义可得，推出即可得出结论．
【详解】
（1）∵∠AOE+∠BOE=180°
∴∠AOE的补角是∠BOE
故答案为：BOE．
（2）∵OD是∠BOC的平分线，
∴．
（3），理由如下：
∵OE、OD分别是∠AOC、∠BOC的平分线，
∴．
∴
∴．
【点睛】
本题考查了补角，角平分线，垂直的定义，熟练掌握基本概念是解题的关键．
16．(本题8分)（2021·云南镇康·初一期末）一个角的余角比这个角的补角的还小10°，求这个角．
【答案】60°
【解析】
【分析】
设这个角是x度，根据题意列方程求解．
【详解】
解：设这个角为xº，
列方程：90-x=（180-x）-10，
解得x=60，
故这个角是60度．
【点睛】
本题考查余角补角性质；解一元一次方程，根据题目数量关系正确列方程计算是解题关键．
17．(本题8分)（2021·江苏梁溪·初一期末）如图，中，为上一点，且，的角平分线分别交、于点、．
（1）若，判断和的大小关系并说明理由；
（2）是否存在，使大于？如果存在，求出的范围，如果不存在，请说明理由．

【答案】（1），理由见解析；（2）存在，
【解析】
【分析】
（1）根据余角的定义得到∠DCE+∠DEC=90°，∠BCF+∠BFC=90°，根据角平分线的定义得到∠DCE=∠BCF，等量代换得到∠BEF=∠BFC，于是得到∠BEF=∠BFE；
（2）根据角的和差和三角形的内角和定理即可得到结论．
【详解】
解（1）
理由：

，
平分




即
（2）





若
则
即

．
【点睛】
本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，余角的性质，正确的理解题意是解题的关键．
18．(本题8分)（2021·湖北嘉鱼·初一期末）如图，OC平分∠AOB，OD为∠BOC内一条射线，且∠AOD=2∠BOD．
（1）若已知∠AOB=120°，试求∠COD的度数；
（2）若已知∠COD=18°，试求∠AOB的度数；
（3）若已知∠COD=°，请直接写出∠AOB的度数．

【答案】（1）20°；（2）108°；（3）°
【解析】
【分析】
(1)根据∠AOB=120°，OC平分∠AOB，即可得出∠AOC的度数，再由∠AOD=2∠BOD，可以得出∠AOD的度数，从而得到∠COD的度数；
(2)由已知条件能够得到∠AOC=∠COB=，∠AOD=即可得出结果；
(3)由题（2）即可得出结论．
【详解】
解：(1)∵∠AOB=120°，OC平分∠AOB，
∴∠AOC=∠COB=60°，
又∵∠AOD=2∠BOD，
∴∠AOD=120°÷3×2=80°，
∴∠COD=∠AOD-∠AOC=80°-60°=20°；
(2)∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC=∠COB=，
∵∠AOD=2∠BOD，
∴∠AOD=
∵∠COD=，
∴∠AOB=∠COD×6=6×18°=108°；
(3)由题(2)可知：∠AOB=∠COD×6，
∵∠COD=°，
∴∠AOB=6°．
【点睛】
本题主要考查的是角的综合，掌握角平分线的性质是解题的关键．
19．(本题10分)（2021·河南舞钢·初一期中）如图，已知直线AB和CD相交于点O，∠COE＝90°，OF平分∠AOE．
（1）写出∠BOE的余角；
（2）若∠COF的度数为29°，求∠BOE的度数．

【答案】（1）∠BOD和∠AOC （2）58°
【解析】
【分析】
（1）根据对顶角相等和余角的定义解答即可；
（2）首先根据∠COF＝29°，∠COE＝90°，求出∠EOF的度数，再根据角平分线的概念求得∠AOE，再利用邻补角的关系求得∠BOE的度数．
【详解】
解：（1）∵直线AB和CD相交于点O，∠COE＝90°，
∴∠BOD＝∠AOC，∠DOE＝90°，
∴∠BOE+∠BOD＝90°，
∴∠BOE+∠AOC＝90°，
∴∠BOE的余角是∠BOD和∠AOC；
（2）∵∠COF＝29°，∠COE＝90°，
∴∠EOF＝90°﹣29°＝61°，
又OF平分∠AOE，
∴∠AOE＝122°，
∵∠BOE+∠AOE＝180°，
∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝58°．
【点睛】
本题考查了对顶角相等的性质，角平分线的定义，是基础题，熟记概念与性质并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
20．(本题10分)（2021·湖南天心·长郡中学初一期末）线段与角的计算
（1）如图，已知点为上一点，，，若、分别为、的中点．求的长．

（2）已知：如图，被分成，平分，平分，且，求的度数．

【答案】（1）5cm；（2）135°．
【解析】
【分析】
（1）根据中点所在线段的位置关系，先求中点所在线段的长度，再利用线段差的一半即得；
（2）根据三角成比例设未知，将作为等量关系列出方程，解方程即可将有关角求出，最后利用角的和即可求出结果．
【详解】
（1）∵，．
∴，．
又∵是的中点，是的中点．
∴．
．
∴．
（2）设，，，则，
则∵平分，平分，
∴，，
∴，
又∵，∴，
∴，∴．
故答案为：．
【点睛】
本题考查线段中点问题、角平分线问题，根据中点所在线段位置关系确定线段和与差的运算是关键点也是难点，确定角平分线的位置关系为等量关系是解决角的和与差问题的关键点也是难点．
21．(本题12分)（2021·全国初一课时练习）已知长方形纸片，点在边上，点，在边上，连接，．将对折，点落在直线上的点处，得折痕；将对折，点落在直线上的点处，得折痕．

（1）如图（1），若点与点重合，求的度数；
（2）如图（2），若点在点的右侧，且，求的度数；
（3）若，请直接用含的式子表示的大小．
【答案】（1）；（2）；（3）若点在点的右侧，；若点在点的左侧，
【解析】
【分析】
（1）由题意根据角平分线的定义，平角的定义，角的和差定义计算即可．
（2）由题意根据∠MEN=∠NEF+∠FEG+∠MEG，求出∠NEF+∠MEG即可解决问题．
（3）根据题意分点在点的右侧以及点在点的左侧两种情形分别求解即可．
【详解】
解：（1）因为平分，平分，
所以，，
所以．
因为，
所以．
（2）因为平分，平分，
所以，，
所以．
因为，，
所以，
所以．
（3）因为平分，平分，
所以，，
若点在点的右侧，，
；
若点在点的左侧，
．
【点睛】
本题考查角的计算，翻折变换，角平分线的定义，角的和差定义等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．
22．(本题12分)（2021·浙江镇海·初一期末）已知：如图，在内部有（）．

（1）如图1，求的度数；
（2）如图2，平分，平分，求的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，当从的位置开始，绕着点以每秒的速度顺时针旋转秒时，使，求的值．
【答案】（1）170°；（2）65°；（3）19
【解析】
【分析】
（1）根据∠AOD+∠BOC=∠AOD+∠COD+∠BOD 计算即可；
（2）利用各角的关系得出∠MON=∠AOB-(∠AON+∠BOM)，再利用角平分线的定义求解即可；
（3）根据题意可得∠AON=∠∠AOD=（10+20+2t）°=(15+t)°，∠BOM=∠BOC=（150-10-2t）°=(70-t)°，再根据，列出方程求解即可．
【详解】
解：（1）∠AOD+∠BOC
=∠AOD+∠COD+∠BOD
=∠AOB+∠COD
=150°+20°=170°
（2）∵ON平分∠AOD，OM平分∠BOC
∴∠AON+∠BOM=（∠AOD+∠BOC）=×170°=85°
∴∠MON=∠AOB-(∠AON+∠BOM) =150°-85°=65°
（3）∵∠AON=∠∠AOD=（10+20+2t）°=(15+t) °
∠BOM=∠BOC=（150-10-2t）°=(70-t) °
又∵∠BOM=∠AON
∴70-t=（15+t）
∴t=19
【点睛】
本题考查了角的计算，以及角平分线的定义，关键是根据图形理清角之间的和差关系．
23．(本题14分)（2021·全国初一课时练习）根据要求画图，并回答问题．
已知：直线AB，CD相交于点O，且OE⊥AB．
（1）过点O画直线MN⊥CD；
（2）若点F是（1）中所画直线MN上任意一点(O点除外)，若∠AOC＝35°，求∠EOF的度数．

【答案】（1）如图所示见解析；（2）∠EOF的度数为35°或145°．
【解析】
【分析】
（1）根据题意画出直线MN即可；
（2）当F在OM上时，根据垂直定义求出∠EOF＝∠BOD，根据对顶角求出∠EOF＝∠AOC，即可求出答案；当F在ON上时，求出∠AOM的度数，根据对顶角求出∠BON的度数，求出∠EOB+∠BON即可．
【详解】
（1）如图所示：

（2）如上图：①当F在OM上时．
∵EO⊥AB，MN⊥CD，∴∠EOB＝∠MOD＝90°，∴∠MOE+∠EOD＝90°，∠EOD+∠BOD＝90°，∴∠EOF＝∠BOD＝∠AOC＝35°；
②当F在ON上时，如图在F′点时．
∵MN⊥CD，∴∠MOC＝90°＝∠AOC+∠AOM，∴∠AOM＝90°﹣∠AOC＝55°，∴∠BON＝∠AOM＝55°，∴∠EOF′＝∠EOB+∠BON＝90°+55°＝145°．
答：∠EOF的度数是35°或145°．
【点睛】
本题考查了基本作图，角的计算，对顶角，垂线等知识点的应用，关键是根据这些性质求出∠AOM和∠EOM的度数，题目较好，难度不大，分类讨论思想的运用．