2022年湖南长沙广益中学中考适应性考试数学试题含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

考生须知：

1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1．计算-5+1的结果为（ ）

A．-6 B．-4 C．4 D．6

2．a、b互为相反数，则下列成立的是（　　）

A．ab=1 B．a+b=0 C．a=b D．=-1

3．天气越来越热，为防止流行病传播，学校决定用420元购买某种牌子的消毒液，经过还价，每瓶便宜0.5元，结果比用原价购买多买了20瓶，求原价每瓶多少元？设原价每瓶x元，则可列出方程为(   )

A．-=20 B．-=20

C．-=20 D．

4．如图，等腰△ABC的底边BC与底边上的高AD相等，高AD在数轴上，其中点A，D分别对应数轴上的实数﹣2，2，则AC的长度为（　　）

A．2 B．4 C．2 D．4

5．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为（,1），下列结论：①ac＜1；②a+b=1；③4ac﹣b2=4a；④a+b+c＜1．其中正确结论的个数是（　　）

A．1    B．2    C．3    D．4

6．某春季田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表所示：

这些运动员跳高成绩的中位数是（　　）

A． B． C． D．

7．被誉为“中国天眼”的世界上最大的单口径球面射电望远镜FAST的反射面总面积约为250000m2，则250000用科学记数法表示为(     )

A．25×104m2 B．0.25×106m2 C．2.5×105m2 D．2.5×106m2

8．下图是由八个相同的小正方体组合而成的几何体，其左视图是（    ）

A． B． C． D．

9．图为小明和小红两人的解题过程．下列叙述正确的是(   )

计算：+

A．只有小明的正确 B．只有小红的正确

C．小明、小红都正确 D．小明、小红都不正确

10．长城、故宫等是我国第一批成功入选世界遗产的文化古迹，长城总长约6 700 000米，将6 700 000用科学记数法表示应为（　　）

A．6.7×106    B．6.7×10﹣6    C．6.7×105    D．0.67×107

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11．有一个正六面体，六个面上分别写有1～6这6个整数，投掷这个正六面体一次，向上一面的数字是2的倍数或3的倍数的概率是____．

12．计算：（π﹣3）0﹣2-1=_____．

13．已知△ABC中，AB=6，AC=BC=5，将△ABC折叠，使点A落在BC边上的点D处，折痕为EF（点E．F分别在边AB、AC上）．当以B．E．D为顶点的三角形与△DEF相似时，BE的长为_____．

14．某种商品因换季准备打折出售，如果按定价的七五折出售将赔25元，而按定价的九折出售将赚20元，则商品的定价是______元

15．如图，点D在的边上，已知点E、点F分别为和的重心，如果，那么两个三角形重心之间的距离的长等于________．

16．一个正方形AOBC各顶点的坐标分别为A（0，3），O（0，0），B（3，0），C（3，3）．若以原点为位似中心，将这个正方形的边长缩小为原来的，则新正方形的中心的坐标为_____．

17．在一个不透明的袋子中装有除颜色外其他均相同的3个红球和2个白球，从中任意摸出一个球，则摸出白球的概率是_____．

三、解答题（共7小题，满分69分）

18．（10分）为弘扬中华优秀传统文化，某校开展“经典诵读”比赛活动，诵读材料有《论语》、《大学》、《中庸》（依次用字母A，B，C表示这三个材料），将A，B，C分别写在3张完全相同的不透明卡片的正面上，背面朝上洗匀后放在桌面上，比赛时小礼先从中随机抽取一张卡片，记下内容后放回，洗匀后，再由小智从中随机抽取一张卡片，他俩按各自抽取的内容进行诵读比赛．小礼诵读《论语》的概率是　   　；（直接写出答案）请用列表或画树状图的方法求他俩诵读两个不同材料的概率．

19．（5分）在“一带一路”战略的影响下，某茶叶经销商准备把“茶路”融入“丝路”，经计算，他销售10kgA级别和20kgB级别茶叶的利润为4000元，销售20kgA级别和10kgB级别茶叶的利润为3500元．

（1）求每千克A级别茶叶和B级别茶叶的销售利润；

（2）若该经销商一次购进两种级别的茶叶共200kg用于出口，其中B级别茶叶的进货量不超过A级别茶叶的2倍，请你帮该经销商设计一种进货方案使销售总利润最大，并求出总利润的最大值．

20．（8分）解不等式组：并写出它的所有整数解．

21．（10分）如图，已知二次函数的图象经过，两点．

求这个二次函数的解析式；设该二次函数的对称轴与轴交于点，连接，，求的面积．

22．（10分）如图，点D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD．判断直线CD和⊙O的位置关系，并说明理由．过点B作⊙O的切线BE交直线CD于点E，若AC=2，⊙O的半径是3，求BE的长．

23．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴，轴分别交于，两点，且点，点在轴正半轴上运动，过点作平行于轴的直线．

（1）求的值和点的坐标；

（2）当时，直线与直线交于点，反比例函数的图象经过点，求反比例函数的解析式；

（3）当时，若直线与直线和（2）反比例函数的图象分别交于点，，当间距离大于等于2时，求的取值范围．

24．（14分）我们来定义一种新运算：对于任意实数 x、y，“※”为 a※b＝（a+1）（b+1）﹣1.

（1）计算（﹣3）※9

（2）嘉琪研究运算“※”之后认为它满足交换律，你认为她的判断      （ 正确、错误）

（3）请你帮助嘉琪完成她对运算“※”是否满足结合律的证明．

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、B

【解析】
根据有理数的加法法则计算即可．

【详解】

解：-5+1=-（5-1）=-1．

故选B．

【点睛】

本题考查了有理数的加法．

2、B

【解析】
依据相反数的概念及性质即可得．

【详解】

因为a、b互为相反数，

所以a+b=1，

故选B．

【点睛】

此题主要考查相反数的概念及性质．相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，1的相反数是1．

3、C

【解析】
关键描述语是：“结果比用原价多买了1瓶”；等量关系为：原价买的瓶数-实际价格买的瓶数=1．

【详解】

原价买可买瓶，经过还价，可买瓶．方程可表示为：﹣=1．

故选C．

【点睛】

考查了由实际问题抽象出分式方程．列方程解应用题的关键步骤在于找相等关系．本题要注意讨价前后商品的单价的变化．

4、C

【解析】
根据等腰三角形的性质和勾股定理解答即可．

【详解】

解：∵点A，D分别对应数轴上的实数﹣2，2，

∴AD＝4，

∵等腰△ABC的底边BC与底边上的高AD相等，

∴BC＝4，

∴CD＝2，

在Rt△ACD中，AC＝，

故选：C．

【点睛】

此题考查等腰三角形的性质，注意等腰三角形的三线合一，熟练运用勾股定理．

5、C

【解析】

①根据图象知道：a＜1，c＞1，∴ac＜1，故①正确；

②∵顶点坐标为(1/2 ，1)，∴x="-b/2a" ="1/2" ，∴a+b=1，故②正确；

③根据图象知道：x=1时，y=a++b+c＞1，故③错误；

④∵顶点坐标为(1/2 ，1)，∴=1，∴4ac-b2=4a，故④正确．

其中正确的是①②④．故选C

6、C

【解析】
根据中位数的定义解答即可．

【详解】

解：在这15个数中，处于中间位置的第8个数是1.1，所以中位数是1.1．
所以这些运动员跳高成绩的中位数是1.1．
故选：C．

【点睛】

本题考查了中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．

7、C

【解析】
科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数．

【详解】

解：由科学记数法可知：250000 m2=2.5×105m2，

故选C．

【点睛】

此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．

8、B

【解析】
解：找到从左面看所得到的图形，从左面可看到从左往右三列小正方形的个数为：2，3，1．

故选B．

9、D

【解析】
直接利用分式的加减运算法则计算得出答案．

【详解】

解：

＝﹣+

＝﹣+

＝

＝，

故小明、小红都不正确．

故选：D．

【点睛】

此题主要考查了分式的加减运算，正确进行通分运算是解题关键．

10、A

【解析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【详解】

解：6 700 000=6.7×106，

故选：A

【点睛】

此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11、

【解析】

∵投掷这个正六面体一次，向上的一面有6种情况，向上一面的数字是2的倍数或3的倍数的有2、3、4、6共4种情况，

∴其概率是=．

【点睛】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．

12、

【解析】
分别利用零指数幂a0=1（a≠0），负指数幂a-p=（a≠0）化简计算即可.

【详解】

解：（π﹣3）0﹣2-1=1-=．

故答案为：.

【点睛】

本题考查了零指数幂和负整数指数幂的运算，掌握运算法则是解题关键．

13、3或

【解析】
以B．E．D为顶点的三角形与△DEF相似分两种情形画图分别求解即可.

【详解】

如图作CM⊥AB

当∠FED=∠EDB时，∵∠B=∠EAF=∠EDF

∴△EDF~△DBE

∴EF∥CB,设EF交AD于点O

∵AO=OD,OE∥BD

∴AE= EB=3

当∠FED=∠DEB时则

∠FED=∠FEA=∠DEB=60°

此时△FED~△DEB,设AE=ED=x,作

DN⊥AB于N，

则EN=,DN=,

∵DN∥CM，

∴

∴

∴x

∴BE=6-x=

故答案为3或

【点睛】

本题考察学生对相似三角形性质定理的掌握和应用，熟练掌握相似三角形性质定理是解答本题的关键，本题计算量比较大，计算能力也很关键.

14、300

【解析】
设成本为x元，标价为y元，根据已知条件可列二元一次方程组即可解出定价.

【详解】

设成本为x元，标价为y元，依题意得，解得

故定价为300元.

【点睛】

此题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是根据题意列出方程再求解.

15、4

【解析】
连接并延长交于G，连接并延长交于H，根据三角形的重心的概念可得，，，，即可求出GH的长，根据对应边成比例，夹角相等可得，根据相似三角形的性质即可得答案．

【详解】

如图，连接并延长交于G，连接并延长交于H，

∵点E、F分别是和的重心，

∴，，，，

∵，

∴，

∵，，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

故答案为：4

【点睛】

本题考查了三角形重心的概念和性质及相似三角形的判定与性质，三角形的重心是三角形中线的交点，三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的2倍．

16、（，）或（﹣，﹣）．

【解析】
分点A、B、C的对应点在第一象限和第三象限两种情况，根据位似变换和正方形的性质解答可得．

【详解】

如图，

①当点A、B、C的对应点在第一象限时，

由位似比为1：2知点A′（0，）、B′（，0）、C′（，），

∴该正方形的中心点的P的坐标为（，）；

②当点A、B、C的对应点在第三象限时，

由位似比为1：2知点A″（0，-）、B″（-，0）、C″（-，-），

∴此时新正方形的中心点Q的坐标为（-，-），

故答案为（，）或（-，-）．

【点睛】

本题主要考查位似变换，解题的关键是熟练掌握位似变换的性质和正方形的性质．

17、

【解析】
根据随机事件概率大小的求法，找准两点：

①符合条件的情况数目；

②全部情况的总数．

二者的比值就是其发生的概率的大小．

【详解】

解：∵在一个不透明的袋子中装有除颜色外其他均相同的3个红球和2个白球，

∴从中任意摸出一个球，则摸出白球的概率是．

故答案为：．

【点睛】

本题考查概率的求法与运用，一般方法为：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=

三、解答题（共7小题，满分69分）

18、（1）；（2）．

【解析】
（1）利用概率公式直接计算即可；

（2）列举出所有情况，看小明和小亮诵读两个不同材料的情况数占总情况数的多少即可．

【详解】

（1）∵诵读材料有《论语》，《三字经》，《弟子规》三种，

∴小明诵读《论语》的概率=,

（2）列表得：

由表格可知，共有9种等可能性结果，其中小明和小亮诵读两个不同材料结果有6种．

所以小明和小亮诵读两个不同材料的概率=．

【点睛】

本题考查了用列表法或画树形图发球随机事件的概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比；得到所求的情况数是解决本题的易错点．

19、（1）100元和150元；（2）购进A种级别的茶叶67kg，购进B种级别的茶叶133kg．销售总利润最大为26650元．

【解析】

试题分析：（1）设每千克A级别茶叶和B级别茶叶的销售利润分别为x元和y元；
（2）设购进A种级别的茶叶akg，购进B种级别的茶叶（200-a）kg．销售总利润为w元．构建一次函数，利用一次函数的性质即可解决问题.

试题解析：解：（1）设每千克A级别茶叶和B级别茶叶的销售利润分别为x元和y元．

由题意，

解得，

答：每千克A级别茶叶和B级别茶叶的销售利润分别为100元和150元．

（2）设购进A种级别的茶叶akg，购进B种级别的茶叶（200﹣a）kg．销售总利润为w元．

由题意w=100a+150（200﹣a）=﹣50a+30000，

∵﹣50＜0，

∴w随x的增大而减小，

∴当a取最小值，w有最大值，

∵200﹣a≤2a，

∴a≥，

∴当a=67时，w最小=﹣50×67+30000=26650（元），

此时200﹣67=133kg，

答：购进A种级别的茶叶67kg，购进B种级别的茶叶133kg．销售总利润最大为26650元．

点睛：本题考查一次函数的应用、二元一次方程组、不等式等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建一次函数或方程解决问题．

20、原不等式组的解集为，它的所有整数解为0，1．

【解析】
先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后写出它的所有整数解即可．

【详解】

解：，

解不等式①，得，

解不等式②，得x＜2，

∴原不等式组的解集为，

它的所有整数解为0，1．

【点睛】

本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法．解一元一次不等式组的简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．

21、见解析

【解析】
（1）二次函数图象经过A（2，0）、B（0，-6）两点，两点代入y=-x2+bx+c，算出b和c，即可得解析式；

（2）先求出对称轴方程，写出C点的坐标，计算出AC，然后由面积公式计算值．

【详解】

（1）把，代入得

，

解得.

∴这个二次函数解析式为.

（2）∵抛物线对称轴为直线，

∴的坐标为，

∴，

∴.

【点睛】

本题是二次函数的综合题，要会求二次函数的对称轴，会运用面积公式．

22、解：（1）直线CD和⊙O的位置关系是相切，理由见解析

（2）BE=1．

【解析】

试题分析：（1）连接OD，可知由直径所对的圆周角是直角可得∠DAB+∠DBA=90°，再由∠CDA=∠CBD可得∠CDA+∠ADO=90°，从而得∠CDO=90°，根据切线的判定即可得出；

（2）由已知利用勾股定理可求得DC的长，根据切线长定理有DE=EB，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可．

试题解析：（1）直线CD和⊙O的位置关系是相切，

理由是：连接OD，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

∴∠DAB+∠DBA=90°，

∵∠CDA=∠CBD，

∴∠DAB+∠CDA=90°，

∵OD=OA，

∴∠DAB=∠ADO，

∴∠CDA+∠ADO=90°，

即OD⊥CE，

∴直线CD是⊙O的切线，

即直线CD和⊙O的位置关系是相切；

（2）∵AC=2，⊙O的半径是3，

∴OC=2+3=5，OD=3，

在Rt△CDO中，由勾股定理得：CD=4，

∵CE切⊙O于D，EB切⊙O于B，

∴DE=EB，∠CBE=90°，

设DE=EB=x，

在Rt△CBE中，由勾股定理得：CE2=BE2+BC2，

则（4+x）2=x2+（5+3）2，

解得：x=1，

即BE=1．

考点：1、切线的判定与性质；2、切线长定理；3、勾股定理；4、圆周角定理

23、（1），；（2）；的取值范围是：．

【解析】
（1）把代入得出的值，进而得出点坐标；

（2）当时，将代入，进而得出的值，求出点坐标得出反比例函数的解析式；

（3）可得，当向下运动但是不超过轴时，符合要求，进而得出的取值范围．

【详解】

解：（1）∵直线： 经过点，

∴，

∴，

∴；

（2）当时，将代入，

得，，

∴代入得，，

∴；

（3）当时，即，而，

如图，，当向下运动但是不超过轴时，符合要求，

∴的取值范围是：．

【点睛】

本题考查了反比例函数与一次函数的交点，当有两个函数的时候，着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强．

24、（1）-21；（2）正确；（3）运算“※”满足结合律

【解析】
（1）根据新定义运算法则即可求出答案．

（2）只需根据整式的运算证明法则a※b=b※a即可判断．

（3）只需根据整式的运算法则证明（a※b）※c=a※（b※c）即可判断．

【详解】

（1）（-3）※9=（-3+1）（9+1）-1=-21

（2）a※b=（a+1）（b+1）-1

b※a=（b+1）（a+1）-1，

∴a※b=b※a，

故满足交换律，故她判断正确；

（3）由已知把原式化简得a※b=（a+1）（b+1）-1=ab+a+b

∵（a※b）※c=（ab+a+b）※c

=（ab+a+b+1）（c+1）-1

=abc+ac+ab+bc+a+b+c

∵a※（b※c）=a（bcv+b+c）+（bc+b+c）+a=abc+ac+ab+bc+a+b+c

∴（a※b）※c=a※（b※c）

∴运算“※”满足结合律

【点睛】

本题考查新定义运算，解题的关键是正确理解新定义运算的法则，本题属于中等题型．