2021-2022学年福建省连城县第一中学高二下学期第一次月考数学试题含答案

福建省连城县第一中学2021-2022学年高二下学期第一次月考

数学试卷

满分150分    考试时间120分钟

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. 函数在区间的单调性为（       ）

A．单调递减                              B．单调递增

C．在单调递增，单调递减      D．在单调递减，单调递增

2.已知直线与曲线在点处的切线互相垂直，则的值为

A. B.        C.-1 D.1               (      )

3. 已知向量分别是直线的方向向量,若,则(　  　)

A.                   B.

C.                   D.

4.若向量,且与的夹角的余弦值为,则实数的值为(　  　)

A.         B.          C.          D.

5.已知函数f（x）＝x2﹣4x+alnx有两个极值点，则实数a的取值范围为（　   　）

A．（﹣∞，2]  B．（0，2]    C．（0，2）    D．（﹣∞，2）

6.已知函数在内不是单调函数，则实数的取值范围是(      )

A.        B.        C.     D.

7.如图，已知空间四边形OABC，其对角线为OB、AC，M、N分别是对边OB、AC的中点，点G在线段MN上，，现用基向量表示向量，设，则的值分别是（     ）

A.       B.

C.      D.

8.已知函数，.若不等式对所有的，都成立，则a的取值范围是（      ）

A．      B．     C.          D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的。

9．已知函数f (x)的定义域为R，且导函数为f ′(x)，如图是函数y＝xf ′(x)的图象，则下列说法正确的有(　      　)

A．函数f (x)的单调递减区间是(－∞，－2)     

B．函数f (x)的单调递增区间是(－2，＋∞)

C．x＝0一定是函数f (x)的零点           

D．x＝－2一定是函数f (x)的极小值点    

10.已知空间三点,则下列说法正确的是(    )

A.   B.    C.   D.

11、已知定义在上的函数的导函数为，且，，则下列判断中正确的是   　　

A．     B． C．   D．

12、关于函数，下列判断正确的是　　

A．是的极大值点   

B．函数有且只有1个零点 

C．存在正实数，使得成立 

D．对任意两个正实数，，且，若，则

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若,且,则实数              .

14.已知函数在处有极大值，则实数的值为             

15.已知函数若函数的图象上存在关于坐标原点对称的点,则实数的取值范围是                  

16．函数，关于的方程恰有四个不同的实数解，则正数的取值范围为__________.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17. (本小题满分10分)

如图,在平行六面体中,底面是边长为2的正方形,侧棱的长度为4,

且.

用向量法求:(1)的长;

(2)直线与所成角的余弦值.

18. (本小题满分12分)

已知函数在时有极值0.

(1)求函数的解析式；

(2)记，若函数有三个零点，求实数的取值范围.

19. (本小题满分12分)

在直三棱柱中，，，，为的中点．

（1）求异面直线与所成角的余弦值；

（2）设与求，，并比较与的大小．

20. (本小题满分12分)

 为提高销量，某厂家拟投入适当的费用，对网上所售产品进行促销.经调查测算，该促销产品的销售量万件与促销费用(，为正常数)万元满足.已知生产该批产品万件需投入成本万元（不含促销费用），产品的销售价格定为元/件，假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求.

(1)将该产品的利润万元表示为促销费用万元的函数；

(2)投入促销费用多少万元时，厂家获得的利润最大？

21.(本小题满分12分)

 已知函数为自然对数的底数）

（1）求的单调区间，若有最值，请求出最值；

（2）是否存在正常数，使的图象有且只有一个公共点，且在该公

共点处有共同的切线？若存在，求出的值，以及公共点坐标和公切线方程；若不存在，请说明理由。

22. (本小题满分12分)   设函数

(1)证明:当时,

(2)若关于的不等式 对任意恒成立,求实数a的取值范围.

高二年级月考一数学参考答案:

1-8:  BCBA  CADB   9.ABD  10.AC  11.CD  12.BD

13.  14.  6  15.     16. 

17.(1)∵,,

∴,-----5分

(2), =,  

设直线与所成角为

∴,

∴直线与所成角的余弦值为.----10分
 

18.解 (1)由可得，

因为在时有极值0，

所以，即，解得或，

当时，，

函数在R上单调递增，不满足在时有极值，故舍去.

所以常数a，b的值分别为.

所以.------6分

(2)由（1）可知，

，

令，解得，

当或时，当时，，

的递增区间是和，单调递减区间为，

当有极大值，

当有极小值，

要使函数有三个零点，则须满足，解得.------12分

19解（1）以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，,，,，，

∴，，

∴

设异面直线与所成角的为，则

故异面直线与所成角的余弦值为；----------6分

（2）由（1）知，，

∵，，，

∴，

∵，，，

∴，

∵，∴，，

又在内单调递减，∴．---------12分

20.解(1)由题意知，，

将代入化简，得()；---------4分

(2)由(1)中知，()，

所以，

若，当时，；当时，，

所以函数在上单调递增，在上单调递减.

所以当时，取极大值，也是最大值，

所以投入促销费用1万元时，厂家获得的利润最大.

若，因为函数在上单调递增，

所以函数在上单调递增，

所以当时，函数有最大值，即投入促销费用万元时，厂家获得的利润最大，

综上，当时，投入促销费用1万元时，厂家获得的利润最大；

当时，投入促销费用万元时，厂家获得的利润最大.-------12分

21.解：（1）

 ①当恒成立

 上是增函数，F只有一个单调递增区间（0，-∞），没有最值

 ②当时，，

 若，则上单调递减；

 若，则上单调递增，

 时，有极小值，也是最小值，

 即

 所以当时，的单调递减区间为

 单调递增区间为，最小值为，无最大值…………6分

   （2）方法一，若与的图象有且只有一个公共点，

 则方程有且只有一解，所以函数有且只有一个零点

 由（1）的结论可知

 此时，  

 的图象的唯一公共点坐标为

 又的图象在点处有共同的切线，

 其方程为，即

 综上所述，存在，使的图象有且只有一个公共点，且在该点处的公切线方程为 -----------12分

 方法二：设图象的公共点坐标为，

 根据题意得即

 由②得，代入①得    从而

 此时由（1）可知 时，

 因此除外，再没有其它，使

    故存在，使的图象有且只有一个公共点，且在该公共点处有共同的切线，易求得公共点坐标为，公切线方程为

22.(1)证明∵f(x)=lnx-,   ∴f'(x)=.

当x>1时,f'(x)>0.   ∴f(x)在(1,+∞)内为增函数, ∴f(x)>f(1)=0,得证.-----------5分

(2)解设h(x)=-a(x-1),x∈(1,+∞),

则h'(x)=-a=,

当a≥1时,1-ax2<0,lnx>0,   ∴h'(x)<0,  ∴h(x)在x∈(1,+∞)为减函数,

∴h(x)<h(1)=0恒成立,即不等式<a(x-1)对任意x∈(1,+∞)恒成立;

当a≤0时,在(1,+∞)内有h(e)=-a(e-1)>0,故不合题意;

当0<a<1时,

∵lnx>1-对任意x∈(1,+∞)恒成立;

∴h(x)=-a(x-1)>-a(x-1)=-a(x-1)=(1-ax2),

∴当x∈时,h(x)≥0,故不合题意.   综上,a≥1.-------12分