福建省德化第一中学2022-2023学年高二上学期第一次月考数学试题（含答案）

2022年秋季德化一中第一次月考高二数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1．设直线的倾斜角为，则（    ）

A．     B．     C．     D．

2．已知点是点在坐标平面内的射影，则（    ）

A．     B．     C．     D．1

3．经过点作圆的弦，使得点平分弦，则弦所在直线的方程为（    ）

A．   B．   C．   D．

4．若方程表示圆，则实数的取值范围为（    ）

A．    B．    C．    D．

5．无论为何值，直线所过定点的坐标为（    ）

A．    B．    C．    D．

6．已知三条直线，，，若，且，则（    ）

A．2     B．4     C．2或1    D．4或1

7．在四棱雉中，平面，，底面是边长为4的菱形，且，是的中点，则与平面所成的角的正切值为（    ）

A．    B．    C．    D．

8．已知点是圆的动点，直线上存在两点，，使得恒成立，则线段长度的最小值是（    ）

A．    B．    C．    D．

二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）

9．已知直线的方程为，则下列向量中，可以作为直线的方向向量的有（    ）

A．   B．   C．   D．

10．已知，，则（    ）

A．当时，       B．当时，

C．若，则一定共面    D．当时，，

11．已知圆上有且仅有两个点到直线的距离为1，则实数的可能取值为（    ）

A．     B．     C．0     D．1

12．“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创辞汇，定义如下：在直角坐标平面上任意两点，的曼哈顿距离为：．在此定义下以下结论正确的是（    ）

A．已知点，，满足

B．已知点，满足的点轨迹围成的图形面积为2

C．已知点，，不存在动点满足方程：

D．已知点在圆上，点在直线上，则的最小值为

三、填空题（本大题共4小题，共20分）

13．已知向量，，且与互相垂直，则________．

14．已知圆与圆相切，则________．

15．已知实数，满足方程，当时，的取值范围为________．

16．已知圆，直线，是上的动点，过作圆的切线，，切点为，，当最小时，直线的方程为________．

三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（本小题10分）

菱形中，，，边所在直线过点．求：

（1）边所在直线的方程；

（2）对角线所在直线的方程．

18．（本小题12分）

已知四面体的所有棱长均为1．求：

（1）；

（2）；

（3）若点是的重心，，求的值．

19．（本小题12分）

如图．在平行四边形中，，，把沿对角线折起，使得平面平面后．

（1）求的长；

（2）求异面直线与所成的角的大小．

20．（本小题12分）

已知以点为圆心的圆与直线相切，直线与圆相交于，两点．

（1）求圆的方程；

（2）当的面积最大时，求直线的方程．

21．（本小题12分）

如图，四棱雉的底面为矩形，，，点在底面上的射影在上，是的中点．

（1）证明：平面

（2）若，且与面所成的角的正弦值为，求二面角的余弦值．

22．（本小题12分）

平面直角坐标系中，已知点，圆与轴的正半轴的交于点．

（1）过点作圆的切线，求直线的方程；

（2）过点作直线与圆交于不同的两点，．

①设线段的中点为，求点纵坐标的最小值；

②设直线，的斜率分别是，，问：是否为定值，若是，则求出定值，若不是，请说明理由．

2022年秋季德化一中第一次月考高二数学试卷答案

三、填空题（本大题共4小题，共20分）

13．1    14．1或3    15．    16．．

一、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（本小题10分）

【答案】（1），

，

直线方程为，即

（2）

菱形对角线互相垂直，，

而中点，也是的中点，-

直线的方程为，即．

18．（本小题12分）

【答案】由题意知四面体是正四面体，且棱长为1，

则可取为一组基底，且，，，两两的夹角为，

（1）；

（2）

；

（3）由题意可知为中点，点是的重心，

则为的三等分点，可得，

，所以．

19．（本小题12分）

【答案】（1）在平行四边形中，，，

把沿对角线折起，使得平面平面．

平面平面，，平面

平面

平面，

，，

（2）过作且，连接，

四边形为平行四边形，为异面直线与所成的角

平面，平面，

，

是正三角形

20．（本小题12分）

【答案】（1）由题意知到直线的距离为圆的半径，

，

圆方程为．

（2）直线过定点且点在圆内，

令点到直线的距离为，则

当且仅当时，取到最大值．此时

，，直线

21．（本小题12分）

【答案】（1）在矩形中，，且是的中点，

，，

，，即，

由点在底面上的射影在上可知，面面，

又面面，面，

面．

（2）令与交于点，连接，

四边形为矩形，是中点，

，，

面面，面面，面，面．

取中点，连接，，因为底面为矩形，所以．以为原点建立如图所示的空间直角标系：

设，，，，，

，

设面的法向量为，，，

由，

令，则，，面的法向量为，

由与面所成的角的正弦值为，，

设平面的法向量为，，，

由，令，则，得，

设平面的法向量为，，，

由，令，则，，得，

，

因为二面角是钝角，二面角的余弦值为

22．（本小题12分）

【答案】（1）圆的圆心为，半径为2，

若过点的直线垂直于轴，则直线的方程为，此时直线与圆相切，符合题意；

若过点的直线不垂直于轴，设直线的斜率为，

则直线的方程为，即，

所以圆心到直线的距离，解得，

所以直线的方程为，

综上：直线的方程为和．

（2）法一：①设点，

因为为弦中点，所以，

又因为，，所以由，得，

所以，化简得，

联立，得或，

所以点的轨迹是圆中以点和为端点的一段劣弧（不包括端点），

由，得，

令，得，

根据点在内部，所以点纵坐标的最小值是

②由题意，可设直线的方程为，

点，联立，得，

设，，则，

所以

，

所以是定值，定值为．

法二：设直线的方程为，

点，联立，得，

设，，则，

①设点，则

令，则，

要是点纵坐标取最小，则，．

当且仅当，时，等号成立．

所以点纵坐标的最小值是．

②

，

所以是定值，定值为．