2022秦皇岛高一上学期期末考试数学试题含解析

秦皇岛市高一2021~2022年期末统一考试

数学

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册第一章至第五章5.3.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合，，则（）

A.  B.  C.  D.

【1题答案】

【答案】A

【解析】

【分析】直接利用并集的定义求解.

【详解】解：因为集合，，

所以.

故选：A

2. 命题“，是4的倍数”的否定为（）

A. ，是4的倍数 B. ，不是4的倍数

C. ，不是4的倍数 D. ，不是4的倍数

【2题答案】

【答案】B

【解析】

【分析】根据特称量词命题的否定是全称量词命题即可求解．

【详解】因为特称量词命题的否定是全称量词命题，

所以命题“，是4的倍数”的否定为“，不是4的倍数”．

故选：B

3. 已知函数的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应函数值表：

在以下区间中，一定有零点的是（）

A. （1，2） B. （2，4） C. （4，5） D. （5，6）

【3题答案】

【答案】C

【解析】

【分析】由表格数据，结合零点存在定理判断零点所在区间.

【详解】∵

∴ ，，，,

又函数的图象是一条连续不断的曲线，

由函数零点存在定理可得在区间上一定有零点．

故选：C.

4. 如图所示的时钟显示的时刻为，此时时针与分针的夹角为．若一个半径为的扇形的圆心角为，则该扇形的面积为（）

A.  B.  C.  D.

【4题答案】

【答案】C

【解析】

【分析】求出的值，利用扇形的面积公式可求得扇形的面积.

【详解】由图可知，，所以该扇形的面积．

故选：C.

5. “是钝角”是“是第二象限角”的（）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【5题答案】

【答案】A

【解析】

【分析】根据钝角和第二象限角的定义，结合充分性、必要性的定义进行判断即可.

【详解】因为是钝角，所以，因此是第二象限角，

当是第二象限角时，例如是第二象限角，但是显然不成立，

所以“是钝角”是“是第二象限角”的充分不必要条件，

故选：A

6. 已知函数在上具有单调性，则k的取值范围是（）

A.  B.

C.  D.

【6题答案】

【答案】C

【解析】

【分析】由函数，求得对称轴的方程为，结合题意，得到或，即可求解.

【详解】由题意，函数，可得对称轴的方程为，

要使得函数在上具有单调性，

所以或，解得或．

故选：C.

7. 尽管目前人类还无法精准预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系式为．年月日，日本东北部海域发生里氏级地震，它所释放出来的能量是年月日我国四川九寨沟县发生里氏级地震的（）

A. 倍 B. 倍 C. 倍 D. 倍

【7题答案】

【答案】C

【解析】

【分析】设里氏级和级地震释放出的能量分别为和,可得出，利用对数的运算性质可求得的值，即可得解.

【详解】设里氏级和级地震释放出的能量分别为和,

由已知可得，

则，故．

故选：C.

8. 已知偶函数的定义域为，当时，，若，则的解集为（）

A.  B.  C.  D.

【8题答案】

【答案】D

【解析】

【分析】先由条件求出参数，得到在上的单调性，结合和函数为偶函数进行求解即可.

【详解】因为为偶函数，所以，解得.

在上单调递减，且.

因为，所以，解得或.

故选：D

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.

9. 已知点是角终边上一点，则（）

A.  B.  C.  D.

【9题答案】

【答案】AC

【解析】

【分析】根据给定条件，利用三角函数定义求出的正余弦及正切值即可计算判断作答.

【详解】因点是角终边上一点，则，

于是得，A正确；

，当时，，当时，，B不正确；

又，则，C正确，D不正确.

故选：AC

10. 已知，则（）

A.  B.  C.  D. 的取值范围是

【10题答案】

【答案】BC

【解析】

【分析】根据不等式的性质与基本不等式依次判断各选项即可.

【详解】解：对于A选项，当时，不成立，A错误.

对于B选项，因为，所以，，故BC正确；

对于D选项，当，时，，当且仅当时，等号成立，而，所以的取值范围是，故D错误.

故选：BC

11. 函数的图象是折线段，如图所示，其中点，，的坐标分别为，，，以下说法正确的是（）

A.  B. 的定义域为

C. 为偶函数 D. 满足的的取值集合为

【11题答案】

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据图像以及题意即可求得的解析式，判断A是否正确；根据函数图象特点以及定义域即可判断B是否正确；根据函数图象特点以及与之间的关系即可判断C是否正确；令，若，即，由图像可知，或，即若，则或，结合图象求出结果，即可判断D是否正确.

【详解】由图像可知，，故A正确.

由于的图象，是将的图象向右平移1个单位得到，

又的定义域为，所以的定义域为，故B错误.

是将的图象向左平移1个单位长度得到，

由图像可知，图象关于轴对称，所以为偶函数，故C正确.

令，若，即，由图像可知，或，即若，则或，

当时，，当时或，

故的取值集合为，所以D正确.

故选：ACD.

12. 已知函数函数有四个不同的零点，，，，且，则（）

A. 的取值范围是 B. 的取值范围是

C.  D.

【12题答案】

【答案】AC

【解析】

【分析】结合的图象，由图可知，，，由二次函数的对称性，可得，可得答案.

【详解】有四个不同的零点，，，，即方程有四个不同的解．

的图象如图所示，由图可知，，，所以，

即的取值范围是，

由二次函数的对称性，可得．因为，所以，故．

故选：AC.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.

13. 写出一个能说明“若函数为奇函数，则”是假命题的函数：_________.

【13题答案】

【答案】（答案不唯一）

【解析】

【分析】由题意，只需找一个奇函数，0不在定义域中即可.

【详解】由题意，为奇函数且，则满足题意

故答案为：

14. 若，则__________．

【14题答案】

【答案】

【解析】

【分析】

先求出的值,然后再运用对数的运算法则求解出和的值,最后求解答案.

【详解】若,则,所以.

故答案为:

【点睛】本题考查了对数的运算法则,熟练掌握对数的各运算法则是解题关键,并能灵活运用法则来解题,并且要计算正确,本题较为基础.

15. 已知函数的图象过原点，且无限接近直线，但又不与该直线相交，则______．

【15题答案】

【答案】##0.75

【解析】

【分析】根据条件求出，，再代入即可求解.

【详解】因为的图象过原点，所以，即．又因为的图象无限接近直线，但又不与该直线相交，所以，，

所以，

所以．

故答案为：

16. 已知正数a，b满足，则的最小值为______．

【16题答案】

【答案】##

【解析】

【分析】右边化简可得，利用基本不等式，计算化简即可求得结果.

【详解】，

故,则，当且仅当时，等号成立．

故答案为：

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知集合，，．

（1）求；

（2）若，求m的取值范围．

【17~18题答案】

【答案】（1）

（2）

【解析】

【分析】（1）先求得集合A，再由集合的补集运算和交集运算可求得答案；

（2）根据条件建立不等式组，可求得所求的范围.

【小问1详解】

因为，，

所以，．

【小问2详解】

因为，所以

解得．故m的取值范围是．

18. 已知函数.

（1）判断在区间上的单调性，并用定义证明；

（2）判断的奇偶性，并求在区间上的值域.

【18~19题答案】

【答案】（1）函数在区间上单调递增，证明见解析

（2）函数为奇函数，在区间上的值域为

【解析】

【分析】（1）利用定义法证明函数单调性；（2）先得到定义域关于原点对称，结合得到函数为奇函数，利用第一问的单调性求出在区间上的值域.

【小问1详解】

在区间上单调递增，证明如下：

，，且，

有.

因为，，且，所以，.

于是，即.

故在区间上单调递增.

【小问2详解】

的定义域为.

因为，所以为奇函数.

由（1）得在区间上单调递增，

结合奇偶性可得在区间上单调递增.

又因为，，所以在区间上的值域为.

19. （1）已知，求的值；

（2）已知，且为锐角，求的值.

【19题答案】

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】（1）利用诱导公式先化简，再进行弦化切代入求值；

（2）利用诱导公式和同角三角函数基本关系式即可求解.

【详解】（1）因为，所以，

则，故.

（2）因为为锐角，所以.

又因为，所以为钝角，

则.

故.

20. 已知函数，．

（1）求函数的定义域；

（2）试讨论关于x的不等式的解集．

【20~21题答案】

【答案】（1）

（2）答案见解析

【解析】

【分析】（1）解不等式得出定义域；

（2）利用对数函数的单调性解不等式得出解集.

【小问1详解】

由题意可得解得．故函数的定义域为．

【小问2详解】

当时，函数是增函数．

因为，所以解得．当时，函数是减函数．

因为，所以解得．

综上，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为．

21. 已知函数．

（1）若是偶函数，求a值；

（2）若对任意，不等式恒成立，求a的取值范围．

【21~22题答案】

【答案】（1）0（2）

【解析】

【分析】（1）由偶函数的定义得出a的值；

（2）由分离参数得，利用换元法得出的最小值，即可得出a的取值范围．

【小问1详解】

因为是偶函数，所以，

即，故．

【小问2详解】

由题意知在上恒成立，

则，又因为，所以，

则．令，则，

可得，

又因为，当且仅当时，等号成立，所以，即a的取值范围是．

22. 已知函数，．

（1）若的值域为，求a的值．

（2）证明：对任意，总存在，使得成立．

【22~23题答案】

【答案】（1）2（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）由题意，可得，从而即可求解；

（2）利用对勾函数单调性求出在上的值域，再分三种情况讨论二次函数在闭区间上的值域，然后证明的值域是值域的子集恒成立即可得证.

【小问1详解】

解：因为的值域为，所以，解得．

【小问2详解】

证明：由题意，根据对勾函数的单调性可得在上单调递增，所以．

设在上的值域为M，

当，即时，在上单调递增，因为，，所以；

当，即时，在上单调递减，因为，，所以；

当，即时，，，所以；

综上，恒成立，即在上的值域是在上值域的子集恒成立，

所以对任意总存，使得成立.