2021-2022学年山东省德州市高一上学期期末考试数学试卷含答案
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山东省德州市2021-2022学年高一上学期期末考试
数学试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1—2页，第Ⅱ卷3—4页，共150分，测试时间120分钟．
注意事项：
选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在测试卷上．
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合，则集合（ ）
A． B． C． D．
2．已知，则a、b、c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
3．满足的角的集合为（ ）
A．
B．
C． D．
4．函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
5．下列结论正确的是（ ）
A．不相等的角终边一定不相同 B．，则
C．函数的定义域是 D．对任意的，都有
6．已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上一点，则（ ）
A． B． C． D．
7．天文学中为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯（Hipparchus，又名依巴谷）在公元前二世纪首先提出了“星等”这个概念．星等的数值越小，星星就越亮：星等的数值越大，它的光就越暗．到了1850年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学家普森（M．R．Pogson）又提出了衡量天体明暗程度的“亮度”的概念．天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足）．其中星等为的星星的亮度为．已知“心宿二”的星等是1.00．“天津四”的星等是1.25．“心宿二”的亮度是“天津四”的r倍，则与r最接近的是（当较小时，）（ ）
A．1.24 B．1.25 C．1.26 D．1.27
8．已知函数在上单调递减，且关于x的方程恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，每小题有两项或以上符合题意，部分选对得2分，错选不得分．）
9．已知，且为锐角，则下列选项中正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．已知定义域为I的偶函数在上单调递增，且，使，则下列函数中符合上述条件的是（ ）
A． B． C． D．
11．已知，则可能等于（ ）
A． B． C． D．
12．如图，某池塘里浮萍的面积y（单位：）与时间t（单位：月）的关系为，下列说法正确的是（ ）
A．浮萍每月的增长率均相等 B．第5个月时，浮萍面积就会超过
C．浮萍从蔓延到需经过1.5个月
D．若浮萍蔓延到所经过的时间分别是，则
第Ⅱ卷（共90分）
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13．终边上一点坐标为，的终边逆时针旋转与的终边重合，则__________．
14．第24届冬季奥林匹克运动会简称“北京一张家口冬奥会”，将于2022.2.4~2022.2.20在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行．某公司为迎接冬奥会的到来，设计了一款扇形的纪念品，扇形圆心角为2，弧长为，则扇形的面积为___________．
15．已知且，且，函数的图像过定点A，A在函数的图像上，且函数的反函数过点，则__________．
16．设函数，则当时，的最小值为_________；若恰有两个零点，则实数a所在的区间是__________．（第一空2分，第二空3分）
四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答过程必修有必要的文字说明，公式和解题过程．）
17．（本小题满分10分）已知角的终边上一点P的坐标是，其中，求的值．
18．（本小题满分12分）已知函数．
（1）化简；
（2）若，求下列表达式的值：①；②．
19．（本小题满分12分）已知函数（k为常数）是定义在上的奇函数．
（1）求函数的解析式；
（2）判断函数的单调性，并用定义证明；
（3）若函数满足，求实数x的取值范围．
20．（本小题满分12分）已知函数．
（1）求函数的值域；
（2）若存在实数k，使得在上有解，求实数k的取值范围．
21．（本小题满分12分）2021年新冠肺炎疫情仍在世界好多国家肆虐，并且出现了传染性更强的“德尔塔”、“拉姆达”、“奥密克戎”变异毒株，尽管我国抗疫取得了很大的成绩，疫情也得到了很好的遏制，但由于整个国际环境的影响，时而也会出现一些散发病例，故而抗疫形势依然艰巨，日常防护依然不能有丝毫放松．某科研机构对某变异毒株在一特定环境下进行观测，每隔单位时间T进行一次记录，用x表示经过单位时间的个数，用y表示此变异毒株的数量，单位为万个，得到如下观测数据：
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | … | |
y（万个） | … | 10 | … | 50 | … | 250 | … |
若该变异毒株的数量y（单位：万个）与经过个单位时间T的关系有两个函数模型与可供选择．
（参考数据：）
（1）判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；
（2）求至少经过多少个单位时间该病毒的数量不少于1亿个．
22．（本小题满分12分）
已知函数是偶函数．
（1）求实数k的值；
（2）当时，函数存在零点，求实数a的取值范围；
（3）设函数（且），若函数与的图像只有一个公共点，求实数m的取值范围．
高一数学试题参考答案
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．B 2．D 3．D 4．A 5．B 6．A 7．C 8．C
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）
9．ABD 10．AC 11．BD 12．BD
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13． 14．36 15．8 16．，（第一空2分，第二空3分）
四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．解：令，
则 1分
2分
①当时， 3分
4分
5分
6分
②当时， 7分
8分
9分
10分
18．解：（1） 2分
3分
（2）由，得 4分
① 6分
7分
② 9分
11分
12分
19．解：（1）因为是定义在上的奇函数，所以
即； 1分
解得 3分
所以 4分
（2）函数是上的减函数 5分
在上任取，设，
6分
7分
因为，所以，则，
所以
即
所以在上单调递减 8分
（3）因为是定义在上的奇函数
所以可化为 10分
又在上单调递减
所以 11分
解得 12分
20．解：（1）函数， 1分
因为，
所以当时，． 2分
当时，． 3分
即． 4分
当时，；当时，．
综上：值域为． 5分
（2）可以化为
即： 6分
令，所以，
所以 7分
所以在上有解
即在上有解 8分
令
则 9分
而 10分
当且仅当，即时取等号 11分
所以 12分
21．解：（1）若选，将和代入得
，解得
得 2分
将代入，不符合题意 3分
若选，将和代入得
，解得
得 5分
将代入得，符合题意 6分
综上：所以选择函数更合适，解析式为 7分
（2）设至少需要x个单位时间
则 8分
即
两边取对数：
10分
因为，所以x的最小值为11 11分
至少经过11个单位时间不少于1亿个 12分
22．解：（1）因为是上的偶函数，
所以，即
解得， 2分
经检验：当时，满足题意． …3分
（2）因为，所以
因为时，存在零点，
即关于x的方程有解， 4分
令，则 5分
因为，所以，所以， 6分
所以，实数a的取值范围是． 7分
（3）因为函数与的图像只有一个公共点，
所以关于x的方程有且只有一个解，
所以 8分
令，得…（*），
记， 9分
①当时，函数图像开口向上，又因为图像恒过点，方程（*）有一正一负两实根，所以符合题意； 10分
②当时，因为，所以只需，
解得，
方程（*）有两个相等的正实根，所以满足题意． 11分
综上m的取值范围是． 12分
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