期中综合检测02-2021-2022学年八年级数学下学期期中专项复习（人教版）

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期中综合检测02
姓名：___________考号：___________分数：___________

（考试时间：100分钟 满分：120分）

一、 选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列计算正确的是（ ）
A．； B．； C．； D．．
【答案】B
【解析】
分析：分别根据次根式的加减运算法则以及合并同类项的法则、幂的乘方与积的乘方法则及同底数幂的除法法则对各选项进行逐一判断即可．
解析：A.与不是同类项，不能合并，故本选项错误；
B.，故本选项正确；
C.，故本选项错误；
D.，故本选项错误.
故选：B.
点睛：此题考查了二次根式的加减运算以及合并同类项、积的乘方运算和同底数幂的除法法则运算等知识，正确掌握运算法则是解题的关键.
2．化简的结果为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【分析】
先根据平方根被开方数的非负性求出的取值范围，再根据绝对值的性质化简.
【解析】
解：由题意得，
；
故

.
故选：D.
【点睛】
本题考查了平方根被开方数的非负性以及绝对值的性质，理解掌握相关性质是解答关键.
3．若(x+y)2=9，(x-y)2=5，则xy的值为（ ）
A．-1 B．1 C．-4 D．4
【答案】B
【解析】
试题分析：根据完全平方公式，两数和（或差）的平方，等于两数的平方和，加减两数积的2倍，分别化简可知（x+y）2=x2+2xy+y2=9①，（x﹣y）2= x2-2xy+y2=5②，①-②可得4xy=4，解得xy=1.
故选B
点睛：此题主要考查了完全平方公式的应用，解题关键是抓住公式的特点：两数和（或差）的平方，等于两数的平方和，加减两数积的2倍，然后比较各式的特点，直接进行计算，再两式相减即可求解..
4．下列判断错误的是（ ）
A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B．四个内角都相等的四边形是矩形
C．四条边都相等的四边形是菱形
D．两条对角线垂直且平分的四边形是正方形
【答案】D
【分析】
分别利用平行四边形、矩形、菱形和正方形的判定定理，对选项逐一分析即可做出判断．
【解析】
解：A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，符合平行四边形的判定，故本选项正确，不符合题意；
B、∵四边形的内角和为360°，四边形的四个内角都相等，
∴四边形的每个内角都等于90°，则这个四边形有三个角是90°，
∴这个四边形是矩形，故四个内角都相等的四边形是矩形，本选项正确，不符合题意；
C、四条边都相等的四边形是菱形，符合菱形的判定，，故本选项正确，不符合题意；
D、两条对角线垂直且平分的四边形是菱形，不一定是正方形，故本选项错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查了平行四边形、矩形、菱形和正方形的判定定理，解题的关键是正确理解并掌握判定定理．
5．如图，在正方形中，，点在边上，，把绕点顺时针旋转，得到，连接，则线段的长为（　　）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据正方形的性质可知,然后由旋转的性质可知，进而可求出的长度，再利用勾股定理即可求出线段的长．
【解析】
∵四边形ABCD是正方形，
∴．
∵把绕点顺时针旋转，得到，
∴，
，
．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查正方形的性质，旋转的性质和勾股定理，掌握正方形的性质，旋转的性质和勾股定理是解题的关键．
6．二次根式有意义，则应满足的条件是（     ）
A．                B．         C． D．
【答案】B
【解析】
∵二次根式有意义，
∴，解得：.
故选B.
7．如图，将长为8cm，宽4cm的矩形纸片ABCD折叠，使点A与C重合，则折痕EF的长为（　　）

A．8cm B．4cm C．5cm D．2cm
【答案】D
【分析】
如图，首先证明四边形AECF为菱形，运用勾股定理分别求出CE，AC的长度，运用菱形的面积公式，即可解决问题．
【解析】
解：如图，连接AF，AC，

∵将长为8cm，宽4cm的矩形纸片ABCD折叠，
∴EF⊥AC，OA＝OC，AE＝CE，AF＝CF，
∵四边形ABCD为矩形，
∴FC∥AE，∠OAE＝∠OCF；
在△AOE与△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE＝CF，
∴四边形AECF为平行四边形，
∵AE＝CE，
∴四边形AECF是菱形，
∵CE2＝BE2+BC2，
∴CE2＝（8﹣CE）2+16，
∴CE＝5cm，
∵AB＝8cm，BC＝4cm，
∴AC＝＝＝4，
∵S菱形AECF＝5×4＝×4×EF，
∴EF＝2cm，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了翻折变换的性质，平行四边形的判定，勾股定理等几何知识点及其应用问题；牢固掌握翻折变换的性质等几何知识点是解题的基础和关键．
8．如图，有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一个芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B′．则这根芦苇的长度是（　　）

A．10尺 B．11尺 C．12尺 D．13尺
【答案】D
【分析】
我们可以将其转化为数学几何图形，可知边长为10尺的正方形，则B'C＝5尺，设出AB＝AB'＝x尺，表示出水深AC，根据勾股定理列出方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长.
【解析】
解：设芦苇长AB＝AB′＝x尺，则水深AC＝（x﹣1）尺，
因为边长为10尺的正方形，所以B'C＝5尺
在Rt△AB'C中，52+（x﹣1）2＝x2，
解之得x＝13，
即芦苇长13尺．
故选D．
【点睛】
此题主要考查了勾股定理的应用，熟练运用数形结合的解题思想是解题关键.
9．如图，在中，，则为（ ）度．

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据三角形外角性质可知∠AED=∠C+∠EDC，∠ADC=∠B+∠BAD，根据∠B=∠C，∠ADE=∠AED，∠EDC=20°即可求出∠BAD的度数．
【解析】
∵∠AED、∠ADC分别是△DEC和△ABD的外角，
∴∠AED=∠C+∠EDC，∠ADC=∠B+∠BAD，
∵∠ADE=∠AED，∠B=∠C，∠EDC=20°，∠ADC=∠ADE+∠EDC，
∴∠B+∠BAD=∠B+∠EDC+∠EDC，
∴∠BAD=2∠EDC=40°，
故选：D．
【点睛】
本题考查三角形外角性质，三角形的一个外角，等于和它不相邻的两个内角的和；熟练掌握外角性质是解题关键．
10．如图，将矩形纸片ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙，无重叠的四边形EFGH，设AB＝a，BC＝b，若AH＝1，则（　　）

A．a2＝4b﹣4 B．a2＝4b+4 C．a＝2b﹣1 D．a＝2b+1
【答案】A
【分析】
利用三个角是直角的四边形是矩形易证四边形EFGH为矩形，根据矩形的性质得到EH=FG，∠A=∠B=∠D=∠C=90°，根据余角的性质得到∠AEH=∠CGF，根据全等三角形的性质得到CF=AH=1，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解析】
解：∵∠HEJ=∠AEH，∠BEF=∠FEJ，
∴∠HEF=∠HEJ+∠FEJ=×180°=90°，
同理可得：∠EHG=∠HGF=∠EFG=90°，
∴四边形EFGH为矩形，
∴EH=FG，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=∠D=∠C=90°，
∴∠AEH+∠AHE=∠AHE+∠DHG=∠DHG+∠DGH=∠DGH+∠CGF=90°，
∴∠AEH=∠CGF，
∴△AEH≌△CGF（AAS），
∴CF=AH=1，
∴△AEH∽△BFE，
∴＝，
由折叠的性质的，AE=EJ=BE=AB=a，
∴=，
∴a2=4b-4，
故选A．
【点睛】
本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
11．如图，在△ABC中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D是BC的中点，直线l经过点D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分别为E，F，则AE+BF的最大值为（　　）

A． B．2 C．2 D．3
【答案】A
【分析】
把要求的最大值的两条线段经过平移后形成一条线段，然后再根据垂线段最短来进行计算即可．
【解析】
解：如图，过点C作CK⊥l于点K，过点A作AH⊥BC于点H，

在Rt△AHB中，
∵∠ABC＝60°，AB＝2，
∴BH＝1，AH＝，
在Rt△AHC中，∠ACB＝45°，
∴AC＝，
∵点D为BC中点，
∴BD＝CD，
在△BFD与△CKD中，
，
∴△BFD≌△CKD（AAS），
∴BF＝CK，
延长AE，过点C作CN⊥AE于点N，
可得AE+BF＝AE+CK＝AE+EN＝AN，
在Rt△ACN中，AN＜AC，
当直线l⊥AC时，最大值为，
综上所述，AE+BF的最大值为．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定定理和性质定理及平移的性质，构建全等三角形是解答此题的关键．
12．如图，正方形ABCD中，E、F是对角线AC上两点，连接BE、BF、DE、DF，则添加下列条件①∠ABE＝∠CBF；②AE＝CF；③AB＝AF；④BE＝BF．可以判定四边形BEDF是菱形的条件有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】
根据正方形的四条边都相等，对角线互相垂直平分且每一条对角线平分一组对角的性质，再加上各选项的条件，对各选项分析判断后即可得出正确选项的个数
【解析】
解：如图，连接BD，交AC于点O，

在正方形ABCD中，AB=BC，∠BAC=∠ACB，AC⊥BD，AO=CO，BO=DO，
①在△ABE与△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（ASA），
∴BE=BF，
∵AC⊥BD，
∴OE=OF，
所以四边形BEDF是菱形，故①选项正确；
②在正方形ABCD中，AC=BD，
∴OA=OB=OC=OD，
∵AE=CF，
∴OE=OF，又EF⊥BD，BO=OD，
∴四边形BEDF是菱形，故②选项正确；
③AB=AF，不能推出四边形BEDF其它边的关系，故不能判定是菱形，本选项错误；
④BE=BF，同①的后半部分证明，故④选项正确．
所以①②④共3个可以判定四边形BEDF是菱形．
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．若a＋﹣b＝0且ab≠0，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】
求出a、b同号，分为两种情况：当a＞0时，当b＞0时，，求出方程的解即可；当a＜0时，b＜0时 ， ,求出方程的解即可.
【解析】
因为ab≥0，ab≠0，
所以ab＞0.
所以a、b同号.
当a＞0，b＞0时，＝0，
即＝0，
解这个方程得，，
因为，
所以，
所以＝；
当a＜0，b＜0时，＝0，
即＝0，
解这个方程得，，
因为，
所以，
所以＝.
综上，＝.
【点睛】
本题考查分式的值及二次根式的加减法，熟练掌握运算法则是解题关键.
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC与BC相交于点D，若BD=2，CD=1，则AC的长是_______．

【答案】
【解析】
【分析】
作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质得到DE=DC，根据勾股定理求出BE，再根据勾股定理计算即可．
【解析】
解：作DE⊥AB于E，

∵AD是∠BAC的平分线，∠ACB=90°，DE⊥AB，
∴DE=DC=1，
在Rt△ACD和Rt△AED中，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC=AE，
由勾股定理得，
设AC=AE=x，
由勾股定理得x2+32=（x+）2，
解得x=．
∴AC=．
故答案为：．
【点睛】
本题考查的是勾股定理以及角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
15．式子有意义的条件是__________．
【答案】且
【分析】
式子有意义，则x-2≥0，x-3≠0，解出x的范围即可.
【解析】
式子有意义，则x-2≥0，x-3≠0，解得：，，故答案为且.
【点睛】
此题考查二次根式及分式有意义，熟练掌握二次根式的被开方数大于等于0，分式的分母不为0，及解不等式是解决本题的关键.
16．在Rt△ABC中，∠C=90°，若a:b=3:4，c=20，则a=_____，b=_______.
【答案】 12 16
【解析】设a=3x，b=4x，根据勾股定理可得c=5x．又c=20，即5x=20，所以x=4，因此a=3x=12，b=4x=16．
17．如图，6×6正方形网格（每个小正方形的边长为1）中，网格线的交点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，D是BC的中点．则AC=__________；AD=__________．

【答案】2，
【分析】
根据勾股定理计算即可．
【解析】
由题意得,BD=CD=，
由勾股定理得,AC==2，
AD==.
故答案为2; .
【点睛】
本题考查了勾股定理，解题的关键是熟练的掌握勾股定理的运算法则.
18．如图，E为▱ABCD内任一点，且▱ABCD的面积为6，则图中阴影部分的面积为_____．

【答案】3
【分析】
根据三角形面积公式可知，图中阴影部分面积等于平行四边形面积的一半．所以S阴影＝S四边形ABCD．
【解析】
解：设两个阴影部分三角形的底为AB，CD，高分别为h1，h2，则h1+h2为平行四边形的高，
∴S△EAB+S△ECD＝AB•h1+CD•h2＝AB（h1+h2）
＝S四边形ABCD＝×6＝3．
故答案为：3．
三、解答题（本大题共6小题，共66分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．(1) ； 　(2) ．
【答案】(1)；(2 )
【解析】
【分析】
（1）先把二次根式化简，然后再合并类二次根式
（2）先运用完全平方公式和平方差公式计算，再进行二次根式的加减法即可.
【解析】
解：（1）原式=4-+
=4
（2）原式=3-2+2-4+5
=6-2
故答案为(1)；(2 )
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了完全平方公式和平方差公式.
20．已知满足．
（1）有意义，的取值范围是 ；则在这个条件下将去掉绝对值符号可得
（2）根据（1）的分析，求的值．
【答案】（1）；；（2）2020
【分析】
（1）根据二次根式有意义的条件，即可求出a的取值范围；根据a的取值范围，结合绝对值的意义，即可进行化简.
（2）根据（1）的分析进行化简，求出，然后求出答案即可.
【解析】
解：（1）∵有意义，
∴，
∴；
∴，
∴；
故答案为：；；
（2）由（1）可知，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴.
【点睛】
本题考查了二次根式的性质，二次根式有意义的条件，绝对值的意义，化简绝对值，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质和绝对值的意义进行解题.
21．如图，在△ABC中，AB＞AC，点D在边AC上．
（1）作∠ADE，使∠ADE＝∠ACB，DE交AB于点E；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）若BC＝5，点D是AC的中点，求DE的长．

【答案】（1）作图见解析；（2）
【分析】
（1）根据作一个角等于已知角的步骤解答即可；
（2）由作法可得DE∥BC，又因为D是AC的中点，可证DE为△ABC的中位线，从而运用三角形中位线的性质求解．
【解析】
解：（1）如图，∠ADE为所作；

（2）∵∠ADE=∠ACB，
∴DE∥BC，
∵点D是AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE=BC=．
22．已知：如图，

（1）求证:；
（2）求证：；
（3）若，求的度数.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）
【分析】
（1）根据可得；
（2）根据可得，根据，有，则
（3）根据可得，根据，有，
【解析】
证明：（1）
∵
∴
（2）
∵
∴
∵
∴
∴
（3）∵
∴
∵
∴
【点睛】
本题考查的是平行线的性质和证明，熟悉相关性质是解题的关键．
23．已知：在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝12，四边形EFGH的三个顶点E、F、H分别在矩形ABCD边AB、BC、DA上，AE＝2．

（1）如图①，当四边形EFGH为正方形时，求△GFC的面积；
（2）如图②，当四边形EFGH为菱形，且BF＝a时，求△GFC的面积（用a表示）；
（3）在（2）的条件下，△GFC的面积能否等于2？请说明理由．
【答案】（1）10；（2）12－a；（3）不能，理由见解析.
【分析】
（1）过点G作GM⊥BC于M，可以证明△MFG≌△BEF，就可以求出GM的长，进而就可以求出FC，求出面积．
（2）证明△AHE≌△MFG．得到GM的长，根据三角形的面积公式就可以求出面积．
（3）△GFC的面积不能等于2，根据面积就可以求出a的值，在△BEF中根据勾股定理就可以得到EF，进而在直角△AHE中求出AH．
【解析】
解：（1）如图1，过点G作GM⊥BC于M．在正方形EFGH中，
∠HEF＝90°，EH＝EF，
∴∠AEH＋∠BEF＝90°．
∵∠AEH＋∠AHE＝90°，
∴∠AHE＝∠BEF．
又∵∠A＝∠B＝90°，
∴△AHE≌△BEF．
同理可证△MFG≌△BEF．
∴GM＝BF＝AE＝2．
∴FC＝BC－BF＝10．
∴．
（2）如图2，过点G作GM⊥BC交BC的延长线于M，连接HF．
∵AD∥BC，
∴∠AHF＝∠MFH．
∵EH∥FG，
∴∠EHF＝∠GFH．
∴∠AHE＝∠MFG．
又∵∠A＝∠GMF＝90°，EH＝GF，
∴△AHE≌△MFG．
∴GM＝AE＝2．
∴．
（3）△GFC的面积不能等于2．
解法一：∵若S△GFC＝2，则12－a＝2，∴a＝10．
此时，在△BEF中，
．
在△AHE中，
，
∴AH＞AD，即点H已经不在边AD上，故不可能有S△GFC＝2．
解法二：△GFC的面积不能等于2．
∵点H在AD上，
∴菱形边EH的最大值为，
∴BF的最大值为．
又∵函数S△GFC＝12－a的值随着a的增大而减小，
∴S△GFC的最小值为．
又∵，
∴△GFC的面积不能等于2．

【点睛】
解决本题的关键是证明三角形全等．
24．如图，在等边中，是的一个外角．
实践与操作：根据要求尺规作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法）．
（1）第一步：作的平分线；
第二步：作线段的垂直平分线，与交于点，与边交于点．
（2）在（1）的基础上，若，求的长．

【答案】（1）见解析；（2）.
【分析】
（1）根据角平分线的作法以及垂直平分线的作法解答即可
（2）根据BF是AC的垂直平分线，证得OC=4，OC⊥BF，∠CBF=30°，进而由勾股定理求得OB=，再根据CM平分∠ACD，证得CB=CF，最后可求得BF=OM+OB=.
【解析】
（1）如图，

（2）∵△ABC为等边三角形，且BC=8，
∴AC=BC=8，∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠ACD=120°，
∵BF是AC的垂直平分线，
∴OC=AC=4，OC⊥BF，
∴∠CBF=∠ABC=30°，
∴在中，，
∵CM平分∠ACD，
∴∠ACM=∠ACD=60°，
∴∠CFB=30°
∴∠CFB=∠CBF，
∴CB=CF，
∴AC是BF的垂直平分线，
∴OM=OB=，
∴BF=OM+OB=
【点睛】
本题考查等边三角形的性质、角平分线与垂直平分线的作图及其性质，同时还考查了垂直平分线的逆定理以及勾股定理，熟练掌握角平分线与垂直平分线的性质是解题的关键.