专题16 三角恒等变换、三角函数的应用（知识精讲） 高一数学新教材知识讲学（人教A版必修第一册）学案

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二.学法指导
1．解含非特殊角的三角函数式的求值问题的一般思路是：
(1)把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值．
(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的结构形式，然后逆用公式求值．
2. 给值求值问题的解题策略
1已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值时，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角.
2由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中可以根据需要灵活地进行拆角或凑角.常见角的变换有：
①α＝α－β＋β；
②eq α＝\f(α＋β,2)＋\f(α－β,2)；
③2α＝α＋β＋α－β；
④2β＝α＋β－α－β.
3．已知三角函数值求角的解题步骤
1界定角的范围，根据条件确定所求角的范围.
2求所求角的某种三角函数值.为防止增解最好选取在范围内单调的三角函数.
3结合三角函数值及角的范围求角.
4.辅助角公式及其运用
1公式形式：公式asin α＋bcs α＝eq \r(a2＋b2)sinα＋φ或asin α＋bcs α＝eq \r(a2＋b2)csα－φ将形如asin α＋bcs αa，b不同时为零的三角函数式收缩为同一个角的一种三角函数式.
2形式选择：化为正弦还是余弦，要看具体条件而定，一般要求变形后角α的系数为正，这样更有利于研究函数的性质.
5.公式T(α±β)的结构特征和符号规律：
(1)结构特征：公式T(α±β)的右侧为分式形式，其中分子为tan α与tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和．
(2)符号规律：分子同，分母反．
6．利用公式T(α＋β)求角的步骤：
(1)计算待求角的正切值．
(2)缩小待求角的范围，特别注意隐含的信息．
(3)根据角的范围及三角函数值确定角．
7.公式Tα±β的逆用
一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换.
如eq tan\f(π,4)＝1，tan\f(π,6)＝\f(\r(3),3)，tan\f(π,3)＝\r(3)等.
要特别注意eq tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝\f(1＋tan α,1－tan α)，tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))＝\f(1－tan α,1＋tan α).
8.证明三角恒等式的原则与步骤
1观察恒等式两端的结构形式，处理原则是从复杂到简单，高次降低，复角化单角，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想.
2证明恒等式的一般步骤：
①先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异；
②本着“复角化单角”“异名化同名”“变换式子结构”“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的.
9.化简问题中的“三变”
(1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式．
(2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切．
(3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径，如升幂、降幂、配方、开方等．
10.三角恒等变换与三角函数图象性质的综合问题的解题策略：运用三角函数的和、差、倍角公式将函数关系式化成y＝asin ωx＋bcs ωx＋k的形式，借助辅助角公式化为y＝Asinωx＋φ＋k或y＝Acsωx＋φ＋k的形式，将ωx＋φ看作一个整体研究函数的性质.
11.应用三角函数解实际问题的方法及注意事项
1方法：解答此类问题，关键是合理引入辅助角，确定各量之间的关系，将实际问题转化为三角函数问题，再利用三角函数的有关知识求解.
2注意：在求解过程中，要注意三点：①充分借助平面几何性质，寻找数量关系.②注意实际问题中变量的范围.③重视三角函数有界性的影响.
12.由y＝sin x的图象，通过变换可得到函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象，其变化途径有两条：
(1)y＝sin xeq \(――――→,\s\up15(相位变换))y＝sin(x＋φ)eq \(――――→,\s\up15(周期变换))y＝sin(ωx＋φ)
eq \(――――→,\s\up15(振幅变换))y＝Asin(ωx＋φ)．
(2)y＝sin xeq \(――――→,\s\up15(周期变换))y＝sin ωxeq \(――――→,\s\up15(相位变换))y＝sineq \b\lc\[\rc\](ω\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋eq \f(φ,ω)))))＝sin(ωx＋φ)eq \(――――→,\s\up15(振幅变换))y＝Asin(ωx＋φ)．
13.确定函数y＝Asinωx＋φ的解析式的关键是φ的确定，常用方法有：
1代入法：把图象上的一个已知点代入此时A，ω已知或代入图象与x轴的交点求解此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上.
2五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(φ,ω)，0))作为突破口.“五点”的ωx＋φ的值具体如下：,“第一点”即图象上升时与x轴的交点为ωx＋φ＝0；,“第二点”即图象的“峰点”为ωx＋φ＝eq \f(π,2)；,“第三点”即图象下降时与x轴的交点为ωx＋φ＝π；,“第四点”即图象的“谷点”为ωx＋φ＝eq \f(3π,2)；,“第五点”为ωx＋φ＝2π.
14.正弦余弦型函数奇偶性的判断方法
正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)和余弦型函数y＝Acs(ωx＋φ)不一定具备奇偶性．对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数，当φ＝kπ±eq \f(π,2)(k∈Z)时为偶函数；对于函数y＝Acs(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数，当φ＝kπ±eq \f(π,2)(k∈Z)时为奇函数．
15．与正弦、余弦函数有关的单调区间的求解技巧
(1)结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间．
(2)确定函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)单调区间的方法：采用“换元”法整体代换，将ωx＋φ看作一个整体，可令“z＝ωx＋φ”，即通过求y＝Asin z的单调区间而求出函数的单调区间．若ω＜0，则可利用诱导公式先将x的系数转变为正数，再求单调区间．
16.解三角函数应用问题的基本步骤
三.知识点贯通
知识点1 给角求值问题
公式：cs(α－β)＝cs_αcs_β＋sin_αsin_β
cs(α＋β)＝cs_αcs_β－sin_αsin_β
sin(α＋β)＝sin_αcs_β＋cs_αsin_β
sin(α－β)＝sin_αcs_β－cs_αsin_β
sin 2α＝2sin_αcs_α
cs 2α＝cs2α－sin2α
tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α)
例1.(1)cseq \f(13π,12)的值为( )
A.eq \f(\r(6)＋\r(2),4) B.eq \f(\r(6)－\r(2),4)
C.eq \f(\r(2)－\r(6),4) D．－eq \f(\r(6)＋\r(2),4)]
(2)求值：cs 75°cs 15°－sin 75°sin 195°；
(3)cs 70°sin 50°－cs 200°sin 40°的值为( )
A．－eq \f(\r(3),2) B．－eq \f(1,2) C.eq \f(1,2) D.eq \f(\r(3),2)
(4)若θ是第二象限角且sin θ＝eq \f(5,13)，则cs(θ＋60°)＝________.
(5)求值：(tan 10°－eq \r(3))eq \f(cs 10°,sin 50°).
（6）cseq \f(π,7)cseq \f(3π,7)cseq \f(5π,7)的值为( )
A.eq \f(1,4) B．－eq \f(1,4) C.eq \f(1,8) D．－eq \f(1,8)
(7)求下列各式的值：
①cs415°－sin415°；②eq \f(1－tan275°,tan 75°)
知识点二 给值求值、求角问题
公式：cs(α－β)＝cs_αcs_β＋sin_αsin_β
cs(α＋β)＝cs_αcs_β－sin_αsin_β
sin(α＋β)＝sin_αcs_β＋cs_αsin_β
sin(α－β)＝sin_αcs_β－cs_αsin_β
例题2：(1)已知sin α－sin β＝1－eq \f(\r(3),2)，cs α－cs β＝eq \f(1,2)，则cs(α－β)＝( )
A．－eq \f(\r(3),2) B．－eq \f(1,2) C.eq \f(1,2) D.eq \f(\r(3),2)
(2)已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋α))＝eq \f(12,13)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(2π,3)))，求cs α的值．
（3）已知cs α＝eq \f(\r(5),5)，sin(α－β)＝eq \f(\r(10),10)，且α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).求：①cs(2α－β)的值；②β的值．
（4）已知锐角α，β满足cs α＝eq \f(2\r(5),5)，sin(α－β)＝－eq \f(3,5)，求sin β的值．
（5）已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(3,5)，eq \f(π,2)≤α＜eq \f(3π,2)，求cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,4)))的值；
知识点三 辅助角公式的应用
辅助角公式：asin x＋bcs x＝eq \r(a2＋b2)sin(x＋φ)，其中eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(tan φ＝\f(b,a)))
例题3 .(1)sineq \f(π,12)－eq \r(3)cseq \f(π,12)＝________.
(2)已知f(x)＝eq \r(3)sin x－cs x，求函数f(x)的周期，值域，单调递增区间．
知识点四 两角和与差的正切公式的运用
两角和与差的正切公式
tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)
tan(α－β)＝eq \f(tan α－tan β,1＋tan αtan β)
例题4．(1)已知α，β均为锐角，tan α＝eq \f(1,2)，tan β＝eq \f(1,3)，则α＋β＝________.
(2)eq \f(1＋tan 15°,1－tan 15°)＝________. (3)eq \f(1－\r(3)tan 75°,\r(3)＋tan 75°)＝________.
知识点五 恒等变换与三角函数图象性质的综合
例5.已知函数f(x)＝eq \r(3)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))－2sin xcs x.
(1)求f(x)的最小正周期．
(2)求证：当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,4)))时，f(x)≥－eq \f(1,2).
知识点六 三角函数图象之间的变换
1. φ对y＝sin(x＋φ)，x∈R的图象的影响
2．ω(ω＞0)对y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响
3．A(A＞0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响
例6.(1)将函数y＝eq \r(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))的图象向左平移eq \f(π,3)个单位长度，再向下平移3个单位长度，则所得图象的解析式为________．
(2)将y＝sin x的图象怎样变换可得到函数y＝2sin（2x＋eq \f(π,4)）＋1的图象？
知识点七 已知函数图象求解析式
例7.已知函数f(x)＝Acs(ωx＋φ)＋Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A＞0，ω＞0，|φ|＜\f(π,2)))的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为( )
A．y＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)－\f(π,4)))＋4 B．y＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(π,4)))＋4
C．y＝4cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)－\f(π,4)))＋2 D．y＝4cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(π,4)))＋2
知识点八 三角函数图象与性质的综合应用
例8 (1)已知函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,3)))(ω＞0)，若feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))，且f(x)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,3)))上有最小值，无最大值，则ω＝( )
A.eq \f(2,3) B.eq \f(14,3) C.eq \f(26,3) D.eq \f(38,3)
(2)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0,0≤φ＜π)是R上的偶函数，其图象关于点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，0))对称，且在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上是单调函数，求φ和ω的值．
知识点九 三角函数模型的实际应用
例9.已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(时)的函数，其中0≤t≤24，记y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：
经长期观测，y＝f(t)的图象可近似地看成是函数y＝Acs ωt＋b的图象．
(1)根据以上数据，求其最小正周期，振幅及函数解析式；
(2)根据规定，当海浪高度大于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的8：00到20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行活动？
五 易错点分析
易错一 给值求角
例题10.已知α，β均为锐角，sin α＝eq \f(\r(5),5)，cs β＝eq \f(\r(10),10)，求α－β.
易错二 三角函数图像平移
例题11.要得到y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))的图象，只要将y＝sin 2x的图象( )
A．向左平移eq \f(π,8)个单位B．向右平移eq \f(π,8)个单位
C．向左平移eq \f(π,4)个单位D．向右平移eq \f(π,4)个单位
内 容
考点
关注点
三角恒等变换、
三角函数的应用
利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式求值、化简
角的范围
三角函数图象变换
左右平移
由图象求函数的解析式
五个关键点
三角恒等变换与三角函数图象性质的综合问题
公式运用及三角函数的图象与性质
t
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y
1.5
1.0
0.5
1.0
1.5
1
0.5
0.99
1.5