专题15 三角函数的图象与性质（知识精讲） 高一数学新教材知识讲学（人教A版必修第一册）学案

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二.学法指导
1．解决正、余弦函数的图象问题，关键是要正确的画出正、余弦曲线．
2．正、余弦曲线的形状相同，只是在坐标系中的位置不同，可以通过相互平移得到．
3．用“五点法”画函数y＝Asin x＋b(A≠0)或y＝Acs x＋b(A≠0)在[0,2π]上简图的步骤
(1)列表：
(2)描点：在平面直角坐标系中描出五个点(0，y1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，y2))，(π，y3)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，y4))，(2π，y5)，这里的yi(i＝1,2,3,4,5)值是通过函数解析式计算得到的．
(3)连线：用光滑的曲线将描出的五个点连接起来，就得到正(余)弦函数y＝Asin x＋b(y＝Acs x＋b)(A≠0)的图象．
4.用三角函数的图象解sin x＞a(或cs x＞a)的方法
(1)作出y＝a，y＝sin x(或y＝cs x)的图象．
(2)确定sin x＝a(或cs x＝a)的x值．
(3)确定sin x＞a(或cs x＞a)的解集．
5..求三角函数周期的方法：
(1)定义法：即利用周期函数的定义求解．
(2)公式法：对形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acs(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝eq \f(2π,|ω|).
(3)图象法：即通过观察函数图象求其周期．
6.对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断．
7、与三角函数奇偶性有关的结论
(1)要使y＝Asin(ωx＋φ)(Aω≠0)为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)；
(2)要使y＝Asin(ωx＋φ)(Aω≠0)为偶函数，则φ＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)；
(3)要使y＝Acs(ωx＋φ)(Aω≠0)为奇函数，则φ＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)；
(4)要使y＝Acs(ωx＋φ)(Aω≠0)为偶函数，则φ＝kπ(k∈Z)．
8.求形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b或形如y＝Acs(ωx＋φ)＋b或形如y＝Atan(ωx＋φ)+b(其中A≠0，ω>0，b为常数)的函数的单调区间，注意两点：①要把ωx＋φ看作一个整体，若ω<0，先用诱导公式将式子变形，将x的系数化为正；②在A>0，ω>0时，将“ωx＋φ”代入正弦(或余弦或正切)函数的单调区间，可以解得与之单调性一致的单调区间；当A<0，ω>0时同样方法可以求得与正弦(余弦或正切)函数单调性相反的单调区间．
9、三角函数值大小比较的策略
1利用诱导公式，对于正弦函数来说，一般将两个角转化到eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))或\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,2)))内；对于余弦函数来说，一般将两个角转化到[－π，0]或[0，π]内.
2不同名的函数化为同名的函数.
3自变量不在同一单调区间化至同一单调区间内，借助正弦、余弦函数的单调性来比较大小.
10、三角函数最值问题的常见类型及求解方法：
1y＝asin2x＋bsin x＋ca≠0，利用换元思想设t＝sin x，转化为二次函数y＝at2＋bt＋c求最值，t的范围需要根据定义域来确定.
2y＝Asinωx＋φ＋b，可先由定义域求得ωx＋φ的范围，然后求得sinωx＋φ的范围，最后得最值.
求正切型函数y＝Atan(ωx＋φ)(A≠0，ω＞0)的定义域时，要将“ωx＋φ”视为一个“整体”．令ωx＋φ≠kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，解得x.
三.知识点贯通
知识点1 正弦函数、余弦函数图象的初步认识
1.正弦函数y＝sin x，x∈R的图象叫正弦曲线．
2.余弦函数y＝cs x，x∈R的图象叫余弦曲线．
例1.(1)下列叙述正确的是( )
①y＝sin x，x∈[0,2π]的图象关于点P(π，0)成中心对称；
②y＝cs x，x∈[0,2π]的图象关于直线x＝π成轴对称；
③正、余弦函数的图象不超过直线y＝1和y＝－1所夹的范围．
A．0 B．1个 C．2个 D．3个
（2）函数y＝sin|x|的图象是( )
知识点二 用“五点法”作三角函数的图象
1.正弦曲线在[0,2π]上的图象的五个关键点(0,0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0)，。
2.余弦曲线y＝cs x在[0,2π]上的图象时，所取的五个关键点分别为(0,1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，0))，(2π，1)。
例题2：用“五点法”作出函数y＝－1＋cs x(0≤x≤2π)的简图．
知识点三 三角函数的周期问题及简单应用
1.函数的周期性
(1)周期函数：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么这个函数的周期为T.
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
2．正弦函数、余弦函数的周期性
例题3 .求下列函数的周期：
(1)y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))；
(2)y＝|sin x|.
知识点四 三角函数奇偶性的判断
正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性
例题4．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)x＋\f(π,2)))；(2)f(x)＝lg(1－sin x)－lg(1＋sin x)；
知识点五 正弦函数、余弦函数的单调性
例题5.(1)函数y＝cs x在区间[－π，a]上为增函数，则a的取值范围是________．
(2)已知函数f(x)＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋2x))＋1，求函数f(x)的单调递增区间．
知识点六 正弦函数、余弦函数的最值问题
例题6 (1)函数y＝cs2x＋2sin x－2，x∈R的值域为________．
(2)已知函数f(x)＝asineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))＋b(a＞0)．当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，f(x)的最大值为eq \r(3)，最小值是－2，求a和b的值．
知识点七 正切函数的定义域、值域问题
例题7.(1)函数y＝eq \f(1,tan x)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)＜x＜\f(π,4)且x≠0))的值域是( )
A．(－1,1)B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－∞，1) D．(－1，＋∞)
(2)函数y＝3taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－\f(x,4)))的定义域为________．
知识点八 正切函数奇偶性、周期性和图象的对称性
例题8. (1)函数f(x)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))的周期为________．
(2)已知函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))，则该函数图象的对称中心坐标为________．
(3)判断函数y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－x))＋tan x.的奇偶性：
知识点九 正切函数单调性的应用
例题9.（1）求函数y＝3taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－2x))的单调区间．
（2）tan 1，tan 2，tan 3，tan 4从小到大的排列顺序为________．
五 易错点分析
易错一 利用函数图象求方程的个数
例题10.在同一坐标系中，作函数y＝sin x和y＝lg x的图象，根据图象判断出方程sin x＝lg x的解的个数．
误区警示
画函数的图象时，要注意关键点，找几个关键点，然后连接，进而可得函数的图象。
易错二 比较大小
例题11.利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小．
(1)sin 196°与cs 156°；
(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(23,5)π))与cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(17,4)π)).
错误区警示
利用三角函数的单调性比较大小，应先用诱导公式，化成在同一个单调区间上的角的同名三角函数值，进而用函数的单调性比较大小。
易错三 求三角函数的单调区间
例题12.已知函数y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－2x))，则它的单调减区间为________．
内 容
考点
关注点
三角函数的图象与性质
三角函数的图象
五个关键点
正弦、余弦、正切型函数的最值、单调区间
三角函数的图象与性质
三角函数值比较大小
三角函数单调性
x
0
eq \f(π,2)
π、
eq \f(3π,2)
2π
sin x
(或cs x)
0(或1)
1(或0)
0(或－1)
－1
(或0)
0(或1)
y
b
(或A＋b)
A＋b
(或b)
b
(或－A＋b)
－A＋b
(或b)
b
(或A＋b)
函数
y＝sin x
y＝cs x
周期
2kπ(k∈Z且k≠0)
2kπ(k∈Z且k≠0)
最小正周期
2π
2π
函数
y＝sin x
y＝cs x
奇偶性
奇函数
偶函数
解析式
y＝sin x
y＝cs x
图象
单调性
在eq \b\lc\[\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)＋2kπ，\f(π,2)))＋2kπ，k∈Z上单调递增，
在eq \b\lc\[\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋2kπ，\f(3π,2)))＋2kπ，k∈Z上单调递减
在[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z上单调递增，
在[2kπ，π＋2kπ]，k∈Z上单调递减
解析式
y＝sin x
y＝cs x
图象
值域
[－1,1]
[－1,1]
最值
x＝eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z时，ymax＝1；x＝－eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z时，ymin＝－1
x＝2kπ，k∈Z时，ymax＝1；x＝π＋2kπ，k∈Z时，ymin＝－1
解析式
y＝tan x
图象
定义域
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x∈R，且x≠\f(π,2)))＋kπ，k∈Z))
值域
R
解析式
y＝tan x
图象
周期
π
奇偶性
奇函数
对称中心
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)，0))，k∈Z
解析式
y＝tan x
图象
单调性
在开区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)＋kπ，\f(π,2)＋kπ))，k∈Z内都是增函数