专题14 任意角与弧度制、三角函数的概念、诱导公式（知识精讲） 高一数学新教材知识讲学（人教A版必修第一册）学案

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专题十四  任意角与弧度制、三角函数的概念、诱导公式 知识精讲一 知识结构图内  容考点关注点任意角与弧度制三角函数的概念诱导公式弧度制与角度制的转化角度与弧度的关系扇形的弧长、面积 扇形的弧长、面积公式任意角的三角函数的求值任意角的三角函数的定义同角三角函数值的求解同角三角函数的基本关系任意角的三角函数求值、化简诱导公式 二.学法指导1.象限角的判定方法：(1)在坐标系中画出相应的角，观察终边的位置，确定象限．(2)第一步，将α写成α＝k·360°＋β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式；第二步，判断β的终边所在的象限；第三步，根据β的终边所在的象限，即可确定α的终边所在的象限．2. 所有与角α终边相同的角，连同角α在内可以用式子k·360°＋α，k∈Z表示，在运用时需注意以下四点：(1)k是整数，这个条件不能漏掉．(2)α是任意角．(3)k·360°与α之间用“＋”连接，如k·360°－30°应看成k·360°＋(－30°)，k∈Z.(4)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍．3．角度制与弧度制互化的关键与方法1关键：抓住互化公式π rad＝180°是关键；2方法：度数×＝弧度数；弧度数×＝度数；3角度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度.4.弧度制下解决扇形相关问题的步骤：(1)明确弧长公式和扇形的面积公式：l＝|α|r，S＝αr2和S＝lr.(这里α必须是弧度制下的角)(2)分析题目的已知量和待求量，灵活选择公式．(3)根据条件列方程(组)或建立目标函数求解．5.由角α终边上任意一点的坐标求其三角函数值的步骤：(1)已知角α的终边在直线上时，常用的解题方法有以下两种：①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值．②在α的终边上任选一点P(x，y)，P到原点的距离为r(r>0)．则sin α＝，cos α＝.已知α的终边求α的三角函数时，用这几个公式更方便．(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，一定注意对字母正、负的辨别，若正、负未定，则需分类讨论．6.判断三角函数值在各象限符号的攻略：1基础：准确确定三角函数值中各角所在象限；2关键：准确记忆三角函数在各象限的符号；3注意：用弧度制给出的角常常不写单位，不要误认为角度导致象限判断错误.7、利用诱导公式一进行化简求值的步骤1定形：将已知的任意角写成2kπ＋α的形式，其中α∈[0，2π，k∈Z.2转化：根据诱导公式，转化为求角α的某个三角函数值.（）求值：若角为特殊角，可直接求出该角的三角函数值.8、利用同角三角函数的基本关系解决给值求值问题的方法：1已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值，要注意公式的合理选择，一般是先选用平方关系，再用商数关系.2若角α所在的象限已经确定，求另两种三角函数值时，只有一组结果；若角α所在的象限不确定，应分类讨论，一般有两组结果.9、sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们之间的关系是：(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.10．已知tan α＝m，求关于sin α，cos α的齐次式的值解决这类问题需注意以下两点：(1)一定是关于sin α，cos α的齐次式(或能化为齐次式)的三角函数式；(2)因为cos α≠0，所以可除以cos α，这样可将被求式化为关于tan α的表示式，然后代入tan α＝m的值，从而完成被求式的求值．11、三角函数式化简的常用方法1化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的.  2对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的.3对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的.12.证明恒等式常用的思路是：(1)从一边证到另一边，一般由繁到简；(2)左右开弓，即证左边、右边都等于第三者；(3)比较法(作差，作比法)．13．技巧感悟：朝目标奔．常用的技巧有：(1)巧用“1”的代换；(2)化切为弦；(3)多项式运算技巧的应用(分解因式)．14.利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤1“负化正”——用公式一或三来转化；2“大化小”——用公式一将角化为0°到360°间的角；3“小化锐”——用公式二或四将大于90°的角转化为锐角；4“锐求值”——得到锐角的三角函数后求值.15.解决条件求值问题的两技巧1寻找差异：解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名及有关运算之间的差异及联系.2转化：可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化.三.知识点贯通知识点1   角的有关概念的判断任意角的分类(1)按旋转方向分(2)按角的终边位置分①前提：角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．②分类：例1.　(1)给出下列说法：①锐角都是第一象限角；②第一象限角一定不是负角；③小于180°的角是钝角、直角或锐角；④始边和终边重合的角是零角．其中正确说法的序号为________(把正确说法的序号都写上)．(2)已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，作出下列各角，并指出它们是第几象限角．①420°.②855°.③－510°.（1）【答案】①　【解析】①锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，是第一象限角，所以①正确；②－350°角是第一象限角，但它是负角，所以②错误；③0°角是小于180°的角，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，所以③错误；④360°角的始边与终边重合，但它不是零角，所以④错误．]（2）【解析】　作出各角的终边，如图所示：由图可知：①420°是第一象限角．②855°是第二象限角．③－510°是第三象限角．知识点二   终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．例题2：写出与α＝－1 910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β＜360°的元素β写出来．【解析】　与α＝－1 910°终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°－1 910°，k∈Z}．∵－720°≤β＜360°，即－720°≤k·360°－1 910°＜360°(k∈Z)，∴3≤k＜6(k∈Z)，故取k＝4,5,6.k＝4时，β＝4×360°－1 910°＝－470°；k＝5时，β＝5×360°－1 910°＝－110°；k＝6时，β＝6×360°－1 910°＝250°.知识点三   角度制与弧度制的换算例题3 .(1)①将112°30′化为弧度为________．②将－rad化为角度为________．【答案】①rad　②－75°　　【解析】(1)①因为1°＝rad，所以112°30′＝×112.5 rad＝rad.知识点四  扇形的弧长和面积公式设扇形的半径为R，弧长为l，α(0＜α＜2π)为其圆心角，则(1)弧长公式：l＝αR.(2)扇形面积公式：S＝lR＝αR2.例题4．已知扇形OAB的周长是60 cm，面积是20 cm2，求扇形OAB的圆心角的弧度数．【解析】设扇形的弧长为l，半径为r，则∴或∴扇形的圆心角的弧度数为＝43－3或43＋3.知识点五    任意角的三角函数的定义1、(1)条件在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，α∈R它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：(2)结论①y叫做α的正弦函数，记作sin α，即sin α＝y；②x叫做α的余弦函数，记作cos_α，即cos α＝x；③叫做α的正切，记作tan_α，即tan α＝(x≠0)．2、一般地，设角α终边上任意一点的坐标为(x，y)，它与原点的距离为r，则sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)．例题5 已知角θ的终边上有一点P(x,3)(x≠0)，且cos θ＝x，则sin θ＋tan θ的值为________．【答案】或　【解析】因为r＝，cos θ＝，所以x＝.又x≠0，所以x＝±1，所以r＝.又y＝3＞0，所以θ是第一或第二象限角．当θ为第一象限角时，sin θ＝，tan θ＝3，则sin θ＋tan θ＝.当θ为第二象限角时，sin θ＝，tan θ＝－3，则sin θ＋tan θ＝.知识点六    三角函数值符号的运用正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号(1)图示：(2)口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．例题6 判断下列各式的符号：①sin 145°cos(－210°)；②sin 3·cos 4·tan 5.【解析】①∵145°是第二象限角，∴sin 145°＞0，∵－210°＝－360°＋150°，∴－210°是第二象限角，∴cos(－210°)＜0，∴sin 145°cos(－210°)＜0.②∵＜3＜π，π＜4＜，＜5＜2π，∴sin 3＞0，cos 4＜0，tan 5＜0，∴sin 3·cos 4·tan 5＞0.知识点七     诱导公式一的应用公式一例题7 求值：(1)tan 405°－sin 450°＋cos 750°；(2)sincos＋tancos.【解析】　(1)原式＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(2×360°＋30°)＝tan 45°－sin 90°＋cos 30°＝1－1＋＝.(2)原式＝sincos＋tan·cos＝sincos＋tancos＝×＋1×＝.知识点八   应用同角三角函数关系求值1．平方关系(1)公式：sin2α＋cos2α＝1.(2)语言叙述：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1.2．商数关系(1)公式：＝tanα(α≠kπ＋，k∈Z)．(2)语言叙述：同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切．例题8（1） 已知cos α＝－，求sin α，tan α的值．【解析】　∵cos α＝－＜0，∴α是第二或第三象限的角．如果α是第二象限角，那么sin α＝＝＝，tan α＝＝＝－.如果α是第三象限角，同理可得sin α＝－＝－，tan α＝.（2）已知sin α＋cos α＝，α∈(0，π)，则tan α＝________.（2）【答案】－　【解析】法一：(构建方程组)因为sin α＋cos α＝，①所以sin2α＋cos2α＋2sin αcos α＝，即2sin αcos α＝－.因为α∈(0，π)，所以sin α＞0，cos α＜0.所以sin α－cos α＝＝＝.②由①②解得sin α＝，cos α＝－，所以tan α＝＝－.法二：(弦化切)同法一求出sin αcos α＝－，＝－，＝－，整理得60tan2α＋169tan α＋60＝0，解得tan α＝－或tan α＝－.由sin α＋cos α＝＞0知|sin α|＞|cos α|，故tan α＝－.(3)已知＝2，计算下列各式的值．①；②sin2α－2sin αcos α＋1.（3）【解析】　由＝2，化简，得sin α＝3cos α，所以tan α＝3.①法一(换元)原式＝＝＝.法二(弦化切)原式＝＝＝.②原式＝＋1＝＋1＝＋1＝.知识点九   给角求值问题1．公式二(1)角π＋α与角α的终边关于原点对称．如图所示．(2)公式：sin(π＋α)＝－sin_α，cos(π＋α)＝－cos_α，tan(π＋α)＝tan_α.2．公式三(1)角－α与角α的终边关于x轴对称．如图所示．(2)公式：sin(－α)＝－sin_α，cos(－α)＝cos_α，tan(－α)＝－tan_α. 3．公式四(1)角π－α与角α的终边关于y轴对称．如图所示．(2)公式：sin(π－α)＝sin_α，cos(π－α)＝－cos_α，tan(π－α)＝－tan_α.4．公式五(1)角－α与角α的终边关于直线y＝x对称，如图所示．(2)公式：sin＝cos_α，cos＝sin_α.5．公式六(1)公式五与公式六中角的联系＋α＝π－.(2)公式：sin＝cos_α，cos＝－sin_α.例题9 求值：(1)sin 1 320°；(2)cos；（3）已知sin＝，则cos的值为________．【解析】(1)法一：sin 1 320°＝sin(3×360°＋240°)＝sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－.法二：sin 1 320°＝sin(4×360°－120°)＝sin(－120°)＝－sin(180°－60°)＝－sin 60°＝－.(2)法一：cos＝cos＝cos＝cos＝－cos＝－.法二：cos＝cos＝cos＝－cos＝－.（3）cos＝cos＝sin＝.五 易错点分析易错一  区间角的表示例题10.已知，如图所示．①分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合；②写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．【解析】　①终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}；终边落在OB位置上的角的集合为{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z}．②由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于[－30°，135°]之间的与之终边相同的角组成的集合，故该区域可表示为{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}． 误区警示
正角是按逆时针方向旋转，区间角的书写注意旋转方向，逆时针方向旋转，角变大，区间角是大于小角小于大角。易错二 扇形的弧长、面积 例题11.求半径为π cm，圆心角为120°的扇形的弧长及面积．【解析】　因为r＝π，α＝120×＝，所以l＝αr＝ cm，S＝lr＝ cm2.错误区警示扇形的弧长、面积公式中，圆心角的度数应为弧度制。易错三 任意角三角函数的定义运用例题12.已知角α的终边过点P(－3a,4a)(a≠0)”，求2sin α＋cos α。【解析】　因为r＝＝5|a|．①若a>0，则r＝5a，角α在第二象限，sin α＝＝＝，cos α＝＝＝－，所以2sin α＋cos α＝－＝1.②若a<0，则r＝－5a，角α在第四象限。sin α＝＝－，cos α＝＝，所以2sin α＋cos α＝－＋＝－1。错误警示求任意角的三角函数值时，终边过的点的坐标用字母表示时，注意考虑字母的正负，不确定时，应分正负讨论。易错四  任意角三角函数的值的求解 例题13  已知sin α＋cos α＝，α∈(－π，0)，则tan α＝________.【解析】因为sin α＋cos α＝，①  所以sin2α＋cos2α＋2sin αcos α＝，即2sin αcos α＝－.  因为α∈(－π，0)，所以sin α＜0，cos α＞0，所以sin α－cos α＝－＝－＝－。与sin α＋cos α＝联立解得sin α＝－，cos α＝，所以tan α＝＝－。错误警示运用同角三角函数基本关系求值时，注意判断三角函数值的正负。易错五 利用诱导公式化简例题14   　设k为整数，化简：.【解析】法一：(分类讨论)当k为偶数时，设k＝2m(m∈Z)，则原式＝＝＝＝－1；当k为奇数时，设k＝2m＋1(m∈Z)，同理可得原式＝－1.法二：(配角法)由于kπ－α＋kπ＋α＝2kπ，(k＋1)π＋α＋(k－1)π－α＝2kπ，故cos[(k－1)π－α]＝cos[(k＋1)π＋α]＝－cos(kπ＋α)，sin[(k＋1)π＋α]＝－sin(kπ＋α)，sin(kπ－α)＝－sin(kπ＋α)．所以原式＝＝－1。错误警示利用诱导公式化简时，注意找角的关系，从而正确选择诱导公式。