2022届高考数学沪教版一轮复习-讲义专题22概率论初步复习与检测

学习目标
1.频率与概率
2.古典概型与几何概型
3.概率基本性质与公式
知识梳理
概率初步

（1）事件与基本事件：

　　基本事件：试验中不能再分的最简单的“单位”随机事件；一次试验等可能的产生一个基本事件；任意两个基本事件都是互斥的；试验中的任意事件都可以用基本事件或其和的形式来表示．
（2）频率与概率：随机事件的频率是指此事件发生的次数与试验总次数的比值．频率往往在概率附近摆动，且随着试验次数的不断增加而变化，摆动幅度会越来越小．随机事件的概率是一个常数，不随具体的实验次数的变化而变化．

（3）互斥事件与对立事件：

（4）古典概型与几何概型(几何概型不作重点要求)：

　　古典概型：具有“等可能发生的有限个基本事件”的概率模型．

　　几何概型：每个事件发生的概率只与构成事件区域的长度（面积或体积）成比例．

　　两种概型中每个基本事件出现的可能性都是相等的，但古典概型问题中所有可能出现的基本事件只有有限个，而几何概型问题中所有可能出现的基本事件有无限个．

　　（5）古典概型与几何概型的概率计算公式：

　　古典概型的概率计算公式：．

　　几何概型的概率计算公式：．

（6）概率基本性质与公式：

①事件的概率的范围为：．

②互斥事件与的概率加法公式：．

③对立事件与的概率加法公式：．

（7） 如果事件A在一次试验中发生的概率是p，则它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率是pn(k) = Cpk(1―p)n―k.　实际上，它就是二项式[(1―p)+p]n的展开式的第k+1项.

（8）独立重复试验与二项分布（不作重点要求）

　　①．一般地，在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验．注意这里强调了三点：（1）相同条件；（2）多次重复；（3）各次之间相互独立；

②．二项分布的概念：一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为．此时称随机变量服从二项分布，记作，并称为成功概率．

例题分析
例1．“哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是：一个大于2的偶数都可以写成两个质数(素数)之和，也就是我们所谓的“1+1”问题.它是1742年由数学家哥德巴赫提出的，我国数学家潘承洞､王元､陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中都做出了相当好的成绩.若将18拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，加数全部为质数的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

将18拆成两个正整数的和，可知所有的和式共有17个，

其中，事件“所拆成的和式中，加数全部为质数”所包含的基本事件有：､､､，共4个，因此，所求概率为.

故选：D.

例2．垃圾分类是对垃圾进行处置前的重要环节通过分类投放、分类收集，我们可以把有用物资从垃圾中分离出来重新回收、利用，变废为宝.某小区的分类垃圾箱如图所示，每组垃圾箱有四个垃圾投放桶，分别为有害垃圾、厨余垃圾、可回收垃圾、其他垃圾.该小区业主手提两袋垃圾，分别为有害垃圾和厨余垃圾，分别将其随机投入两个不同的垃圾投放桶，则恰有一袋投放正确的概率为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】

记有害垃圾、厨余垃圾、可回收垃圾、其他垃圾四个垃圾投放桶分别为1，2，3，4，则两袋垃圾中恰有一袋投放正确的情况有（1，3），（1，4），（3，2），（4，2），共4种，而随机投放的情况有（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），共12种，所以所求概率.

故选：C．
跟踪练习

1．考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于（    ）.

A． B． C． D．

2．从0到9这10个数字中任取3个数字组成一个没有重复数字的三位数，这个数不能被3整除的概率为（    ）.

A． B． C． D．

3．一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用两种方法来检

测.方法一：在10箱中各任意抽查一枚；方法二：在5箱中各任意抽查两枚.国王用方法一、二

能发现至少一枚劣币的概率分别记为和.则

A． B． C． D．以上三种情况都有可能

4．有5种不同的作物，从中选出3种分别种在3种不同土质的试验小区内，其中甲、乙两种作物不种在1号小区内的概率为（    ）．

A． B． C． D．1

5．在装有相等数量的白球和黑球的口袋中放进1个白球，此时由这个口袋中取出1个白球的概率比口袋中原来取出1个白球的概率大0.1，则口袋中原来共装有球（    ）．

A．2个 B．4个 C．8个 D．10个

6．n封信投入m个信箱，其中n封信恰好投入同一个信箱的概率是（    ）．

A． B． C． D．

7．为了促进消费回补和潜力释放，上海市政府举办“2020五五购物节”活动，某商家提供台吸尘器参加此项活动，其中豪华型吸尘器台，普通型吸尘器台.

（1）豪华型吸尘器前天的销量分别为：、、、、、（单位：台），把这个数据看作一个总体，其均值为，方差为，求的值；

（2）若用分层抽样的方法在这批吸尘器中抽取一个容量为的样本，将该样本看成一个总体，从中任取台吸尘器，求至少有台豪华型吸尘器的概率（用最简分数表示）.

8．某安全生产监督部门对5家小型煤矿进行安全检查（简称安检）．若安检不合格，则必须进行整改．若整改后经复查仍不合格，则强行关闭．设每家煤矿安检是否合格是相互独立的，且每家煤矿整改前安检合格的概率是0.5，整改后安检合格的概率是0.8，计算（结果精确到0.01）：

（1）恰好有两家煤矿必须整改的概率；

（2）至少关闭一家煤矿的概率．

9．袋子A和B中装有若干个均匀的红球和白球，从A中摸出一个红球的概率是，从B中摸出一个红球的概率为p．

（1）从A中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止．求恰好摸5次停止的概率；

（2）若A，B两个袋子中的球数之比为，将A，B中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是，求p的值．

10．某批产品成箱包装，每箱5件．一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意抽取2件产品进行检验．设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品．若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品被用户拒绝购买的概率．

参考答案

1．D

【详解】

解：甲从这6个点中任意选两个点连成直线，共有条，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，

共有条，甲乙从中任选一条共有种不同取法，

因正方体6个面的中心构成一个正八面体，有六对相互平行但不重合的直线，则甲乙两人所得直线相互平行但不重合共有12对，

这是一个古典概型，所以所求概率为，

故选：D ．

2．B

【详解】

解：从0到9这10个数字中任取3个数字组成一个没有重复数字的三位数，这个数不能被3整除．

所有的三位数有个，

将10个数字分成三组，

即被3除余1的有，4，、

被3除余2的有，5，，

被3整除的有，6，9，，

若要求所得的三位数被3整除，则可以分类讨论：

①三个数字均取第一组，或均取第二组，有个；

②若三个数字均取自第三组，则要考虑取出的数字中有无数字0，共有个；

③若三组各取一个数字，第三组中不取0，有个，

④若三组各取一个数字，第三组中取0，有个，这样能被3整除的数共有228个，不能被3整除的数有420个，

所以概率为，

故选：B．

3．B

【详解】

因为

所以

故选:B

4．C

【详解】

根据题意先从剩余的3种作物中选择1种在1号小区，再从4中作物种选择2种种植在其他两个小区，则.

故选：C.

5．B

【详解】

设原来白球和黑球均有个，则，即，解得，故口袋中原来共装有球为4个.

故选：B

6．C

【详解】

解：根据古典概型的概率计算公式有，

n封信投入m个信箱，其中n封信恰好投入同一个信箱的概率是，

故选：C．

7．（1）；（2）.

【详解】

（1）依题意得，

，

，

.

（2）设所抽样本中有P台豪华型吸尘器，

则，

抽取台豪华型吸尘器，台普通型吸尘器，

因为任意抽取台吸尘器，都是普通型的概率为，

所以，至少有台豪华型吸尘器的概率是.

8．（1）；（2）0.41

【详解】

（1）恰好有两家煤矿必须整改的概率是 ；

（2）一家煤矿被关闭的概率是，所以，至少有一家煤矿被关闭的概率是.

9．（1）；（2）

【详解】

（1）第5次必须摸到红球，而前4次中必须恰好有两次摸到红球，

所求概率为.

（2）设A中有球3k个，则其中有红球k个，则B中有球6k个，并设B中有红球x个，

于是，，所以.

10．0.34

【详解】

当抽检出2件二等品时：；

当抽检出3件二等品时：；

故.