专题18.26 菱形-动点问题（专项练习）-2021-2022学年八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）

专题18.26 菱形-动点问题（专项练习）
一、单选题
1．如图，菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，点P是直线BD上一动点，连接PC，当PC+的值最小时，线段PD的长是（　　）

A． B． C． D．
2．已知菱形在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点，，点是对角线上的一个动点，当最短时，点的坐标为（ ）

A． B． C． D．
3．如图，在菱形中，，是线段上一动点（点不与点重合），当是等腰三角形时，（ ）

A．30° B．70° C．30°或60° D．40°或70°
4．已知菱形在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点，，点是对角线上的一个动点，，，点是对角线上的一个动点，，当最短时，点的坐标为（ ）

A． B． C． D．
5．如图，为菱形内一动点，连接，，，，，则的最大值为（ ）

A． B． C． D．
6．已知菱形是动点，边长为4，，若，则（ ）

A． B．4 C． D．1
7．如图，在菱形中，，点、分别为、上的动点，，点从点向点运动的过程中，的长度(　　)

A．逐渐增加 B．逐渐减小
C．保持不变且与的长度相等 D．保持不变且与的长度相等
8．如图，在菱形ABCD中, AB=16,∠B=60°, P是AB上一点，BP=10, Q是CD边上一动点，将四边形APQD沿宜线PQ折叠，A的对应点A'.当CA'的长度最小时，则CQ的长为（ ）

A．10 B．12 C．13 D．14
9．如图，菱形ABCD的边长为2，∠A＝60°，点E是对角线BD的中点．点G是AB边上一动点，GE延长线交CD于点H，则GH长度可能为（　　）

A．1.5 B．2.5 C．3.5 D．4.5
10．如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，AB=2，点E是AB边上的动点，过点B作直线CE的垂线，垂足为F，当点E从点A运动到点B时，点F的运动路径长为（ ）

A． B． C．2 D．


二、填空题
11．如图，在菱形中，，，，分别是边，上的动点，连接，，，分别为，的中点，连接，则的最小值为________．

12．如图，已知菱形ABCD的顶点A(，0)，∠DAB=60°，若动点P从点A出发，沿A→B→C→D→A→B→…的路径，在菱形的边上以每秒0.5个单位长度的速度移动，则第2020秒时，点P的坐标为____．

13．如图，菱形的边长为2，点，分别是边，上的两个动点，且满足，设的面积为，则的取值范围是__．

14．如图，点E、F分别是菱形ABCD的边BC、CD上的动点，且有∠EAF=∠D=60°，AB=8，则△CEF面积最大为　 　．

15．如图，菱形中，=2，=5，是上一动点（不与重合），∥交于，∥交于，则图中阴影部分的面积为______________．

16．在菱形中，，点分别是边上的动点，沿折叠使点的对应点始终落在边上，则两点之间的最大距离为_____．

17．如图，在菱形中，，，点是边上的动点，点为的中点，连接，若线段取最小值时，则的长为______．

18．如图，在菱形ABCD中，P是对角线AC上一动点，过点P作于点E, 于点F．若菱形ABCD的周长为20，面积为24，则PE+PF的值为____．

19．如图，在菱形中，，，是对角线上的一个动点，则的最小值为______．

20．如图，点P，Q分别是菱形的边、上的两个动点，若线段长的最大值为，最小值为8，则菱形的边长为________．

21．如图，线段，点是线段上的一个动点，分别以和为边在线段的同侧构造菱形和菱形，且，是菱形的对角线交点、是菱形的对角线交点，连接，则线段的最小值为______．

22．如图，菱形的边长为，，点是上一动点（不与、重合），点是上一动点，且，则面积的最大值为__________．

23．如图，菱形的边长为，点是上一动点(不与重合)，点是上一动点，则面积的最小值为____．

24．如图，在菱形中，，，点在边上，且，点为线段 上一动点（不与点重合），将菱形沿直线折叠，点的对应点为点，当点落在菱形的对角线上时，的长为__.

25．如图，已知，为线段上的一个动点，分别以、为边在的同侧作菱形和菱形．点、、在一条直线上，，，别是对角线、的中点，当点在线段上移动时，点、之间的距离最短为____________．


26．如图，在菱形中，，，点是边上的动点，过点作直线的垂线，垂足为，当点从点运动到点时，点的运动路径长为________．

27．如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD＝60°，点E是AD上一动点（不与A、D重合），点F是CD上一动点，AE+CF＝4，则△BEF面积的最小值为_____．

28．如图,在菱形中，, , 点在边上,且，点为线段上一动点(不与点重合),将菱形沿直线折叠，点的对应点为点，当落在菱形的对角线上时，的长为__________．

29．如图，在菱形中，，点在边上，且，动点从点出发，沿着运动到点停止，过点作交菱形的边于点，若线段的中点为．当点与点重合时，的长为____，点从点运动到点的过程中，点的运动路线长为____．


三、解答题
30．如图，在菱形中，是上的一个动点（不与、重合）．连接交对角线于，连接．
证明：；
试问点运动到什么位置时，的面积等于菱形面积的？请说明理由．

31．如图，在菱形中，交于点，，，动点从点出发沿以的速度匀速运动到点，动点从点出发沿以的速度匀速运动到点，若点同时出发，问出发后几秒时，的面积为？

32．如图，在菱形中，，，为上一动点，为中点．
（1）求菱形的面积；
（2）求的最小值．

33．在菱形ABCD中，AB=6，∠B=60°，点E是BC边上的一个动点.
（1）如图①，求AE的最小值；
（2）如图②，若F也是CD边上的一个动点，且BE=CF，求线段EF的最小值；
（3）若tan∠AEC=33，问是否在菱形内部存在一点，使得这一点分别到E点，C点、D点的距离相等，若存在，请你求出这个相等的距离；若不存在，说明理由.

34．如图，在菱形中，对角线和交于点．为上一动点，过点作交于点，连接、．
（1）若，求的度数；
（2）求证：．

35．在菱形中，，点是对角线上一动点，将线段绕点顺时针旋转到，连接，连接并延长，分别交、于点、．
（1）如图1，若且，求菱形的面积；
（2）如图2，求证：．
　　　　
36．在菱形中，，点是对角线上一动点，将线段绕点顺时针旋转120°到，连接，连接并延长，分别交于点．
（1）求证：；
（2）已知，若的最小值为，求菱形的面积．



参考答案
1．A
【分析】
先过P作PE⊥BC于E，连接AP，根据△ABP≌△CBP可得AP＝CP，当点A，P，E在同一直线上时，AP+PE最短，此时，PC+的值最小，再根据含30°角的直角三角形的性质进行计算，即可得到线段PD的长．
解：如图，过P作PE⊥BC于E，连接AP，
由菱形ABCD，可得AB＝CB，∠ABP＝∠CBP＝∠ADP＝30°，
∴△ABP≌△CBP，BP＝2PE，
∴AP＝CP，
∴PC+＝AP+PE，
∵当点A，P，E在同一直线上时，AP+PE最短，
∴此时，PC+的值最小，AP⊥AD，
∵Rt△ABE中，AB＝2，
∴BE＝1，AE＝，
∴Rt△BEP中，PE＝，
∴AP＝，
∵∠ADP＝30°，
∴Rt△ADP中，PD＝2AP＝，
故选：A．

【点拨】
此题主要考查菱形内的线段求解，解题的关键是熟知菱形的对称性及含30°的直角三角形的性质．
2．C
【分析】
如图连接AC，AD，分别交OB于G、P，作BK⊥OA于K．首先说明点P就是所求的点，再求出点B坐标，求出直线OB、DA，列方程组即可解决问题．
【详解】
解：如图连接，，分别交于、，作于．

四边形是菱形，
，，，、关于直线对称，
，
此时最短，
在中，，
，
，
，，
点坐标，
直线解析式为，直线解析式为，
由解得，
点坐标．
故选：C．
【点拨】
本题考查菱形的性质、轴对称-最短问题、坐标与图象的性质等知识，解题的关键是正确找到点P位置，构建一次函数，列出方程组求交点坐标．
3．C
【分析】
根据是等腰三角形，进行分类讨论
【详解】
是菱形，
，





不符合题意
所以选C
4．D
【分析】
如图，连接AC交OB于K，作KH⊥OA于H．由四边形ABCD 是菱形，推出AC⊥OB，A、C关于对角线OB对称，推出PC＝PC，推出PC＋PD＝PA＋PD，所以当D、P、A共线时，PC＋PD的值最小，求出直线OB与直线AD的交点即可解决问题．
【详解】
解：如图，连接AC交OB于K，作KH⊥OA于H．
∵四边形ABCD 是菱形，
∴AC⊥OB，A、C关于对角线OB对称，
∴PC＝PC，
∴PC＋PD＝PA＋PD，
∴当D、P、A共线时，PC＋PD的值最小，
在Rt△OAK中，∵OK＝，OA＝5，
∴AK＝，
∵KH⊥OA，
∴KH＝，OH＝，
∴K（4，2），
∴直线OK的解析式为，
直线AD的解析式为，
由解得：，
∴OB与AD的交点P′
∴当点P与P′重合时，CP＋DP最短时，点P的坐标为，
故答案选：D．

【点拨】
本题考查轴对称——最短问题、坐标与图形的性质、菱形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题，学会构建一次函数解决交点问题，所以中考常考题型．
5．B
【分析】
根据四边形ABCD为菱形，再结合可构建四点共圆模型，可得是等边三角形，再利用全等得到，，所以，求得最大值，即求AP的最大值，当AP为圆的直径时最大，最后利用三角函数即可求出最大值．
【详解】
如图，连接．在菱形中，

．又．
∴是等边三角形，
∴，．
又∵．∴动点一定在的外接圆的劣弧上，
∴．
在上取，连接．
∵，，，
∴，
，，
，
∴为等边三角形，
，
．
当为的直径时，的值最大，此时，．
又，
的最大值为．
故选：B．
【点拨】
本题考查隐形图的知识，运用圆的相关知识点，结合四点共圆，运用了转化思想，解题的关键在于边的转化，运用全等以及等腰三角形的性质．
6．A
【分析】
证明△AEM是等边三角形，则，由AF∥EM进而解答即可．
【详解】
解：过点E作交AC于点M，
∵，∴，
∵四边形ABCD是菱形，∴，∴△ABC是等边三角形，
∵，∴△AEM是等边三角形，∴，
∵，∴．
故答案选A．

【点拨】
本题主要考查了菱形的性质，解答本题的关键是熟练运用菱形与等边三角形的性质．
7．D
【解析】
【分析】如图，连接BD，由菱形的性质以及∠A=60°，可得△BCD是等边三角形，从而可得BD=BC，再通过证明△BCF≌BDE，从而可得CF=DE，继而可得到AE+CF=AB，由此即可作出判断.
【详解】如图，连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，∠A=60°，
∴CD=BC，∠C=∠A=60°，∠ABC=∠ADC==120°，
∴∠4=∠DBC=60°，
∴△BCD是等边三角形，
∴BD=BC，
∵∠2+∠3=∠EBF=60°，∠1+∠2=∠DBC=60°，
∴∠1=∠3，
在△BCF和△BDE中，
，
∴△BCF≌BDE，
∴CF=DE，
∵AE+DE=AB，
∴AE+CF=AB，
故选D.

【点拨】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关的定理与性质是解题的关键.
8．D
【解析】
【分析】
由A′P=6可知点A′在以P为圆心以PA′为半径的弧上，故此当C，P，A′在一条直线上时，CA′有最小值，过点C作CH⊥AB，垂足为H，先求得BH、HC的长，则可得到PH的长，然后再求得PC的长，最后依据折叠的性质和平行线的性质可证明△CQP为等腰三角形，则可得到QC的长．
【详解】
由A′P=6可知点A′在以P为圆心以PA′为半径的弧上，故此当C，P，A′在一条直线上时，CA′有最小值，过点C作CH⊥AB，垂足为H．

在Rt△BCH中，∠B=60°，BC=16，则
BH=12BC=8，CH=162-82 =83．
∴PH=2．
在Rt△CPH中，依据勾股定理可知：PC=(83)2+22=14．
由翻折的性质可知：∠APQ=∠A′PQ．
∵DC∥AB，
∴∠CQP=∠APQ．
∴∠CQP=∠CPQ．
∴QC=CP=14．
故选：D．
【点拨】
本题主要考查的是两点之间线段最短、菱形的性质、勾股定理的应用，翻折的性质、等腰三角形的判定，判断出CA′取得最小值的条件是解题的关键．
9．B
【分析】
确定GH的最大值和最小值后即可确定GH的长度的取值范围，从而可以确定正确的选项．
【详解】
解：过E点作MN⊥AB于点N，此时MN的长是GH的最小值，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，
∵∠DAB＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴MN为△ABD的AB边上的高，
∵AD＝2，
∴MN＝，
∴GH的最小值为，
连接AC，此时AC是GH的最大值，
AC＝2AE＝2MN＝2，
∴＜MN＜2，
故选：B．

【点拨】
此题考查菱形的性质及等边三角形的判定，确定GH的最大值和最小值是解题的关键，难度不大．
10．B
【分析】
如图，根据圆周角定理可得点F在以BC为直径的圆上，根据菱形的性质可得∠BCM=60°，根据圆周角定理可得∠BOM=120°，利用弧长公式即可得答案.
【详解】
如图，取的中点，中点M，连接OM，BM，
∵四边形是菱形，
∴BM⊥AC，
∴当点与重合时，点与中点重合，
∵，
∴点的运动轨迹是以为直径的圆弧，
∵四边形是菱形，，
∴，
∴，
∴的长.

故选：B.
【点拨】
本题考查菱形的性质、圆周角定理、弧长公式及轨迹，根据圆周角定理确定出点F的轨迹并熟练掌握弧长公式是解题关键.
11．
【分析】
连结AF，利用中位线的性质GH=AF，要使GH最小，只要AF最小，由点F在BC，当AF⊥BC时，AF最小，利用菱形性质求出，由确定△ABF为等腰直角三角形，得出AF=BF，由勾股定理得：求出AF即可．
【详解】
连结AF，
∵，分别为，的中点，
∴GH∥AF，且GH=AF，
要使GH最小，只要AF最小，
由点F在BC，当AF⊥BC时，AF最小，
在菱形中，，
∴，
在Rt△ABF中，，
∴△ABF为等腰直角三角形，
∴AF=BF，
由勾股定理得：，
∴，
∴，
GH最小=AF=．
故答案为：．

【点拨】
本题考查动点图形中的中位线，菱形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理应用问题，掌握中位线的性质，菱形性质，等腰直角三角形的性质， 点F在BC上，AF最短，点A到BC直线的距离最短时由点A向直线BC作垂线，垂线段AF为最短是解题关键．
12．(0，-1)．
【分析】
根据点A的坐标和∠DAB=60°可以求出菱形的边长，从而算出第2020秒时点P的位置．
【详解】
∵点A(，0)，
∴OA=，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∠OAB=∠DAB，
又∵∠DAB=60°，
∴∠OAB=30°，
∴，，
即，，
∴AB=2，OB=1，
∴菱形ABCD周长为8，点B坐标为（0，-1），
到第2020秒时，点P运动的路程为：0.5×2020=1010，
1010÷8=126……2，
即点P绕菱形运动了126周且多2个单位，即点P运动到点B，
∴点P的坐标为（0，-1），
故答案为：（0，-1）．
【点拨】
本题主要考查结合特殊角的三角函数值求出菱形的边长，然后根据点P的运动速度和运动时间计算出P点对应的位置，熟练掌握特殊角的三角函数值是解决本题的关键．
13．．
【解析】
【分析】
先证明为正三角形，根据直角三角形的特点和三角函数进行计算即可解答
【详解】
菱形的边长为2，，
和都为正三角形，
，，
，而，
，
；
，，
，
即，
为正三角形；
设，
则，
当时，最小，
，
当与重合时，最大，
，
．
故答案为．
【点拨】
此题考查等边三角形的判定与性质和菱形的性质，解题关键在于证明为正三角形
14．
【解析】
如图，连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，且∠EAF=∠D=60°，
∴∠BAC=∠ACF=∠B=60°，AB=BC，
∴∠BAE+∠EAC=∠EAC+∠CAF=60°，△ABC是等边三角形，
∴∠BAE=∠CAF，AB=AC，
∴△ABE≌△ACF，
∴AE=AF，S△ACF=S△ABE，
∴△CEF是等边三角形，S四边形AECF=S△ABC，
∴S△CEF=S△ABC-S△AEF，
∵AB=8，△ABC是等边三角形，
∴S△ABC=，
∴当AE⊥BC，S△AEF的面积最小时，S△CEF最大，
∵当AE⊥BC时，AE=，
∴S△AEF最小=，
∴S△CEF最大=.
故答案为：.

15．
【解析】
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD,BO=OD=12BD=2.5，
∴△ABC的面积是×AC×BO=2.5，
∵AD∥BC,AB∥DC，
又∵PE∥BC,PF∥CD，
∴PF∥AB,PE∥AD，
∴四边形AEPF是平行四边形，
∴△AEF的面积和△PEF的面积相等，
∴阴影部分的面积等于△ABC的面积是2.5.
故答案为2.5.
16．
【分析】
如图，作于H，由B、关于EF对称，推出，当BE的值最小时，AE的值最大，根据垂线段最短即可解决问题．
【详解】
如图，作于H

∵四边形ABCD是菱形，





∵B、关于EF对称

当BE的值最小时，AE的值最大
根据垂线段最短可知，当时，BE的值最小
∴AE的最大值
故答案为：．
【点拨】
本题考查了翻折的问题，掌握翻折变换、菱形的性质、解直角三角形、垂线段最短等知识是解题的关键．
17．
【分析】
先根据菱形的性质可得，再根据垂线段最短可得出当时，取得最小值，然后解直角三角形可得，从而可得，，最后利用勾股定理即可得．
【详解】
四边形ABCD是菱形，，
，
由垂线段最短得：当时，取得最小值，
∵中，，，
∴，，
∴，
∵点为的中点，
∴，
则在中，由勾股定理得，
故答案为：．
【点拨】
本题考查了菱形的性质、垂线段最短、解直角三角形、勾股定理等知识点，依据垂线段最短得出点E的位置是解题关键．
18．
【分析】
如图连结BP，由菱形的性质得BA=BC=5，S△ABC =12，然后再根据S△ABC = S△PAE
+ S△PBC，然后代入数据、整理即可得到PE+PF的值．
【详解】
解：如图，连接BP,四边形ABCD为菱形，菱形ABCD的周长为20,
∴BA=BC=5,
∵菱形ABCD的面积为24
∴
，即
．
故答案为．

【点拨】
本题考查了菱形的性质和三角形的面积的计算，正确的作出辅助线以是解答本题的关键．
19．
【分析】
如图，连接，作于点，交于点，根据菱形的性质可得垂直平分以及，然后根据线段垂直平分线的性质和30°角的直角三角形的性质可得PA=PC，，进而可得，于是当点，，三点共线时，的值最小，最小值为的长，然后解即可求出AE的长．
【详解】
解：如图，连接，作于点，交于点，则．

∵四边形为菱形，
∴垂直平分，．
∴PA=PC，．
∴，
∴当点，，三点共线时，的值最小，最小值为的长．
在中，∵，，
∴，
∴的最小值是．
故答案为：．
【点拨】
本题考查了菱形的性质、线段垂直平分线的性质、垂线段最短、解直角三角形以及30°角的直角三角形的性质等知识，属于常考题型，明确AE的长是所求的最小值、熟练掌握上述知识是解题的关键．
20．10
【分析】
过点C作CH⊥AB，交AB的延长线于H，由题意可得当点P与点A重合，点Q与点C重合时，PQ有最大值，即，当PQ⊥BC时，PQ有最小值，即直线AC，直线BD的距离为8，由面积法可求CH=8，由勾股定理可求解．
【详解】
解：如图，过点C作CH⊥AB，交AB的延长线于H，

∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB=BC，
∵点P，Q分别是菱形ABCD的边AD，BC上的两个动点，
∴当点P与点A重合，点Q与点C重合时，PQ有最大值，即，
当PQ⊥BC时，PQ有最小值，即直线AD，直线BC的距离为8，
∵S菱形ABCD=AD×8=AB×CH，
∴CH=8，
∴，
∵BC2=CH2+BH2，
∴BC2=（16-BC）2+64，
∴BC=10，
故答案为：10．
【点拨】
本题考查了菱形的性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造直角三角形是本题的关键．
21．
【分析】
首先证明∠MPN=90°，设PA=2a，则PB=10-2a，PM=a，PN=（5-a），构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．
【详解】
∵四边形APCD、四边形PBFE是菱形，

∵是菱形的对角线交点、是菱形的对角线交点
∴

设PA=2a，则PB=10-2a，PM=a，PN=（5-a），

∴时，MN有最小值，最小值为，
故答案为：．
【点拨】
本题考查了线段的最值问题，掌握菱形的性质、二次函数的性质是解题的关键．
22．
【分析】
首先过点F作FG⊥AD，交AD的延长线于点G，由菱形ABCD的边长为4，∠BAD=60°，即可求得AD=CD=4，∠FDG=60°，然后设AE=x，即可得S△DEF=DE•FG）=-（x-2）2+，然后根据二次函数的性质，即可求得答案．
【详解】
解：过点F作FG⊥AD，交AD的延长线于点G，

∵菱形ABCD边长为4，∠BAD=60°，
∴AD=CD=4，∠ADC=180°-∠BAD=120°，
∴∠FDG=180°-∠ADB=60°，
设AE=x，
∵AE+CF=4，
∴CF=4-x；
∴DE=AD-AE=4-x，DF=CD-CF=4-（4-x）=x，
在Rt△DFG中，FG=DF•sin∠GDF=x，
∴S△DEF=DE•FG=×（4-x）×x=-x2+x=-（x2-4x）=-（x-2）2+，
∴当x=2时，△DEF面积的最大，最大值为．
故答案为：．
【点拨】
此题考查菱形的性质、三角函数的性质以及二次函数的最值问题．解题关键在于注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与函数思想的应用．
23．
【分析】
连结BD，利用SAS证得△BDF≌△BAE，可得△BEF是等边三角形，当BE⊥AD时面积最小即可求解．
【详解】
解：连接BD，
∵菱形ABCD边长为4，∠BAD=60°，
∴AB=BC=CD=AD=4，∠BAD=∠BCD=60°，
∴△ABD与△BCD为等边三角形，
∴∠FDB=∠EAB=∠ABD =60°，BA=BD，
∵AE+CF=4，DF+CF=CD=4，
∴AE=DF，
在△BDF和△BAE中，
，
∴△BDF≌△BAE（SAS），
∴BE=BF，∠ABE=∠DBF，
∴，即∠EBF=∠ABD=60°，
∴△BEF是等边三角形，
∴当BE⊥AD时，△BEF的面积最小，此时点E为AD的中点，
∴，则，
过点F作FG⊥BE于点G，则点G为BE中点，
∴，则，
∴△BEF面积的最小值，
故答案为：．

【点拨】
本题考查菱形的性质、等边三角形的判定和性质、垂线段最短和勾股定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
24．或
【解析】
【分析】
分为两种情况：当点在上时和当点在上时，再利用菱形的性质和等边三角形的性质进行解答
【详解】
①当点在上时，如图：

则，，，，
四边形是菱形，,
,为等边三角形，，,，,,设则，
解得：，;
②当点在上时，如图：

则垂直平分，
四边形是菱形,，
，,
是等边三角形，.
综上所述：或.
【点拨】
此题考查了菱形的性质和等边三角形的性质和判定，分情况讨论是解题关键
25．．
【分析】
连接PM、PN，根据菱形的性质求出∠CAP=∠DAP=30°，∠MPC=∠CPA=60°，∠EPN=∠BPN=∠EPB=30°，从而得到∠MPN=90°，设AP=x，则PB=6－x，利用锐角三角函数求出PM和PN，然后利用勾股定理求出与x的函数关系式，化为顶点式即可求出的最小值，从而求出结论．
【详解】
解：连接PM、PN

∵四边形APCD和四边形PBFE为菱形，∠DAP=60°，
∴∠CPA=180°－∠DAP=120°，∠EPB=∠DAP=60°，
PM⊥AC，PN⊥EB，AC平分∠DAP，PM平分∠APC，PN平分∠EPB
∴∠CAP=∠DAP=30°，∠MPC=∠CPA=60°，∠EPN=∠BPN=∠EPB=30°
∴∠MPN=∠MPC＋∠EPN=90°，
设AP=x，则PB=6－x
∴PM=AP·sin∠CAP=x，PN=PB·cos∠BPN=（6－x），
在Rt△MON中

=
=
=，
∴当x=时，
有最小值，
∴MN的最小值为．
故答案为：．
【点拨】
此题考查了菱形的性质、锐角三角函数、勾股定理和二次函数的应用，掌握菱形的性质、锐角三角函数、勾股定理和利用二次函数求最值是解决此题的关键．
26．
【分析】
如图，连接AC、BD交于点O，设BC中点为M，连接OM．首先说明点E从点A运动到点D时，点F的运动轨迹是以M为圆心的圆上，路径长为的长度的2倍，求出圆心角，半径即可解决问题．
【详解】
解：如图，连接、交于点，取BC中点M，连接，


，
点的运动轨迹在以边长为直径的上，
当点从点运动到中点时，点的运动路径长为，
四边形是菱形
，

，

的长
同理可得：当点从中点运动到点时，点的运动路径长为
当点从点运动到点时，点的运动路径长为
故答案为：
【点拨】
本题考查菱形的性质、弧长公式、轨迹等知识，解题的关键是正确寻找点 的运动轨迹，属于中考常考题型．
27．3．
【分析】
首先证明△BEF是等边三角形，当BE⊥AD时面积最小．
【详解】
连接BD，
∵菱形ABCD边长为4，∠BAD＝60°；
∴△ABD与△BCD为正三角形，
∴∠FDB＝∠EAB＝60°，
∵AE+CF＝4，DF+CF＝4，
∴AE＝DF，
∵AB＝BD，
∴△BDF≌△BAE（SAS），
∴BE＝BF，
∠ABE＝∠DBF，
∴∠EBF＝∠ABD＝60°，
∴△BEF是等边三角形，
∴当BE⊥AD时，△BEF的面积最小，此时BE＝，
∴边BE上的高为＝3，
△BEF面积的最小值＝．
故答案为．

【点拨】
本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质，求面积最值得问，注意掌握作辅助线的技巧．
28．2或
【分析】
分为两种情况:当点在BD上时和当点;在AC上时，再利用菱形的性质和等边三角形的性质进行解答．
【详解】
①当点在BD上时，如图:

则，，FA=F
∴
∵四边形ABCD是菱形
∴AB=AD=3
∵
∴△ABD为等边三角形，
∴
∴
∴
∴
∵DE=1
∴
设AF==x，


解得x=
∴AF=
②当点在AC上时，如图:

则EF垂直平分
∵四边形ABCD是蒙形，∠DAB=60°
∴∠DAC=∠CBA=30 ，∠AFE=∠DAB=60°
∴EAF是等边三角形，
∴AF=AE=2
综上所述:AF=2或
故答案为：2或
【点拨】
本题考查了菱形的性质和等边三角形的性质和判定，分情况讨论是解题的关键，每种情况都不能遗漏．
29．3
【分析】
过点D作，得到四边形EDHF是平行四边形，再根据已知条件求出FH、CH即可得解；以B为分界点进行做图，根据条件求出和即可得解；
【详解】
D、P重合，

过点D作，
∵FH∥ED，EF∥DH，
∴四边形EDHF是平行四边形，
∴ED=FH，
∵且AD=10，
∴，
∵，
∴，
∴；
以B为分界点，

在之间，，
在之间，，
∴即为所求；
延长CB、交于H，过C作，
∵CB∥AQ，
∴，
∵，
∴，
在Rt△CDQ中，，，，
∴，，
由可得：，
∴，
∵，
∴，
∵BH∥AE，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
；
综上所述，M点数为运动路线长为．
故答案是：3；．
【点拨】
本题主要考查了四边形的动点问题，结合菱形的性质和相似三角形的判定与性质计算是解题的关键．
30．证明见解析；点运动到中点时，的面积等于菱形面积的；理由见解析．
【分析】
（1）由四边形ABCD是菱形，即可证得∠CDE=∠APD，△CDE≌△CBE，继而证得结论；
（2）首先连接BE，由等高三角形的面积比等于对应底的比，可证得S△ADP=S△ABD，继而证得结论．
【详解】
解：证明：∵四边形是菱形，
∴，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；

点运动到中点时，的面积等于菱形面积的．
理由：连接，
∵是的中点，
∴，
∵，
∴．
【点拨】
此题考查了菱形的性质以及全等三角形的判定与性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
31．出发后时，的面积为．
【解析】
【分析】
根据点M、N运动过程中与O点的位置关系，设出发后xs时的面积为，则．根据三角形面积公式列方程求解即可.
【详解】
设出发后时，的面积为，则．
根据题意，得，
解得，(舍去)．
答：出发后时，的面积为．
【点拨】
本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据出发后时间的多少确定列方程的方法．
32．（1）；（2）．
【分析】
（1）连接，，根据四边形是菱形，，可得是等边三角形，根据为中点，得到，，根据勾股定理有，利用即可得出菱形的面积；
（2）连接，根据四边形为菱形，即有点与点关于对称，得，可知当点、、在一条线段上时，取值最小，即时， 根据（1）可解．
【详解】
（1）如答图，连接，，
∵四边形是菱形，
∴，
又∵，
∴是等边三角形，
∵为中点．
∴，．
在中，．
∴．
（2）如答图，连接，
∵四边形为菱形，
∴点与点关于对称．
∴．
∴．
当点、、在一条线段上时，取值最小．
即时，取得最小值．

【点拨】
本题主要考查菱形的性质，勾股定理，菱形是轴对称图形的性质，知道点与点关于对称是解题的关键．
33．（1）33；（2）33；（3）2573.
【解析】(1)AE⊥BC时，AE的最小值为33
（2）
设BE=CF=2G，EC=6-a
过F作FM⊥EC交EC延长线于M
易知CM=a，FM=3a
∴EF2=(6-2a+a)2+(3a)2
4a2-12a+36
∴当a=32，即CE=CF=3时，
EF取最小值33
（3）建立如图所示坐标系.

则AO=33
∴tan∠AEC=33
∵OE=1
∴EC=OE+OC=1+3=4
易知C(3  ,  0)， D(6  ,  33)， A(0  ,  33)
∴CD:y=3x-33
CD中垂线：y=-33x+33
EC中垂线：直线x=1
x=1时，-33x+33=833
∴PE=(22+1833)2=2573
∴存在这样一点，到E、C、D距离相等
这个相等的距离为2573
34．（1）50°；（2）见解析
【分析】
（1）根据菱形的性质求出，即可求出的度数；
（2）利用证得，，从而利用SAS证明，由此得到结论.
【详解】
（1）在菱形中，，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）∵，∠ABD=∠ADB，
∴∠AEF=∠ABD=∠ADB=∠AFE，
∴AE=AF，
∴，，
在和中
，
∴，
∴.
【点拨】
此题考查菱形的性质：对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角，全等三角形的判定及性质.
35．（1）；（2）证明见解析．
【分析】
（1）连接，可得，进而得、、三点共线，点M是菱形的旋转中心，可得，结合旋转的性质可得，MQ=NQ，根据直角三角形的性质得，BM=4，进而即可求解；
（2）根据菱形的性质和旋转的性质以及SAS，可证，在上取点，使，可证，再证，即可得到结论．
【详解】
（1）连接，如图1，
∵在菱形中，，
又∵，
∴、、三点共线，点M是菱形的旋转中心，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵CM=CN，
∴，MQ=NQ，
∵，
∴，
∴，
∵∠MBC=∠ABC=30°，
∴BM=4，
∴菱形=32；
（2）四边形是菱形，
∴，，，，
∴，
由旋转的性质得：，，
∴，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，，
在上取点，使，如图2，
在和中，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴∠DHN=∠CQN，
∴，
∴，
∴．

【点拨】
本题主要考查菱形的性质定理，旋转的性质，直角三角形的性质以及三角形全等的判定和性质，数量掌握菱形的性质，含30°角的直角三角形的性质，添加合适的辅助线，构造全等三角形是解题的关键．
36．（1）证明见解析；（2）菱形的面积．
【分析】
（1）利用SAS证明；
（2）先求出，得到，故当时，最小，此时最小，根据MN=，求出PC=2，BC=2PC=4，再利用菱形的面积得到答案.
【详解】
（1）证明：四边形是菱形，且，
∴，
∴，
由旋转的性质得：
∴，
∴；
（2）连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，
∵，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=BC,
∵，
∴，
∴，
∴当时，最小，此时最小，
∵MN=，
∴PC=2，
∵∠DBC=，∠BPC=90°，
∴BC=2PC=4，
∴菱形的面积

【点拨】此题考查菱形的性质，全等三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质定理，锐角三角函数，直角三角形30°角，根据已知条件推出是解题的关键.