2022届黑龙江省牡丹江市第三高级中学高三上学期期末考试数学文试题含答案

2022届黑龙江省牡丹江市第三高级中学高三上学期期末考试

高三数学(文科)试题

考试时间：120分钟   分值：150 

一、              选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.若(为虚数单位)是纯虚数，则实数                                  (    )

2．已知命题，命题若，则，则下列命题为真命题的是 (   )

3．若，则(     )

4．在正方体中，分别为棱的中点 ，则异面直线与所成角的余弦值                                                                 (     )   A             B           C              D

5. 若点 G是的重心，则 (　  )

A.0       B.    C. D.

6. 函数f(x)＝cos x－sin x在[0，]上的单调递减区间是(  　　)

A. B. C. D.

7．下列结论错误的个数是   （     ）

(1)若一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行 (2)若直线a∥平面α，P∈α，则过点P且平行于直线a的直线有无数条 (3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行. (4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面

A. 0              B.1               C.3               D .2

8．一个正方体的顶点都在球面上，若球的表面积为4π，则正方体的棱长为(　　)

A.B.C. D.

9.设命题 , ,则命题 成立是命题 成立的(  )

A. 充分不必要条件  B. 必要不充分条件            

C. 充要条件    D. 既不充分也不必要条件

10.某几何体的三视图如图所示，图中每一个小方格均为正方形，且边长为1，则该几何体的体积为（   ）
A.     B.    C.     D. 

11．已知函数lnx + 1,若存在,对任意，都有，则实数的取值范围是(   )

12.祖暅原理也就是“等积原理”，它是由我国南北朝杰出的数学家祖冲之的儿子祖暅首先提出来的，祖暅原理的内容是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.已知两个平行平面间有三个几何体，分别是三棱锥，四棱锥，圆锥(高度都为)，其中三棱锥的底面是边长为的正三角形，四棱锥的底面是边长为，有一个角为的菱形，圆锥的体积为，现用平行于这两个平行平面的平面去截三个几何体，如果截得的面积总相等，那么，下列关系式正确的是                            (     )

，

，，

，，

，，

Ⅱ 非选择题（共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20 分.请将正确答案填在答题卡的横线上. 

13.   已知球O的半径为1，则球的体积为-------

      14 .  x>0,y>0若x+y=5,则xy的最大值是----------

      15． 已知平面向量则=_________.

      16．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝4，AA1＝2，则异面直线AC和BC1所成角的余弦值是_________.

三．解答题本大题共6小题，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（12分）如图，在四棱锥 中，底面 是正方形，  为 的中点, 为 的中点.求证： 平面 ；   

18.（12分）的内角A，B，C的对边分别为，且

（1）求角A的大小；

（2）若，的面积，求的周长.

19. （12分）如图所示，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平行四边形．

(1)求证：AB∥平面EFGH (2)若AB＝4，CD＝6，求四边形EFGH周长的取值范围．

20．（12分）已知{an}是各项均为正数的等比数列,且.

 (I)求数列{an}通项公式；(II){bn}为各项非零的等差数列,其前n项和Sn,

已知,求数列的前n项和.

21、已知函数，曲线在处的切线方程为

(1)求的值； (2)若函数有两个零点，求实数的取值范围.

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22. 选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，直线的参数方程为(t为参数，0≤<π).

(1)若＝，求l的普通方程，直接写出C的直角坐标方程；

(2)若l与C有两个不同的交点A，B，且P(2，1)为AB的中点，求|AB|.

23.（10分）已知函数f(x)＝|2x|－|x＋3|.

(1)若对于任意的实数x，都有f(x)≥2m2－7m成立，求m的取值范围；

(2)若g(x)＝ax，方程f(x)＝g(x)有两个不同的实数根，求a的取值范围.

2021—2022学年度第一学期期末考试

高三数学(文科)试题答案

考试时间：120分钟   分值：150 

二、              选择题:       ACDAB     CCBAB   CA

Ⅱ 非选择题（共90分）

二、填空题：   13.   已知球O的半径为1，则球的体积为------- ∏

      14 .  x>0,y>0若x+y=5,则xy的最大值是----------6.25

      15、 已知平面向量则=_________. -4

      16、在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝4，AA1＝2，则异面直线AC和BC1所成角的余弦值是_________.

解析　如图，连接AD1，CD1，则∠D1AC(或其补角)就是异面直线AC和BC1所成的角，易知AC＝5，AD1＝2，CD1＝，由余弦定理得

cos ∠D1AC＝＝.

　三．解答题本大题共6小题，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（12分）如图，在四棱锥 中，底面 是正方形，  为 的中点, 为 的中点.求证： 平面 ；   

      证明：∵ 为 的中点, 为 的中点，
∴ .又 ，∴ ．∵ 平面 , 平面 ，
∴ 面
18.（12分）的内角A，B，C的对边分别为，且

（3）求角A的大小；

（4）若，的面积，求的周长.

解：（1）由已知得

（2）由已知及余弦定理得，周长为

19. 如图所示，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平行四边形．

(1)求证：AB∥平面EFGH (2)若AB＝4，CD＝6，求四边形EFGH周长的取值范围．

(1)证明　∵四边形EFGH为平行四边形，

∴EF∥HG.

∵HG⊂平面ABD，EF⊄平面ABD，

∴EF∥平面ABD.

又∵EF⊂平面ABC，平面ABD∩平面ABC＝AB，

∴EF∥AB，又∵AB⊄平面EFGH，EF⊂平面EFGH，

∴AB∥平面EFGH.

(2)解　设EF＝x(0<x<4)，

∵EF∥AB，FG∥CD，∴＝，

则＝＝＝1－，∴FG＝6－x.

∵四边形EFGH为平行四边形，

∴四边形EFGH的周长l＝2＝12－x.

又∵0<x<4，∴8<l<12，

即四边形EFGH周长的取值范围是(8,12)．

20．（本题满分12分）已知{an}是各项均为正数的等比数列,且.

 (I)求数列{an}通项公式；(II){bn}为各项非零的等差数列,其前n项和Sn,

已知,求数列的前n项和.

【答案】(I)；(II)

21、已知函数，曲线在处的切线方程为

(1)求的值；

解：f(x)＝ex(ax＋1)，则f′(x)＝ex(ax＋1)＋ex·a＝ex(ax＋1＋a)，

由题意知解得∴a＝1，b＝3e.

(2)若函数有两个零点，求实数的取值范围.

解：g(x)＝f(x)－3ex－m＝ex(x－2)－m，函数g(x)＝ex(x－2)－m有两个零点，

相当于函数u(x)＝ex·(x－2)的图像与直线y＝m有两个交点，

u′(x)＝ex·(x－2)＋ex＝ex(x－1)，当x∈(－∞，1)时，u′(x)<0，

∴u(x)在(－∞，1)上是减少的；当x∈(1，＋∞)时，u′(x)>0，

∴u(x)在(1，＋∞)上是增加的，∴当x＝1时，u(x)取得极小值u(1)＝－e.

又当x→＋∞时，u(x)→＋∞，当x<2时，u(x)<0，

∴实数m的取值范围为{m|－e<m<0}．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，直线的参数方程为(t为参数，0≤<π).

(1)若＝，求l的普通方程，直接写出C的直角坐标方程；

(2)若l与C有两个不同的交点A，B，且P(2，1)为AB的中点，求|AB|.

解　(1)由直线l的参数方程(t为参数)及α＝可得其直角坐标方程为x＋y－3＝0，由曲线C的极坐标方程ρ＝，

得其直角坐标方程为y2＝2x.

(2)把直线l的参数方程(t为参数)，

代入抛物线方程y2＝2x得t2sin2α＋2t(sin α－cos α)－3＝0(*)，

设A，B所对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝－.

∵P(2，1)为AB的中点，∴P点所对应的参数为＝－＝0，

∴sin α－cos α＝0，即α＝.则(*)变为t2－3＝0，此时t2＝6，t＝±，

∴|AB|＝2.

23.（10分）已知函数f(x)＝|2x|－|x＋3|.

(1)若对于任意的实数x，都有f(x)≥2m2－7m成立，求m的取值范围；

(2)若g(x)＝ax，方程f(x)＝g(x)有两个不同的实数根，求a的取值范围.

解　(1)由于f(x)＝|2x|－|x＋3|＝

所以f(x)的最小值为f(0)＝－3.

又因为对任意的实数x，都有

f(x)≥2m2－7m成立，

所以只需2m2－7m≤－3，

即2m2－7m＋3≤0，解得≤m≤3，

故m的取值范围为.

(2)方程f(x)＝g(x)有两个不同的实数根，

即函数y＝f(x)与y＝g(x)的图像有两个不同的交点，作出这两个函数的图像，由图像可知，a的取值范围是[－1，1)∪{－2}.