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专题07 圆锥曲线的最值（范围）问题-2022年高考数学圆锥曲线压轴题专题突破（通用版）
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专题7 圆锥曲线的最值（范围）问题
圆锥曲线的最值（范围）问题，因考查知识容量比较大，分析能力要求高，区分度高成为高考命题老师青睐的一个热点。
关于圆锥曲线最值（范围）问题处理常见有两种方法：利用圆锥曲线的定义和几何关系解决；利用基本不等式或函数最值问题解决。
方法1、利用定义法和几何关系求最值
解题技巧:遇见椭圆和双曲线中的最值问题常把到左焦点的距离转化为右焦点，反之也可以；遇见抛物线中的最值常把到焦点的距离转化为到准线的距离，反之也可以。
经典例题：
例1.（2020年广东省深圳四校联考）希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λ（λ≠1）的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy中，A(-2，1)，B(-2，4)，点P是满足的阿氏圆上的任一点，则该阿氏圆的方程为___________________；若点Q为抛物线E：y2=4x上的动点，Q在直线x=-1上的射影为H，则的最小值为___________.
【答案】
【解析】（1）利用直译法直接求出P点的轨迹．（2）先利用阿氏圆的定义将转化为P点到另一个定点的距离，然后结合抛物线的定义容易求得的最小值．
设P（x，y），由阿氏圆的定义可得
即化简得
则 设则由抛物线的定义可得
当且仅当四点共线时取等号，
的最小值为 故答案为：;.
【点睛】本题考查了抛物线的定义及几何性质，同时考查了阿氏圆定义的应用．还考查了学生利用转化思想、方程思想等思想方法解题的能力．难度较大．
例2、（2020年成都市外国语实验学校高三二诊模拟12题）已知点P在离心率为2的双曲线的左支上，，F是双曲线的右焦点，若周长的最小值是20，则此时的面积为（ ）
A． B． C． D．18
【答案】B
【解析】首先由双曲线的定义可知周长的最小值等于，再根据离心率的值可求出双曲线方程，求出直线与双曲线联立即可求出点的坐标，最后利用即可求出面积.
设双曲线的左焦点为，由题知：，.
周长.
当且仅当，，三点共线时取等号.所以.
所以，解得，双曲线方程为.
，：.
,解得，代入，得
所以的坐标为..故选：B
【点睛】本题主要考查双曲线的性质，同时考查了直线与双曲线的位置关系，属于难题.
例3、（2021江苏高三期中）已知椭圆内有两点A（1，3），B（3，0），P为椭圆上一点，则的最大值为______.
【答案】15
【分析】根据椭圆的方程，算出它的焦点坐标为B（3，0）和.因此连接，根据椭圆的定义得.再由三角形两边之差小于第三边，得到当且仅当点P在延长线上时，达到最大值，从而得到本题答案.
【解析】∵椭圆方程为，∴焦点坐标为B（3，0）和
连接，根据椭圆的定义，得，可得
因此
当且仅当点P在延长线上时，等号成立
综上所述，可得的最大值为15
【点睛】本题考查了椭圆相关距离的最值，变换得到是解题的关键.
例4.（2018年成都市高三模拟16题）已知是双曲线的右顶点到其一条渐近线的距离等于，抛物线E:焦点与双曲线C的右焦点重合，则抛物线上的动点M到直线:的距离之和的最小值为 ．
【答案】2
【解析】双曲线的渐近线方程为，右顶点到其一条渐近线的距离等于，
可得的，解得，即有。
由题意可得，解得，即有抛物线的方程为，
如图，过点M作MA⊥l1于点A,作MA⊥准线l2：x=-1于点C，连接MF，
根据抛物线的定义得MA+MC=MA+MF,设M到l1的距离为d1，M到l2的距离为d2
则d1 + d2=MA+MC=MA+MF,易知M,A,F三点共线时，MA+MF有最小值。
由焦点F（1,0）到直线l1的距离为2，即MA+MF的最小值为2 。
方法2、利用均值不等式或函数最值求最值(范围)
方法技巧:合理引入变量（长度，角度，斜率等）根据已知条件建立函数关系求最值（范围）或利用均值不等式求最值（范围）。
例1．（2017新课标Ⅰ12题 ）已知为抛物线：的焦点，过作两条互相垂直的直线，，直线与交于、两点，直线与交于、两点，则的最小值为
A．16 B．14 C．12 D．10
【答案】A
【解析】解法一：由已知垂直于轴是不符合题意，所以的斜率存在设为，的斜率为，
设，，，，此时直线方程为，
联立，得，∴
同理得 由抛物线定义可知
当且仅当（或）时，取得等号．故答案选A
解法二：设倾斜角为．作垂直准线，垂直轴，易知
；；
又DE与AB垂直，即DE的倾斜角为
而即：p=2；所以
当取等号，即最小值为16.故选A
【名师点睛】对于抛物线弦长问题，要重点抓住抛物线定义，到定点的距离要想到转化到准线上，另外，直线与抛物线联立，求判别式、韦达定理是通法，需要重点掌握.考查到最值问题时要能想到用函数方法进行解决和基本不等式.
例2、(山东省日照市2019届高三三模)在等腰梯形 中，且，其中，以为焦点且过点的双曲线的离心率为，以为焦点且过点的椭圆的离心率为，若对任意，不等式恒成立，则的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【解析】在等腰梯形ABCD中，
＝－＝,
由双曲线的定义可得,
由椭圆的定义可得,
则＝．
令在上单调递减，
所以，故选B．
例3、已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，点是曲线与的一个公共点，，分别是和的离心率，若，则的最小值为（ ）
A． B．4 C． D．9
【答案】A
【解析】由题意设焦距为，椭圆长轴长为，双曲线实轴为，
令在双曲线的右支上，由双曲线的定义，①
由椭圆定义，②
又∵，∴，③
，得，④
将④代入③，得，
∴，故选A．
例4．（2018年衡水中学12题）已知过抛物线的焦点的直线与抛物线交于，两点，且，抛物线的准线与轴交于，于点，且四边形的面积为，过的直线交抛物线于，两点，且，点为线段的垂直平分线与轴的交点，则点的横坐标的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】过作于，设直线与交点为，
由抛物线的性质可知，，，
设，，则，即，∴．
又，∴，∴，∴，∴，
又，，∴，，∴，
∴直角梯形的面积为，解得，∴，
设，，∵，∴，
设直线代入到中得，
∴，，∴，由以上式子可得，
由可得递增，即有，即，
又中点，∴直线的垂直平分线的方程为，
令，可得，故选A．
例5．（2019成都七中二诊模拟12题）已知过点P（0，2）的直线l与椭圆交于两个不同的点A（x1，y1）、B（x2，y2），记，则的取值范围是（ ）
A.（2，+∞） B.（2，） C.（2，4） D. （2，]
【答案】D
【解析】如图所示．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+2．A（x1，y2），B（x2，y2）．
联立y=kx+2和x2+2y2=2，化为（1+2k2）x2+8kx+6=0，
由题意：△＞0，即64k2-24（1+2k2）＞0，化为k2＞．（*）
∴x1+x2=，x1x2=．（**）
∵ ∴x1=λx2．与（**）联立可得：
∵k2＞ ∴
当直线l的斜率不存在时，A（0，1），B（0，-1），λ=，∴
综上可得： 故选：D．
点评：本题考查了直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、向量的坐标运算、不等式的性质，考查了灵活变形的能力，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．
例6．已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为___________.
【答案】
【分析】设椭圆的长半轴长为，双曲线的半实轴长，焦距．由椭圆及双曲线定义用，表示出，，在△中根据余弦定理可得到，与的关系，转化为离心率，再由基本不等式得结论．
【解析】如图，设椭圆的长半轴长为，双曲线的半实轴长为，
则根据椭圆及双曲线的定义：，，
，，设，，则：
在△中由余弦定理得，，
化简得：，即，
又，，即，
即椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为．故答案为：．
【点睛】本题考查圆锥曲线的共同特征，考查通过椭圆与双曲线的定义求焦点三角形三边长，解决本题的关键是根据所得出的条件灵活变形，求出焦点三角形的边长，属于中档题．
方法3、其他类型
技巧方法：利用题中的代数和几何关系（如角度、向量、斜率等）或判别式等，建立不等式构建最值或范围。
例1、（2017新课标1卷12题）设，是椭圆长轴的两个端点，若上存在点满足，则的取值范围是（ ）.
A. B. C. D.
【答案】
【解析】因为在上存在点，满足，所以.
当点位于短轴端点时，取得最大值.
① 当时，如图1所示，有，则，
所以，解得；
图1 图2 图3
② 当时，如图2示，有，则，
所以，解得.
综上可得，的取值范围是.故选A.
评注：先研究“椭圆，是长轴两端点，位于短轴端点时，最大”这一结论.
如图3所示，因为，所以.
设，因为（中点弦的一个结论），
（当且仅当，即时等号成立，此时位于短轴端点处）.
例2．（2018衡水中学12题）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点是双曲线上的任意一点，过点作双曲线的两条渐近线的平行线，分别与两条渐近线交于，两点，若四边形（为坐标原点）的面积为，且，则点的横坐标的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】
【解析】由题易知四边形为平行四边形，且不妨设双曲线的渐近线，，
设点，则直线的方程为，且点到的距离为，
由，解得，∴，
∴，∴，
又∵，∴，∴，
又，∴，双曲线的方程为，∴，∴，，
∴，，∴，
即，又∵，，解得或
例3．（2020年绵阳市南山中学高三二诊模拟12题）已知点是抛物线：准线上的一点，点是的焦点，点在上且满足，当取最小值时，点恰好在以原点为中心，为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 由点在抛物线的准线上，所以，所以抛物线的方程为，
所以抛物线的焦点，准线方程为，
过点作准线的垂线，垂直为，由抛物线的定义可知,
因为，则，当直线与抛物线相切时，此时取得最小值，
设直线的斜率为，则直线的方程为，
联立方程组 ，整理，由，解得，
此时直线的方程为，
由与抛物线方程联立，解得点，
此时双曲线的焦点坐标为，且过点
根据双曲线的定义可知，
所以，所以双曲线的离心率为 ，故选A。
例4．（2020·全国高三月考）已知抛物线的焦点，直线过点且与抛物线相交于，两点，，两点在轴上的投影分别为，，若，则直线斜率的最大值是（ ）
A． B．2 C．3 D．
【答案】A
【分析】设直线方程为，联立抛物线方程可得，设，，
则所以 ，
求解不等式即可得出答案.
【详解】因为抛物线的焦点，所以设直线方程为，
由，设，，
则所以，
解得，所以直线斜率的最大值是.故选：A.
【点睛】本题考查了利用韦达定理研究直线和抛物线的关系， 考查了根与系数的转化思想，考查了计算能力，属于难题.
例5．（2020·全国高三专题练习）一个工业凹槽的轴截面是双曲线的一部分，它的方程是,在凹槽内放入一个清洁钢球（规则的球体），要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部，则清洁钢球的最大半径为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．2.5
【答案】A
【分析】根据清洁钢球能擦净凹槽的最底部的轴截面图，只需圆与双曲线的顶点相交，联立圆与双曲线方程，得到关于的一元二次方程，要满足方程的根不能大于1，即可求解.
【详解】清洁钢球能擦净凹槽的最底部时，轴截面如下图所示，
圆心在双曲线的对称轴上，并与双曲线的顶点相交，设半径为，圆心为，
圆方程为：代入双曲线方程，
得，要使清洁球到达底部，.故选:A
【点睛】本题考查圆锥曲线方程的实际应用，关键要把实际问题抽象转化为数学问题，属于较难题.
例6．（2020·四川成都市·树德中学高三月考）已知圆和两点，.若圆上存在点，使得，则的最大值为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】B
【分析】由求出点P的轨迹是一个圆，根据两圆有公共点可得出的最大值.
【详解】解：设因为，所以点P在以线段为直径的圆上，记该圆为圆，
即此时点P的方程为，又因为点在圆上，故圆与圆有公共点，
故得到，解得： ，故，故选B.
【点睛】本题考查了轨迹思想，考查了两圆的位置关系，解题的关键是将条件转化为轨迹方程，从而解决问题.
课后训练
1.（2020年河北省高三模拟10题）唐代诗人李顾的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河。”诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】求出关于的对称点，根据题意，为最短距离，求出即可.
设点关于直线的对称点，设军营所在区域为的圆心为，
根据题意，为最短距离，先求出的坐标，
的中点为，直线的斜率为1，故直线为，
由，联立得故，，所以，
故，故选：A.
2、（2019年衡水中学高三模拟）已知双曲线的右焦点为，虚轴的上端点为为左支上的一个动点，若周长的最小值等于实轴长的倍，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先通过分析得到当且仅当共线，周长取得最小值，且为 可得解方程即得解.
【解析】由题意可得设由双曲线的定义可得，
则的周长为
当且仅当共线，取得最小值，且为
由题意可得即，即则故选
【点睛】本题主要考查双曲线的定义和简单几何性质，考查双曲线的离心率的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.
3、（2019年湖南省郴州市检测12题）已知椭圆的左、右焦点分别为、,点是椭圆与圆在第一象限的交点, 且点到的距离等于.若椭圆上一动点到点与到点的距离之差的最大值为,则椭圆的离心率为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设点为椭圆上的动点，
则．
当三点共线时，取得最大值，此时．
又，所以点是线段上靠近的一个三等分点，
所以，代入椭圆方程，得，
即，解得，即，故选B．
4、已知点，曲线，直线 (且)与曲线C交于两点，若周长 的最小值为2，则p的值为( )
A.8 B.6 C.4 D.2
【答案】B
【解析】易知曲线C是由两抛物线和构成，如图，设MN与y轴的交点为D，抛物线的焦点为F,
连接.即，则,的周长,当且仅当M,R,F三点共线时取等号，故,所以.
5．（2018年成都市高三诊断改编）已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设椭圆方程为，双曲线的方程为，半焦距为c，由面积公式得，所以，令，
所以，即椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为．
考点：离心率的表示方法焦点三角形的面积公式
6、（2016年四川省凉山州高三二诊12题）已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设椭圆的长半轴为 ，双曲线的实半轴为 ，（），半焦距为 ，
由椭圆和双曲线的定义可知，设 椭圆和双曲线的离心率分别为
∵，则由余弦定理可得 ，①
在椭圆中，①化简为即 …②，
在双曲线中，①化简为即 …③，
由柯西不等式得 故选B．
【点睛】本题主要考查椭圆和双曲线的定义和性质，利用余弦定理和柯西不等式是解决本题的关键．
7．（2019届重庆市第一中学月考12题）已知是双曲线的右焦点，过点的直线交的右支于不同两点，过点且垂直于直线的直线交轴于点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】当直线的斜率不存在时，，，，，
则，故排除A；
当时，直线为，直线为，，
设，联立得，化简得，
由韦达定理得，故，，
故，故排除C，D，故选B
8、（2014年新课标16题）设点，若在圆：上存在点，使得，则的取值范围是 .
解析 解法一：依题意，若圆上存在点，使得，
如图所示.因为，所以，
因此，即，
得，故，解得.所以的取值范围是.
解法二：在中，由，据正弦定理得，
即.又，所以，
得，解得.所以的取值范围是.
9．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)和圆C′：x2＋y2＝b2，M是椭圆C上一动点，过M向圆作的两条切线MA，MB，切点为A，B.若存在点M使∠AMB＝，则椭圆C的离心率e的取值范围是( )
A. B． C. D．
解析：选C.设O为坐标原点．若存在点M使∠AMB＝，经分析知，只需∠AMB的最小角小于或等于，即只需∠AMO≤，
此时点M为椭圆长轴的端点，画出大致图形如图所示．
连接AO，BO，则在Rt△AOM中，sin∠AMO＝＝，
所以sin∠AMO≤sin ，即≤，
所以≤，所以≤，即1－e2≤，解得e≥，又e<1，
所以椭圆C的离心率e的取值范围是.故选C.
9．设，是椭圆上长轴的两个端点，若椭圆上恒存在一点，使得，则椭圆离心率的取值范围是（ ）.
（A） (B) (C) (D)
解析 由题可知当为上顶点或下顶点时为最大，依题意得，
可得，即，若椭圆上恒存在一点满足，
则，即，所以，即．
故选D.
10．已知椭圆：的左、右焦点分别为，若椭圆上恰好有个不同的点，使得为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）.
A. B. C. D.
解析 设椭圆的上、下顶点分别为,,则与均为等腰三角形.由题知，椭圆上恰有个不同点，使得为等腰三角形，所以在四个象限各有一点，使得为等腰三角形，由椭圆的对称性，只考虑第一象限的情况即可.
令，如图所示，由图可得，即，得.
令，如图所示，由图可得，即，得.
综上可得，离心率的取值范围是. 故选D.
评注 本题利用对称性减少需考虑的对象，使问题变得简单明了.这种对称性思想在解决对称图形的相关问题时应用得很普遍，请同学们尝试使用.
11、在直角坐标系中，分别是双曲线的左、右焦点，点是双曲线右支上的一点，满足，若点的横坐标取值范围是，则双曲线的离心率取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由可得，，，，，由于，所以，，，，，.
12、阿波罗尼斯是古希腊数学家，他与阿基米德、欧几里得被称为亚历山人时期的“数学三巨匠”，以他名字命名的阿波罗尼斯圆是指平面内到两定点距离比值为定值的动点的轨迹.已知在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，则面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】依题意，，得，
即，以边所在的直线为轴，的垂直平分线为轴
建立直角坐标系，则，设，
由，则的轨迹为阿波罗尼斯圆，其方程为
，边高的最大值为，∴.
13．直线与双曲线的渐近线交于，两点，设为双曲线上任意一点，若（，为坐标原点），则下列不等式恒成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】 D
【解析】由题意，双曲线的渐近线方程为，联立直线，解得，
∴不妨设，，，∵，∴，，
∵为双曲线上的任意一点，∴，∴，
∴（时等号成立），可得，故选D.
14．（2020·广东高三月考）已知圆和焦点为F的抛物线上一点，M是上，当点M在时，取得最小值，当点M在时，取得最大值，则
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据抛物线的定义和三角形中两边之差小于第三边转化，当且仅当三点共线，且点N在线段上时等号成立，求得点的坐标，再根据三角形中两边之差小于第三边转化，当且仅当M为线段的延长线与抛物线的交点，且点N在线段上时等号成立，求得的坐标，从而求出，得解.
【详解】由已知得：，记的准线为l,如图,过点M作l的垂线,垂足为D,过点作l的垂线，垂中为，则,
当且仅当三点共线，且点N在线段上时等号成立，此时取得最小值，
则点的坐标为，,
当且仅当M为线段的延长线与抛物线的交点，且点N在线段上时等号成立，此时取得最大值，又直线的方程为，由，解得，或，
所以的坐标为，所以,故选D.
【点睛】本题关键在于根据抛物线的定义和三角形中两边之差小于第三边将所求的线段的和或差转化，进而得到取得最值的位置，属于中档题.
15．（2020·全国高二课时练习）已知椭圆的方程为，上顶点为，左顶点为，设为椭圆上一点，则面积的最大值为.若已知，点为椭圆上任意一点，则的最小值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】D
【分析】当面积的最大值时，直线与椭圆相切，设与直线平行的椭圆的切线方程为，与椭圆联立得到，由面积的最大值为，求得，，由均值不等式即得解.
【详解】在椭圆中，点，则，，
直线的方程为，设与直线平行的椭圆的切线方程为，
由方程组得，
由，得，则，
两平行线间的距离，
则面积的最大值为，得，∴，
∴，当且仅当时取等号.
【点睛】本题考查了直线和椭圆综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.
16．（2020·辽宁抚顺市·高三二模（理））已知双曲线的虚轴的一个顶点为，左顶点为，双曲线的左、右焦点分别为，，点为线段上的动点，当取得最小值和最大值时，的面积分别为，，若，则双曲线的离心率为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设直线所在直线的方程为，设，，，则可得，，从而可求出两向量的数量积的表达式，由二次函数的性质可求出当时，取得最小值，从而可求；当时，在处取得最大值，此时，，由可求出，进而可求离心率的值.
【详解】解：由题意可知，，则直线所在直线的方程为，
因为点在线段上，可设，其中．
设双曲线的焦距为，则，，，
从而，，
故．
因为，所以当时，取得最小值，
此时，．
当，即时，无最大值，所以不符合题意；
当，即时，在处取得最大值，此时，，
因为，所以，解得，符合题意．
综上，，，，故双曲线的离心率．故选:A.
【点睛】本题考查了双曲线的离心率的求解，考查了向量的数量积，考查了直线与双曲线的位置关系，考查了二次函数的最值问题.本题的难点在于分析出何时数量积取最值.本题的易错点在于计算.
17．（2020·四川泸州市·泸县五中高三月考）已知抛物线，圆，若点分别在上运动，且设点，则的最小值为（ ）
A． B． C．4 D．-4
【答案】B
【分析】设点,圆圆心为,半径为,要保证取得最小值,应,画出几何图形,结合已知,即可求得答案.
【详解】画出几何图形,如图:
设点,圆圆心为,半径为,
要保证取得最小值 根据图像可知应:
又
故
令
由二次函数可知:当时,取得最小 的最小值为:.故选:B.
【点睛】本题考查了圆锥曲线的最值问题,解题关键是掌握圆锥曲线的基础知识和在使用换元法时,要注意引入新变量的范围,在数量关系复杂时,画出几何草图,数学结合,寻找数量关系,考查了分析能力和计算能力,属于难题.
18、已知点在圆上，点在椭圆上，，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】根据题意，当三点共线时.
点睛：本题考查椭圆的定义，看出最小值IDE求法，属难题.
19、已知双曲线的左、右焦点分别为，实轴长为4，渐近线方程为，点N在圆上，则的最小值为( )
A． B．5 C．6 D．7
【答案】B
【解析】求得双曲线的a，b，可得双曲线方程，求得焦点坐标，运用双曲线的定义和三点共线取得最小值，连接CF2，交双曲线于M，圆于N，计算可得所求最小值．
由题意可得2a＝4，即a＝2，渐近线方程为y＝±x，即有，
即b＝1，可得双曲线方程为y2＝1，焦点为F1（，0），F2，（，0），
由双曲线的定义可得|MF1|＝2a+|MF2|＝4+|MF2|，
由圆x2+y2﹣4y＝0可得圆心C（0，2），半径r＝2，|MN|+|MF1|＝4+|MN|+|MF2|，
连接CF2，交双曲线于M，圆于N，可得|MN|+|MF2|取得最小值，且为|CF2|3，
则则|MN|+|MF1|的最小值为4+3﹣2＝5．故选：B．
【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查圆的方程的运用，以及三点共线取得最值，考查数形结合思想和运算能力，属于中档题．
20．（2019年成都树德中学半期12题）如图，已知抛物线C1的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，且过点(2,4)，圆C2：x2＋y2－4x＋3＝0，过圆心C2的直线l与抛物线分别交于P，Q，与圆分别交于M，N，则|PN|＋4|QM|的最小值为( )
A．23 B．42 C．12 D．52
【答案】A
【解析】设抛物线，则，即，
抛物线 焦点为，圆C2的圆心为（2,0），半径为1
由直线PQ过焦点F，则
|PN|＋4|QM|=
21．（2020年湖南省长沙市长郡中学5月模拟）已知抛物线，焦点记为，过点作直线交抛物线于两点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，设直线，代入可得，
设，则，由抛物线的定义可得，
则＝，令，则，
所以＝＝，故选A．
22．过曲线上的点向圆O：作两条切线，切点为,且，若这样的点有且只有两个，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】过点作圆的两条切线，设切点分别为，且，
则，则有，则P的轨迹为，
当时，曲线为，
当时，曲线为，当时，若这样的点P有且只有两个，必有，
即，解可得，当时，曲线为，符合题意，
当时，若这样的点P有且只有两个，必有，解可得，
则；故答案为：．
23. （2020年云南省昆明市高三模拟）已知椭圆（）的一个焦点是， 为坐标原点，过点的直线交椭圆于点.设为椭圆上一点，且满足，当，则实数的取值范围 .
【答案】
【解析】设直线A（x1，y1）B（x2，y2），AB的直线方程：
联立整理得：
由得到：
则，
由点在椭圆上，得，化简得，
因为，所以，即，
即，即，所以，
即，因为，所以，
所以，即的取值范围为．
专题7 圆锥曲线的最值（范围）问题
圆锥曲线的最值（范围）问题，因考查知识容量比较大，分析能力要求高，区分度高成为高考命题老师青睐的一个热点。
关于圆锥曲线最值（范围）问题处理常见有两种方法：利用圆锥曲线的定义和几何关系解决；利用基本不等式或函数最值问题解决。
方法1、利用定义法和几何关系求最值
解题技巧:遇见椭圆和双曲线中的最值问题常把到左焦点的距离转化为右焦点，反之也可以；遇见抛物线中的最值常把到焦点的距离转化为到准线的距离，反之也可以。
经典例题：
例1.（2020年广东省深圳四校联考）希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λ（λ≠1）的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy中，A(-2，1)，B(-2，4)，点P是满足的阿氏圆上的任一点，则该阿氏圆的方程为___________________；若点Q为抛物线E：y2=4x上的动点，Q在直线x=-1上的射影为H，则的最小值为___________.
【答案】
【解析】（1）利用直译法直接求出P点的轨迹．（2）先利用阿氏圆的定义将转化为P点到另一个定点的距离，然后结合抛物线的定义容易求得的最小值．
设P（x，y），由阿氏圆的定义可得
即化简得
则 设则由抛物线的定义可得
当且仅当四点共线时取等号，
的最小值为 故答案为：;.
【点睛】本题考查了抛物线的定义及几何性质，同时考查了阿氏圆定义的应用．还考查了学生利用转化思想、方程思想等思想方法解题的能力．难度较大．
例2、（2020年成都市外国语实验学校高三二诊模拟12题）已知点P在离心率为2的双曲线的左支上，，F是双曲线的右焦点，若周长的最小值是20，则此时的面积为（ ）
A． B． C． D．18
【答案】B
【解析】首先由双曲线的定义可知周长的最小值等于，再根据离心率的值可求出双曲线方程，求出直线与双曲线联立即可求出点的坐标，最后利用即可求出面积.
设双曲线的左焦点为，由题知：，.
周长.
当且仅当，，三点共线时取等号.所以.
所以，解得，双曲线方程为.
，：.
,解得，代入，得
所以的坐标为..故选：B
【点睛】本题主要考查双曲线的性质，同时考查了直线与双曲线的位置关系，属于难题.
例3、（2021江苏高三期中）已知椭圆内有两点A（1，3），B（3，0），P为椭圆上一点，则的最大值为______.
【答案】15
【分析】根据椭圆的方程，算出它的焦点坐标为B（3，0）和.因此连接，根据椭圆的定义得.再由三角形两边之差小于第三边，得到当且仅当点P在延长线上时，达到最大值，从而得到本题答案.
【解析】∵椭圆方程为，∴焦点坐标为B（3，0）和
连接，根据椭圆的定义，得，可得
因此
当且仅当点P在延长线上时，等号成立
综上所述，可得的最大值为15
【点睛】本题考查了椭圆相关距离的最值，变换得到是解题的关键.
例4.（2018年成都市高三模拟16题）已知是双曲线的右顶点到其一条渐近线的距离等于，抛物线E:焦点与双曲线C的右焦点重合，则抛物线上的动点M到直线:的距离之和的最小值为 ．
【答案】2
【解析】双曲线的渐近线方程为，右顶点到其一条渐近线的距离等于，
可得的，解得，即有。
由题意可得，解得，即有抛物线的方程为，
如图，过点M作MA⊥l1于点A,作MA⊥准线l2：x=-1于点C，连接MF，
根据抛物线的定义得MA+MC=MA+MF,设M到l1的距离为d1，M到l2的距离为d2
则d1 + d2=MA+MC=MA+MF,易知M,A,F三点共线时，MA+MF有最小值。
由焦点F（1,0）到直线l1的距离为2，即MA+MF的最小值为2 。
方法2、利用均值不等式或函数最值求最值(范围)
方法技巧:合理引入变量（长度，角度，斜率等）根据已知条件建立函数关系求最值（范围）或利用均值不等式求最值（范围）。
例1．（2017新课标Ⅰ12题 ）已知为抛物线：的焦点，过作两条互相垂直的直线，，直线与交于、两点，直线与交于、两点，则的最小值为
A．16 B．14 C．12 D．10
【答案】A
【解析】解法一：由已知垂直于轴是不符合题意，所以的斜率存在设为，的斜率为，
设，，，，此时直线方程为，
联立，得，∴
同理得 由抛物线定义可知
当且仅当（或）时，取得等号．故答案选A
解法二：设倾斜角为．作垂直准线，垂直轴，易知
；；
又DE与AB垂直，即DE的倾斜角为
而即：p=2；所以
当取等号，即最小值为16.故选A
【名师点睛】对于抛物线弦长问题，要重点抓住抛物线定义，到定点的距离要想到转化到准线上，另外，直线与抛物线联立，求判别式、韦达定理是通法，需要重点掌握.考查到最值问题时要能想到用函数方法进行解决和基本不等式.
例2、(山东省日照市2019届高三三模)在等腰梯形 中，且，其中，以为焦点且过点的双曲线的离心率为，以为焦点且过点的椭圆的离心率为，若对任意，不等式恒成立，则的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【解析】在等腰梯形ABCD中，
＝－＝,
由双曲线的定义可得,
由椭圆的定义可得,
则＝．
令在上单调递减，
所以，故选B．
例3、已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，点是曲线与的一个公共点，，分别是和的离心率，若，则的最小值为（ ）
A． B．4 C． D．9
【答案】A
【解析】由题意设焦距为，椭圆长轴长为，双曲线实轴为，
令在双曲线的右支上，由双曲线的定义，①
由椭圆定义，②
又∵，∴，③
，得，④
将④代入③，得，
∴，故选A．
例4．（2018年衡水中学12题）已知过抛物线的焦点的直线与抛物线交于，两点，且，抛物线的准线与轴交于，于点，且四边形的面积为，过的直线交抛物线于，两点，且，点为线段的垂直平分线与轴的交点，则点的横坐标的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】过作于，设直线与交点为，
由抛物线的性质可知，，，
设，，则，即，∴．
又，∴，∴，∴，∴，
又，，∴，，∴，
∴直角梯形的面积为，解得，∴，
设，，∵，∴，
设直线代入到中得，
∴，，∴，由以上式子可得，
由可得递增，即有，即，
又中点，∴直线的垂直平分线的方程为，
令，可得，故选A．
例5．（2019成都七中二诊模拟12题）已知过点P（0，2）的直线l与椭圆交于两个不同的点A（x1，y1）、B（x2，y2），记，则的取值范围是（ ）
A.（2，+∞） B.（2，） C.（2，4） D. （2，]
【答案】D
【解析】如图所示．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+2．A（x1，y2），B（x2，y2）．
联立y=kx+2和x2+2y2=2，化为（1+2k2）x2+8kx+6=0，
由题意：△＞0，即64k2-24（1+2k2）＞0，化为k2＞．（*）
∴x1+x2=，x1x2=．（**）
∵ ∴x1=λx2．与（**）联立可得：
∵k2＞ ∴
当直线l的斜率不存在时，A（0，1），B（0，-1），λ=，∴
综上可得： 故选：D．
点评：本题考查了直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、向量的坐标运算、不等式的性质，考查了灵活变形的能力，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．
例6．已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为___________.
【答案】
【分析】设椭圆的长半轴长为，双曲线的半实轴长，焦距．由椭圆及双曲线定义用，表示出，，在△中根据余弦定理可得到，与的关系，转化为离心率，再由基本不等式得结论．
【解析】如图，设椭圆的长半轴长为，双曲线的半实轴长为，
则根据椭圆及双曲线的定义：，，
，，设，，则：
在△中由余弦定理得，，
化简得：，即，
又，，即，
即椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为．故答案为：．
【点睛】本题考查圆锥曲线的共同特征，考查通过椭圆与双曲线的定义求焦点三角形三边长，解决本题的关键是根据所得出的条件灵活变形，求出焦点三角形的边长，属于中档题．
方法3、其他类型
技巧方法：利用题中的代数和几何关系（如角度、向量、斜率等）或判别式等，建立不等式构建最值或范围。
例1、（2017新课标1卷12题）设，是椭圆长轴的两个端点，若上存在点满足，则的取值范围是（ ）.
A. B. C. D.
【答案】
【解析】因为在上存在点，满足，所以.
当点位于短轴端点时，取得最大值.
① 当时，如图1所示，有，则，
所以，解得；
图1 图2 图3
② 当时，如图2示，有，则，
所以，解得.
综上可得，的取值范围是.故选A.
评注：先研究“椭圆，是长轴两端点，位于短轴端点时，最大”这一结论.
如图3所示，因为，所以.
设，因为（中点弦的一个结论），
（当且仅当，即时等号成立，此时位于短轴端点处）.
例2．（2018衡水中学12题）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点是双曲线上的任意一点，过点作双曲线的两条渐近线的平行线，分别与两条渐近线交于，两点，若四边形（为坐标原点）的面积为，且，则点的横坐标的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】
【解析】由题易知四边形为平行四边形，且不妨设双曲线的渐近线，，
设点，则直线的方程为，且点到的距离为，
由，解得，∴，
∴，∴，
又∵，∴，∴，
又，∴，双曲线的方程为，∴，∴，，
∴，，∴，
即，又∵，，解得或
例3．（2020年绵阳市南山中学高三二诊模拟12题）已知点是抛物线：准线上的一点，点是的焦点，点在上且满足，当取最小值时，点恰好在以原点为中心，为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 由点在抛物线的准线上，所以，所以抛物线的方程为，
所以抛物线的焦点，准线方程为，
过点作准线的垂线，垂直为，由抛物线的定义可知,
因为，则，当直线与抛物线相切时，此时取得最小值，
设直线的斜率为，则直线的方程为，
联立方程组 ，整理，由，解得，
此时直线的方程为，
由与抛物线方程联立，解得点，
此时双曲线的焦点坐标为，且过点
根据双曲线的定义可知，
所以，所以双曲线的离心率为 ，故选A。
例4．（2020·全国高三月考）已知抛物线的焦点，直线过点且与抛物线相交于，两点，，两点在轴上的投影分别为，，若，则直线斜率的最大值是（ ）
A． B．2 C．3 D．
【答案】A
【分析】设直线方程为，联立抛物线方程可得，设，，
则所以 ，
求解不等式即可得出答案.
【详解】因为抛物线的焦点，所以设直线方程为，
由，设，，
则所以，
解得，所以直线斜率的最大值是.故选：A.
【点睛】本题考查了利用韦达定理研究直线和抛物线的关系， 考查了根与系数的转化思想，考查了计算能力，属于难题.
例5．（2020·全国高三专题练习）一个工业凹槽的轴截面是双曲线的一部分，它的方程是,在凹槽内放入一个清洁钢球（规则的球体），要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部，则清洁钢球的最大半径为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．2.5
【答案】A
【分析】根据清洁钢球能擦净凹槽的最底部的轴截面图，只需圆与双曲线的顶点相交，联立圆与双曲线方程，得到关于的一元二次方程，要满足方程的根不能大于1，即可求解.
【详解】清洁钢球能擦净凹槽的最底部时，轴截面如下图所示，
圆心在双曲线的对称轴上，并与双曲线的顶点相交，设半径为，圆心为，
圆方程为：代入双曲线方程，
得，要使清洁球到达底部，.故选:A
【点睛】本题考查圆锥曲线方程的实际应用，关键要把实际问题抽象转化为数学问题，属于较难题.
例6．（2020·四川成都市·树德中学高三月考）已知圆和两点，.若圆上存在点，使得，则的最大值为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】B
【分析】由求出点P的轨迹是一个圆，根据两圆有公共点可得出的最大值.
【详解】解：设因为，所以点P在以线段为直径的圆上，记该圆为圆，
即此时点P的方程为，又因为点在圆上，故圆与圆有公共点，
故得到，解得： ，故，故选B.
【点睛】本题考查了轨迹思想，考查了两圆的位置关系，解题的关键是将条件转化为轨迹方程，从而解决问题.
课后训练
1.（2020年河北省高三模拟10题）唐代诗人李顾的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河。”诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】求出关于的对称点，根据题意，为最短距离，求出即可.
设点关于直线的对称点，设军营所在区域为的圆心为，
根据题意，为最短距离，先求出的坐标，
的中点为，直线的斜率为1，故直线为，
由，联立得故，，所以，
故，故选：A.
2、（2019年衡水中学高三模拟）已知双曲线的右焦点为，虚轴的上端点为为左支上的一个动点，若周长的最小值等于实轴长的倍，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先通过分析得到当且仅当共线，周长取得最小值，且为 可得解方程即得解.
【解析】由题意可得设由双曲线的定义可得，
则的周长为
当且仅当共线，取得最小值，且为
由题意可得即，即则故选
【点睛】本题主要考查双曲线的定义和简单几何性质，考查双曲线的离心率的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.
3、（2019年湖南省郴州市检测12题）已知椭圆的左、右焦点分别为、,点是椭圆与圆在第一象限的交点, 且点到的距离等于.若椭圆上一动点到点与到点的距离之差的最大值为,则椭圆的离心率为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设点为椭圆上的动点，
则．
当三点共线时，取得最大值，此时．
又，所以点是线段上靠近的一个三等分点，
所以，代入椭圆方程，得，
即，解得，即，故选B．
4、已知点，曲线，直线 (且)与曲线C交于两点，若周长 的最小值为2，则p的值为( )
A.8 B.6 C.4 D.2
【答案】B
【解析】易知曲线C是由两抛物线和构成，如图，设MN与y轴的交点为D，抛物线的焦点为F,
连接.即，则,的周长,当且仅当M,R,F三点共线时取等号，故,所以.
5．（2018年成都市高三诊断改编）已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设椭圆方程为，双曲线的方程为，半焦距为c，由面积公式得，所以，令，
所以，即椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为．
考点：离心率的表示方法焦点三角形的面积公式
6、（2016年四川省凉山州高三二诊12题）已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设椭圆的长半轴为 ，双曲线的实半轴为 ，（），半焦距为 ，
由椭圆和双曲线的定义可知，设 椭圆和双曲线的离心率分别为
∵，则由余弦定理可得 ，①
在椭圆中，①化简为即 …②，
在双曲线中，①化简为即 …③，
由柯西不等式得 故选B．
【点睛】本题主要考查椭圆和双曲线的定义和性质，利用余弦定理和柯西不等式是解决本题的关键．
7．（2019届重庆市第一中学月考12题）已知是双曲线的右焦点，过点的直线交的右支于不同两点，过点且垂直于直线的直线交轴于点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】当直线的斜率不存在时，，，，，
则，故排除A；
当时，直线为，直线为，，
设，联立得，化简得，
由韦达定理得，故，，
故，故排除C，D，故选B
8、（2014年新课标16题）设点，若在圆：上存在点，使得，则的取值范围是 .
解析 解法一：依题意，若圆上存在点，使得，
如图所示.因为，所以，
因此，即，
得，故，解得.所以的取值范围是.
解法二：在中，由，据正弦定理得，
即.又，所以，
得，解得.所以的取值范围是.
9．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)和圆C′：x2＋y2＝b2，M是椭圆C上一动点，过M向圆作的两条切线MA，MB，切点为A，B.若存在点M使∠AMB＝，则椭圆C的离心率e的取值范围是( )
A. B． C. D．
解析：选C.设O为坐标原点．若存在点M使∠AMB＝，经分析知，只需∠AMB的最小角小于或等于，即只需∠AMO≤，
此时点M为椭圆长轴的端点，画出大致图形如图所示．
连接AO，BO，则在Rt△AOM中，sin∠AMO＝＝，
所以sin∠AMO≤sin ，即≤，
所以≤，所以≤，即1－e2≤，解得e≥，又e<1，
所以椭圆C的离心率e的取值范围是.故选C.
9．设，是椭圆上长轴的两个端点，若椭圆上恒存在一点，使得，则椭圆离心率的取值范围是（ ）.
（A） (B) (C) (D)
解析 由题可知当为上顶点或下顶点时为最大，依题意得，
可得，即，若椭圆上恒存在一点满足，
则，即，所以，即．
故选D.
10．已知椭圆：的左、右焦点分别为，若椭圆上恰好有个不同的点，使得为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）.
A. B. C. D.
解析 设椭圆的上、下顶点分别为,,则与均为等腰三角形.由题知，椭圆上恰有个不同点，使得为等腰三角形，所以在四个象限各有一点，使得为等腰三角形，由椭圆的对称性，只考虑第一象限的情况即可.
令，如图所示，由图可得，即，得.
令，如图所示，由图可得，即，得.
综上可得，离心率的取值范围是. 故选D.
评注 本题利用对称性减少需考虑的对象，使问题变得简单明了.这种对称性思想在解决对称图形的相关问题时应用得很普遍，请同学们尝试使用.
11、在直角坐标系中，分别是双曲线的左、右焦点，点是双曲线右支上的一点，满足，若点的横坐标取值范围是，则双曲线的离心率取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由可得，，，，，由于，所以，，，，，.
12、阿波罗尼斯是古希腊数学家，他与阿基米德、欧几里得被称为亚历山人时期的“数学三巨匠”，以他名字命名的阿波罗尼斯圆是指平面内到两定点距离比值为定值的动点的轨迹.已知在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，则面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】依题意，，得，
即，以边所在的直线为轴，的垂直平分线为轴
建立直角坐标系，则，设，
由，则的轨迹为阿波罗尼斯圆，其方程为
，边高的最大值为，∴.
13．直线与双曲线的渐近线交于，两点，设为双曲线上任意一点，若（，为坐标原点），则下列不等式恒成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】 D
【解析】由题意，双曲线的渐近线方程为，联立直线，解得，
∴不妨设，，，∵，∴，，
∵为双曲线上的任意一点，∴，∴，
∴（时等号成立），可得，故选D.
14．（2020·广东高三月考）已知圆和焦点为F的抛物线上一点，M是上，当点M在时，取得最小值，当点M在时，取得最大值，则
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据抛物线的定义和三角形中两边之差小于第三边转化，当且仅当三点共线，且点N在线段上时等号成立，求得点的坐标，再根据三角形中两边之差小于第三边转化，当且仅当M为线段的延长线与抛物线的交点，且点N在线段上时等号成立，求得的坐标，从而求出，得解.
【详解】由已知得：，记的准线为l,如图,过点M作l的垂线,垂足为D,过点作l的垂线，垂中为，则,
当且仅当三点共线，且点N在线段上时等号成立，此时取得最小值，
则点的坐标为，,
当且仅当M为线段的延长线与抛物线的交点，且点N在线段上时等号成立，此时取得最大值，又直线的方程为，由，解得，或，
所以的坐标为，所以,故选D.
【点睛】本题关键在于根据抛物线的定义和三角形中两边之差小于第三边将所求的线段的和或差转化，进而得到取得最值的位置，属于中档题.
15．（2020·全国高二课时练习）已知椭圆的方程为，上顶点为，左顶点为，设为椭圆上一点，则面积的最大值为.若已知，点为椭圆上任意一点，则的最小值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】D
【分析】当面积的最大值时，直线与椭圆相切，设与直线平行的椭圆的切线方程为，与椭圆联立得到，由面积的最大值为，求得，，由均值不等式即得解.
【详解】在椭圆中，点，则，，
直线的方程为，设与直线平行的椭圆的切线方程为，
由方程组得，
由，得，则，
两平行线间的距离，
则面积的最大值为，得，∴，
∴，当且仅当时取等号.
【点睛】本题考查了直线和椭圆综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.
16．（2020·辽宁抚顺市·高三二模（理））已知双曲线的虚轴的一个顶点为，左顶点为，双曲线的左、右焦点分别为，，点为线段上的动点，当取得最小值和最大值时，的面积分别为，，若，则双曲线的离心率为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设直线所在直线的方程为，设，，，则可得，，从而可求出两向量的数量积的表达式，由二次函数的性质可求出当时，取得最小值，从而可求；当时，在处取得最大值，此时，，由可求出，进而可求离心率的值.
【详解】解：由题意可知，，则直线所在直线的方程为，
因为点在线段上，可设，其中．
设双曲线的焦距为，则，，，
从而，，
故．
因为，所以当时，取得最小值，
此时，．
当，即时，无最大值，所以不符合题意；
当，即时，在处取得最大值，此时，，
因为，所以，解得，符合题意．
综上，，，，故双曲线的离心率．故选:A.
【点睛】本题考查了双曲线的离心率的求解，考查了向量的数量积，考查了直线与双曲线的位置关系，考查了二次函数的最值问题.本题的难点在于分析出何时数量积取最值.本题的易错点在于计算.
17．（2020·四川泸州市·泸县五中高三月考）已知抛物线，圆，若点分别在上运动，且设点，则的最小值为（ ）
A． B． C．4 D．-4
【答案】B
【分析】设点,圆圆心为,半径为,要保证取得最小值,应,画出几何图形,结合已知,即可求得答案.
【详解】画出几何图形,如图:
设点,圆圆心为,半径为,
要保证取得最小值 根据图像可知应:
又
故
令
由二次函数可知:当时,取得最小 的最小值为:.故选:B.
【点睛】本题考查了圆锥曲线的最值问题,解题关键是掌握圆锥曲线的基础知识和在使用换元法时,要注意引入新变量的范围,在数量关系复杂时,画出几何草图,数学结合,寻找数量关系,考查了分析能力和计算能力,属于难题.
18、已知点在圆上，点在椭圆上，，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】根据题意，当三点共线时.
点睛：本题考查椭圆的定义，看出最小值IDE求法，属难题.
19、已知双曲线的左、右焦点分别为，实轴长为4，渐近线方程为，点N在圆上，则的最小值为( )
A． B．5 C．6 D．7
【答案】B
【解析】求得双曲线的a，b，可得双曲线方程，求得焦点坐标，运用双曲线的定义和三点共线取得最小值，连接CF2，交双曲线于M，圆于N，计算可得所求最小值．
由题意可得2a＝4，即a＝2，渐近线方程为y＝±x，即有，
即b＝1，可得双曲线方程为y2＝1，焦点为F1（，0），F2，（，0），
由双曲线的定义可得|MF1|＝2a+|MF2|＝4+|MF2|，
由圆x2+y2﹣4y＝0可得圆心C（0，2），半径r＝2，|MN|+|MF1|＝4+|MN|+|MF2|，
连接CF2，交双曲线于M，圆于N，可得|MN|+|MF2|取得最小值，且为|CF2|3，
则则|MN|+|MF1|的最小值为4+3﹣2＝5．故选：B．
【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查圆的方程的运用，以及三点共线取得最值，考查数形结合思想和运算能力，属于中档题．
20．（2019年成都树德中学半期12题）如图，已知抛物线C1的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，且过点(2,4)，圆C2：x2＋y2－4x＋3＝0，过圆心C2的直线l与抛物线分别交于P，Q，与圆分别交于M，N，则|PN|＋4|QM|的最小值为( )
A．23 B．42 C．12 D．52
【答案】A
【解析】设抛物线，则，即，
抛物线 焦点为，圆C2的圆心为（2,0），半径为1
由直线PQ过焦点F，则
|PN|＋4|QM|=
21．（2020年湖南省长沙市长郡中学5月模拟）已知抛物线，焦点记为，过点作直线交抛物线于两点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，设直线，代入可得，
设，则，由抛物线的定义可得，
则＝，令，则，
所以＝＝，故选A．
22．过曲线上的点向圆O：作两条切线，切点为,且，若这样的点有且只有两个，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】过点作圆的两条切线，设切点分别为，且，
则，则有，则P的轨迹为，
当时，曲线为，
当时，曲线为，当时，若这样的点P有且只有两个，必有，
即，解可得，当时，曲线为，符合题意，
当时，若这样的点P有且只有两个，必有，解可得，
则；故答案为：．
23. （2020年云南省昆明市高三模拟）已知椭圆（）的一个焦点是， 为坐标原点，过点的直线交椭圆于点.设为椭圆上一点，且满足，当，则实数的取值范围 .
【答案】
【解析】设直线A（x1，y1）B（x2，y2），AB的直线方程：
联立整理得：
由得到：
则，
由点在椭圆上，得，化简得，
因为，所以，即，
即，即，所以，
即，因为，所以，
所以，即的取值范围为．
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