专题04 圆锥曲线与外心问题-2022年高考数学圆锥曲线压轴题专题突破（通用版）

专题4、圆锥曲线与外心问题：

从近几年圆锥曲线的命题风格看，既注重知识又注重能力，既突出圆锥曲线的本质特征。而现在圆锥曲线中面积、弦长、最值等几乎成为研究的常规问题。“四心”问题进入圆锥曲线，让我们更是耳目一新。因此在高考数学复习中，通过让学生研究三角形的“四心”与圆锥曲线的结合问题，快速提高学生的数学解题能力，增强学生的信心，备战高考．

三角形的外心：三角形三条垂直平分线的交点

知识储备：

(1)、O是的外心(或)；

(2)、若点O是的外心，则=0.

(3)、若O是的外心，则;

(4)、多心组合：的外心、重心、垂心共线，即∥

经典例题

例1．已知坐标平面中，点，分别为双曲线（）的左、右焦点，点在双曲线的左支上，与双曲线的一条渐近线交于点，且为的中点，点为的外心，若、、三点共线，则双曲线的离心率为（    ）

A． B．3 C． D．5

例2．设为双曲线的右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线在第一象限的交点为，线段的中点为，的外心为，且满足，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C．2 D．

例3．（2020·四川高三月考）已知点，是椭圆的左、右焦点，点是这个椭圆上位于轴上方的点，点是的外心，若存在实数，使得，则当的面积为8时，的最小值为（   ）

A．4 B． C． D．

例4．已知椭圆和双曲线其中若两者图像在第二象限的交点为A，椭圆的左右焦点分别为B、C，T为△ABC的外心，则的值为_____.

例5．已知点分别为双曲线的左、右焦点，点A，B在C的右支上，且点恰好为的外心，若，则C的离心率为__________.

例6．（2020.广东省高三期末）已知椭圆的下顶点为，若直线与椭圆交于不同的两点、，则当_____时，外心的横坐标最大．

例7．（2019年成都七中半期16题）,分别为双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，满足，若的内切圆半径与外接圆半径之比为，则该双曲线的离心率为_______ .

例8．（2018全国高中数学联赛（湖北预赛））已知点在离心率为的双曲线上，为双曲线的两个焦点，且，则的内切圆半径与外接圆半径之比为____.

例9.（2020年河南省质量检测（二）改编）已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线l交椭圆C于两点，过A作x轴的垂线交椭圆C与另一点Q（Q不与重合）.设的外心为G，则的值为            .

例10（2020年湖北省宜昌市高三调研12题）设为双曲线的右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线在第一象限的交点为，线段的中点为，的外心为，且满足，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C．2 D．

例11.（2019年衡水中学联考12题）已知坐标平面中，点，分别为双曲线（）的左、右焦点，点在双曲线的左支上，与双曲线的一条渐近线交于点，且为的中点，点为的外心，若、、三点共线，则双曲线的离心率为（    ）

A． B．3 C． D．5

例12.（2019云南省曲靖市二模16题）已知斜率为1的直线与抛物线交于两点，若的外心为为坐标原点）,则当最大时，=____.

课后训练：

1．（2020·四川棠湖中学高三（理））已知点，是椭圆的左、右焦点，点是这个椭圆上位于轴上方的点，点是的外心，若存在实数，使得，则当的面积为8时，的最小值为__________．

2．已知点，B、C在轴上，且，则外心的轨迹的方程               ；

3．在平面直角坐标系中，已知椭圆的方程为，设经过点的直线交椭圆于，两点，点.设点为椭圆的左焦点，若点为的外心，则实数的值       .

4．设点M、N分别是不等边△ABC的重心与外心，已知、，且.

则动点C的轨迹E                   ；

5．（2019·广西高三期末（理））在直角坐标系xOy中直线与抛物线C：交于A，B两点．若D为直线外一点，且的外心M在C上，则M的坐标为                   ．

6．如图，椭圆，抛物线，设相交于A、B两点，O为坐标原点.

若△ABO的外心在椭圆上，则实数p的值            ；

7．（2020·福建高三月考（理））设椭圆的右焦点为，过的直线与相交于两点.

设过点作轴的垂线交于另一点，若是的外心，则的值为          .

8．在平面直角坐标系中，已知圆：，点，，点在圆：上，直线与圆交于，两点（点在轴上方），点是抛物线上的动点，点为的外心，则线段长度的最大值为             ，当线段长度最大时，则外接圆的标准方程为                        .

9．为双曲线上一点，分别为的左、右焦点，，若外接圆半径与其内切圆半径之比为，则的离心率为（    ）

A． B．2 C．或 D．2或3

10．（2018上海市高三模拟）已知椭圆和双曲线其中若两者图像在第二象限的交点为A，椭圆的左右焦点分别为B、C，T为△ABC的外心，则的值为_____.

11. 为双曲线右支上的一点，分别为左、右焦点，，若的外接圆半径是其内切圆半径的3倍，则双曲线的离心率为（   ）

A． B． C．或        D．或

12．（2018年四川省棠湖中学三诊16题）已知点，是椭圆的左、右焦点，点是这个椭圆上位于轴上方的点，点是的外心，若存在实数，使得，则当的面积为8时，的最小值为__________．

13．F1，F2分别为双曲线（a，b>0）的左、右焦点，点P在双曲线上，满足0，若△PF1F2的内切圆半径与外接圆半径之比为，则该双曲线的离心率为_____.

14. 数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心，依次在同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线后人称为三角形的欧拉线．已知的顶点，若其欧拉线方程为，则顶点的坐标是         ．

15．已知、分别为双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，、分别为的重心、内心．若轴，则的外接圆半径______．

16．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，,点是椭圆上一动点（与左、右顶点不重合）,过的直线交椭圆于两点，过作轴的垂线交椭圆与另一点（不与重合）.设的外心为，则的值为