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专题06 圆锥曲线中的其他问题-2022年高考数学圆锥曲线压轴题专题突破（通用版）
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这是一份专题06 圆锥曲线中的其他问题-2022年高考数学圆锥曲线压轴题专题突破（通用版）
专题6. 圆锥曲线中的其他问题通过近几年各地高考试题可以发现,对对称性、共线、切线等问题的考查在逐渐加深,并与圆锥曲线相结合在一起命题,成为一个新的动向.与圆相关几何性质、最值问题、轨迹问题等都能与椭圆、双曲线和抛物线想结合可以呈现别具一格的新颖试题.题型1 共线问题1．（2021·哈尔滨市高三一模）已知椭圆：的离心率为，且过点，椭圆的右顶点为，点的坐标为．（1）求椭圆的方程；（2）已知纵坐标不同的两点，为椭圆上的两个点，且，，三点共线，线段的中点为，求直线的斜率的取值范围．2．（2021·陕西榆林市·高三其他模拟（理））如图，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.已知椭圆的左､右焦点分别为，，左､右顶点分别为A，B，一光线从点射出经椭圆C上P点反射，法线(与椭圆C在P处的切线垂直的直线)与x轴交于点Q，已知，.（1）求椭圆C的方程.（2）过的直线与椭圆C交于M，N两点(均不与A，B重合)，直线与直线交于G点，证明：A，N，G三点共线.3．（2021·浙江高三期末）已知椭圆的焦点在x轴上，它的一个顶点为，离心率，过椭圆的右焦点F作与坐标轴不垂直的直线l，交椭圆于A、B两点．（1）求椭圆的标准方程；（2）设点是线段上的一个动点，且，求m的取值范围；（3）设点C是点A关于x轴的对称点，在x轴上是否存在一个定点N，使C、B、N三点共线？若存在，求出定点N的坐标，若不存在，请说明理由．4．（2020·四川凉山彝族自治州·高三期中）已知椭圆的一个顶点恰好是抛物线的焦点，其离心率与双曲线的离心率互为倒数.（1）求椭圆的标准方程；（2）若过椭圆的右焦点作与坐标轴不垂直的直线交椭圆于、两点，设点关于轴的对称点为，当直线绕着点转动时，试探究：是否存在定点，使得、、三点共线？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.题型2 对称问题1.（2021·陕西宝鸡市·高三一模（文））已知抛物线：的焦点为，直线：与抛物线交于，两点.（1）若，求的面积；（2）若抛物线上存在两个不同的点，关于直线对称，求的取值范围.2．（2021·全国高三专题练习）定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个端点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”.如果两个椭圆的“特征三角形”是相似的，那么称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将“特征三角形”的相似比称为椭圆的相似比.已知椭圆C1：＋y2＝1，椭圆C2与C1是“相似椭圆”，且椭圆C2的短半轴长为b.（1）写出椭圆C2的方程；（2）若在椭圆C2上存在两点M，N关于直线y＝x＋1对称，求实数b的取值范围.3．（2021·重庆北碚区·西南大学附中高三期末）已知椭圆的左､右焦点为､，离心率为，过的直线交C于A､B两点，若的周长为8.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若椭圆上存在两点关于直线对称，求m的取值范围.4．（2021·全国高三模拟（理））已知椭圆C：（）的左、右焦点为、，离心率为，点G与关于直线l：对称.（1）求直线被椭圆C所截得的弦长；（2）是否存在直线：与椭圆C交于不同的两点M，N，使得直线、关于所在直线对称？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.题型3 切线问题1．（2021·曲靖市第二中学高三二模（理））已知圆的方程为，直线的方程为，点为平面内一动点，是圆的一条切线为切点），并且点到直线的距离恰好等于切线长．（Ⅰ）求点的轨迹方程；（Ⅱ）已知直线的方程为，过直线上一点作（Ⅰ）中轨迹的两条切线，切点分别是，两点，求面积的最小值．2. （2019全国III理）已知曲线C：y=，D为直线y=上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.（1）证明：直线AB过定点。（2）若以E(0，)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积.3．（2017山东）在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率为，焦距为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）如图，动直线：交椭圆于两点，是椭圆上一点，直线 的斜率为，且，是线段延长线上一点，且，的半径为，是的两条切线，切点分别为．求的最大值，并求取得最大值时直线的斜率．4．（2018全国卷Ⅱ）设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，．(1)求的方程(2)求过点，且与的准线相切的圆的方程．题型4 恒等式（不等式）证明问题1．（2021·上海市西南位育中学高三期末）已知椭圆，其右焦点为F，直线l与圆相切于点Q，设直线l与椭圆E相交于不同的两点A、B.（1）若M点是椭圆E上任意一点，求出的最大值；（2）已知过椭圆E上的动点P引圆О的两条切线PC、PD（C、D为切点），探究在椭圆E上是否存在点P，使得由点P向圆O引的切线互相垂直；（3）当点在y轴右侧时，求证：.2．（2021·山西晋城市·高三一模）已知抛物线：，斜率为的直线与抛物线交于，两点，且线段的中点坐标为，其中.直线：与抛物线交于，两点.（1）证明：；（2）若直线与圆：交于，两点，证明：.3．（2021·全国高三月考（理））已知以椭圆的顶点为顶点的四边形面积是，且其离心率为，（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线经过椭圆的右焦点，且交椭圆于两点，证明：.4．（2021·全国高三专题练习）已知椭圆与抛物线有一个相同的焦点，圆与有且仅有两个交点且都在y轴上．（1）求椭圆E的方程；（2）过点的直线与椭圆C相切，斜率为的直线与椭圆E交于M，N两点，直线与直线交于点Q．证明：．题型5 几何与代数转化问题1. （2014年全国课标Ⅱ理）设,分别是椭圆的左右焦点，M是C上一点且与x轴垂直，直线与C的另一个交点为N，（Ⅰ）若直线MN的斜率为，求C的离心率；（Ⅱ）若直线MN在y轴上的截距为2，且，求a,b.2.（2021.河南省高三模拟）设椭圆C：的左焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60o，．K^S*5U.C#（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）如果|AB|=，求椭圆C的方程．3. （2021.广东高三模拟）设椭圆的方程为，点为坐标原点，点的坐标为，点的坐标为，点在线段上，满足，直线的斜率为（Ⅰ）求的离心率（Ⅱ）设点的坐标为，为线段的中点，点关于直线的对称点的纵坐标为，求的方程．课后训练：1．（2021·陕西榆林市·高三其他模拟（文））已知椭圆：的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，，.（1）求椭圆的方程.（2）过的直线与椭圆交于，两点（均不与，重合），直线与直线交于点，证明：，，三点共线.2.（2018北京文）已知椭圆的离心率为，焦距为，斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点（1）求椭圆的方程；（2）若，求的最大值；（3）设，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为，若和点共线，求3．（2021·安徽宿州市·高三期末）平面上动点到定点的距离比动点到直线的距离小1.记的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）若曲线上相异两点，关于直线对称，且，求实数的值.4．（2020·福建高三模拟）已知经过圆上点的切线方程是.（1）类比上述性质，直接写出经过椭圆上一点的切线方程；（2）已知椭圆，P为直线上的动点，过P作椭圆E的两条切线，切点分别为A､B，①求证：直线AB过定点.②当点P到直线AB的距离为时，求三角形PAB的外接圆方程.5．（2020·广东佛山市·高三二模（理））已知椭圆C：（）的离心率为，且过点.（1）求椭圆C的方程；（2）过坐标原点的直线与椭圆交于M，N两点，过点M作圆的一条切线，交椭圆于另一点P，连接，证明：.6．（2020·河北唐山市·高三一模（理））已知是轴上的动点（异于原点），点在圆上，且.设线段的中点为，当点移动时，记点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）当直线与圆相切于点，且点在第一象限.（ⅰ）求直线的斜率；（ⅱ）直线平行，交曲线于不同的两点、.线段的中点为，直线与曲线交于两点、，证明：.7．（2020·浙江高三其他模拟）已知抛物线，过点的直线交抛物线于两点．（1）若直线平行于轴，，求抛物线的方程；（2）对于（1）条件下的抛物线，当直线的斜率变化时，证明．8．（2021·安徽高三二模（理））已知椭圆：的右焦点为，过点且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为2，圆经过椭圆短轴顶点和两个焦点．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点作斜率为的直线交椭圆于、两点，点、满足：.试问，是否存在点，使得、、、四点到点的距离均相等？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由.9．（2021·陕西西安市·西安中学高三其他模拟（文））已知抛物线，焦点为.（1）若圆心在抛物线上的动圆，大小随位置而变化，但总是与直线相切，求所有的圆都经过的定点坐标；（2）若过点的直线与抛物线相交于、两点，若，求直线的斜率.10．（2021·江苏高三专题练习）已知椭圆过点，，其上顶点到直线的距离为2，过点的直线与，轴的交点分别为、，且.（1）证明：为定值；（2）如上图所示，若，关于原点对称，，关于原点对称，且，求四边形面积的最大值.11．（2021·江苏南通市·高三期末）在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，且经过点.（1）求椭圆的方程；（2）设、、、是椭圆上互异的四点（点在第一象限），其中、关于原点对称，、关于轴对称，且，求四边形面积的最大值.12．（2021·全国高三专题练习）设椭圆，O为原点，点是x轴上一定点，已知椭圆的长轴长等于，离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）直线与椭圆C交于两个不同点M，N，已知M关于y轴的对称点为，N关于原点O的对称点为，若点三点共线，求证：直线l经过定点．13．（2021·全国高三其他模拟（理））已知是坐标原点，椭圆：的左、右顶点分别为、，、为其左、右焦点，点是椭圆上异于、的任意一动点，过点作直线轴，为直线上一点．（1）若与关于直线对称，且于，，求的面积；（2）若，证明：、、三点共线．14．（2019·浙江省宁波市鄞州中学高三其他模拟）已知点是椭圆外一点，过点作椭圆的两条切线，切点分别为．（1）求证：切线的方程是；（2）设点为抛物线上的动点，求面积的最小值．15．（2020·福建厦门市·高三期中）已知圆，动点，线段与圆交于点，轴，垂足为，.（1）求动点的轨迹的方程；（2）设为曲线上的一点，过点作圆的两条切线，分别为两切线的斜率，若，求点的坐标.16．（2020·湖南高三期末）已知椭圆过点，且离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）已知圆方程为，过圆上任意一点作圆的切线，切线与椭圆交于，两点，为坐标原点，设为的中点，求的取值范围.17．（2021·全国高三月考（理））直线与曲线交于，两点，与的中点的横坐标为2．（1）求曲线的方程；（2）过，两点作曲线的切线，两切线交于点，直线交曲线于点，求证：是线段的中点．18．（2020·浙江温州市·温州中学高三期中）对于椭圆，有如下性质：若点是椭圆外一点，，是椭圆的两条切线，则切点A，B所在直线的方程是，可利用此结论解答下列问题．已知椭圆C：和点，过点P作椭圆C的两条切线，切点是A，B，记点A，B到直线（O是坐标原点）的距离是，．（1）当时，求线段的长；（2）求的最大值．19．（2021·上海高三专题练习）已知椭圆，试确定的取值范围，使得对于直线，椭圆上总有不同的两点关于该直线对称.
专题6. 圆锥曲线中的其他问题通过近几年各地高考试题可以发现,对对称性、共线、切线等问题的考查在逐渐加深,并与圆锥曲线相结合在一起命题,成为一个新的动向.与圆相关几何性质、最值问题、轨迹问题等都能与椭圆、双曲线和抛物线想结合可以呈现别具一格的新颖试题.题型1 共线问题1．（2021·哈尔滨市高三一模）已知椭圆：的离心率为，且过点，椭圆的右顶点为，点的坐标为．（1）求椭圆的方程；（2）已知纵坐标不同的两点，为椭圆上的两个点，且，，三点共线，线段的中点为，求直线的斜率的取值范围．2．（2021·陕西榆林市·高三其他模拟（理））如图，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.已知椭圆的左､右焦点分别为，，左､右顶点分别为A，B，一光线从点射出经椭圆C上P点反射，法线(与椭圆C在P处的切线垂直的直线)与x轴交于点Q，已知，.（1）求椭圆C的方程.（2）过的直线与椭圆C交于M，N两点(均不与A，B重合)，直线与直线交于G点，证明：A，N，G三点共线.3．（2021·浙江高三期末）已知椭圆的焦点在x轴上，它的一个顶点为，离心率，过椭圆的右焦点F作与坐标轴不垂直的直线l，交椭圆于A、B两点．（1）求椭圆的标准方程；（2）设点是线段上的一个动点，且，求m的取值范围；（3）设点C是点A关于x轴的对称点，在x轴上是否存在一个定点N，使C、B、N三点共线？若存在，求出定点N的坐标，若不存在，请说明理由．4．（2020·四川凉山彝族自治州·高三期中）已知椭圆的一个顶点恰好是抛物线的焦点，其离心率与双曲线的离心率互为倒数.（1）求椭圆的标准方程；（2）若过椭圆的右焦点作与坐标轴不垂直的直线交椭圆于、两点，设点关于轴的对称点为，当直线绕着点转动时，试探究：是否存在定点，使得、、三点共线？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.题型2 对称问题1.（2021·陕西宝鸡市·高三一模（文））已知抛物线：的焦点为，直线：与抛物线交于，两点.（1）若，求的面积；（2）若抛物线上存在两个不同的点，关于直线对称，求的取值范围.2．（2021·全国高三专题练习）定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个端点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”.如果两个椭圆的“特征三角形”是相似的，那么称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将“特征三角形”的相似比称为椭圆的相似比.已知椭圆C1：＋y2＝1，椭圆C2与C1是“相似椭圆”，且椭圆C2的短半轴长为b.（1）写出椭圆C2的方程；（2）若在椭圆C2上存在两点M，N关于直线y＝x＋1对称，求实数b的取值范围.3．（2021·重庆北碚区·西南大学附中高三期末）已知椭圆的左､右焦点为､，离心率为，过的直线交C于A､B两点，若的周长为8.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若椭圆上存在两点关于直线对称，求m的取值范围.4．（2021·全国高三模拟（理））已知椭圆C：（）的左、右焦点为、，离心率为，点G与关于直线l：对称.（1）求直线被椭圆C所截得的弦长；（2）是否存在直线：与椭圆C交于不同的两点M，N，使得直线、关于所在直线对称？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.题型3 切线问题1．（2021·曲靖市第二中学高三二模（理））已知圆的方程为，直线的方程为，点为平面内一动点，是圆的一条切线为切点），并且点到直线的距离恰好等于切线长．（Ⅰ）求点的轨迹方程；（Ⅱ）已知直线的方程为，过直线上一点作（Ⅰ）中轨迹的两条切线，切点分别是，两点，求面积的最小值．2. （2019全国III理）已知曲线C：y=，D为直线y=上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.（1）证明：直线AB过定点。（2）若以E(0，)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积.3．（2017山东）在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率为，焦距为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）如图，动直线：交椭圆于两点，是椭圆上一点，直线 的斜率为，且，是线段延长线上一点，且，的半径为，是的两条切线，切点分别为．求的最大值，并求取得最大值时直线的斜率．4．（2018全国卷Ⅱ）设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，．(1)求的方程(2)求过点，且与的准线相切的圆的方程．题型4 恒等式（不等式）证明问题1．（2021·上海市西南位育中学高三期末）已知椭圆，其右焦点为F，直线l与圆相切于点Q，设直线l与椭圆E相交于不同的两点A、B.（1）若M点是椭圆E上任意一点，求出的最大值；（2）已知过椭圆E上的动点P引圆О的两条切线PC、PD（C、D为切点），探究在椭圆E上是否存在点P，使得由点P向圆O引的切线互相垂直；（3）当点在y轴右侧时，求证：.2．（2021·山西晋城市·高三一模）已知抛物线：，斜率为的直线与抛物线交于，两点，且线段的中点坐标为，其中.直线：与抛物线交于，两点.（1）证明：；（2）若直线与圆：交于，两点，证明：.3．（2021·全国高三月考（理））已知以椭圆的顶点为顶点的四边形面积是，且其离心率为，（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线经过椭圆的右焦点，且交椭圆于两点，证明：.4．（2021·全国高三专题练习）已知椭圆与抛物线有一个相同的焦点，圆与有且仅有两个交点且都在y轴上．（1）求椭圆E的方程；（2）过点的直线与椭圆C相切，斜率为的直线与椭圆E交于M，N两点，直线与直线交于点Q．证明：．题型5 几何与代数转化问题1. （2014年全国课标Ⅱ理）设,分别是椭圆的左右焦点，M是C上一点且与x轴垂直，直线与C的另一个交点为N，（Ⅰ）若直线MN的斜率为，求C的离心率；（Ⅱ）若直线MN在y轴上的截距为2，且，求a,b.2.（2021.河南省高三模拟）设椭圆C：的左焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60o，．K^S*5U.C#（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）如果|AB|=，求椭圆C的方程．3. （2021.广东高三模拟）设椭圆的方程为，点为坐标原点，点的坐标为，点的坐标为，点在线段上，满足，直线的斜率为（Ⅰ）求的离心率（Ⅱ）设点的坐标为，为线段的中点，点关于直线的对称点的纵坐标为，求的方程．课后训练：1．（2021·陕西榆林市·高三其他模拟（文））已知椭圆：的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，，.（1）求椭圆的方程.（2）过的直线与椭圆交于，两点（均不与，重合），直线与直线交于点，证明：，，三点共线.2.（2018北京文）已知椭圆的离心率为，焦距为，斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点（1）求椭圆的方程；（2）若，求的最大值；（3）设，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为，若和点共线，求3．（2021·安徽宿州市·高三期末）平面上动点到定点的距离比动点到直线的距离小1.记的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）若曲线上相异两点，关于直线对称，且，求实数的值.4．（2020·福建高三模拟）已知经过圆上点的切线方程是.（1）类比上述性质，直接写出经过椭圆上一点的切线方程；（2）已知椭圆，P为直线上的动点，过P作椭圆E的两条切线，切点分别为A､B，①求证：直线AB过定点.②当点P到直线AB的距离为时，求三角形PAB的外接圆方程.5．（2020·广东佛山市·高三二模（理））已知椭圆C：（）的离心率为，且过点.（1）求椭圆C的方程；（2）过坐标原点的直线与椭圆交于M，N两点，过点M作圆的一条切线，交椭圆于另一点P，连接，证明：.6．（2020·河北唐山市·高三一模（理））已知是轴上的动点（异于原点），点在圆上，且.设线段的中点为，当点移动时，记点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）当直线与圆相切于点，且点在第一象限.（ⅰ）求直线的斜率；（ⅱ）直线平行，交曲线于不同的两点、.线段的中点为，直线与曲线交于两点、，证明：.7．（2020·浙江高三其他模拟）已知抛物线，过点的直线交抛物线于两点．（1）若直线平行于轴，，求抛物线的方程；（2）对于（1）条件下的抛物线，当直线的斜率变化时，证明．8．（2021·安徽高三二模（理））已知椭圆：的右焦点为，过点且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为2，圆经过椭圆短轴顶点和两个焦点．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点作斜率为的直线交椭圆于、两点，点、满足：.试问，是否存在点，使得、、、四点到点的距离均相等？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由.9．（2021·陕西西安市·西安中学高三其他模拟（文））已知抛物线，焦点为.（1）若圆心在抛物线上的动圆，大小随位置而变化，但总是与直线相切，求所有的圆都经过的定点坐标；（2）若过点的直线与抛物线相交于、两点，若，求直线的斜率.10．（2021·江苏高三专题练习）已知椭圆过点，，其上顶点到直线的距离为2，过点的直线与，轴的交点分别为、，且.（1）证明：为定值；（2）如上图所示，若，关于原点对称，，关于原点对称，且，求四边形面积的最大值.11．（2021·江苏南通市·高三期末）在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，且经过点.（1）求椭圆的方程；（2）设、、、是椭圆上互异的四点（点在第一象限），其中、关于原点对称，、关于轴对称，且，求四边形面积的最大值.12．（2021·全国高三专题练习）设椭圆，O为原点，点是x轴上一定点，已知椭圆的长轴长等于，离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）直线与椭圆C交于两个不同点M，N，已知M关于y轴的对称点为，N关于原点O的对称点为，若点三点共线，求证：直线l经过定点．13．（2021·全国高三其他模拟（理））已知是坐标原点，椭圆：的左、右顶点分别为、，、为其左、右焦点，点是椭圆上异于、的任意一动点，过点作直线轴，为直线上一点．（1）若与关于直线对称，且于，，求的面积；（2）若，证明：、、三点共线．14．（2019·浙江省宁波市鄞州中学高三其他模拟）已知点是椭圆外一点，过点作椭圆的两条切线，切点分别为．（1）求证：切线的方程是；（2）设点为抛物线上的动点，求面积的最小值．15．（2020·福建厦门市·高三期中）已知圆，动点，线段与圆交于点，轴，垂足为，.（1）求动点的轨迹的方程；（2）设为曲线上的一点，过点作圆的两条切线，分别为两切线的斜率，若，求点的坐标.16．（2020·湖南高三期末）已知椭圆过点，且离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）已知圆方程为，过圆上任意一点作圆的切线，切线与椭圆交于，两点，为坐标原点，设为的中点，求的取值范围.17．（2021·全国高三月考（理））直线与曲线交于，两点，与的中点的横坐标为2．（1）求曲线的方程；（2）过，两点作曲线的切线，两切线交于点，直线交曲线于点，求证：是线段的中点．18．（2020·浙江温州市·温州中学高三期中）对于椭圆，有如下性质：若点是椭圆外一点，，是椭圆的两条切线，则切点A，B所在直线的方程是，可利用此结论解答下列问题．已知椭圆C：和点，过点P作椭圆C的两条切线，切点是A，B，记点A，B到直线（O是坐标原点）的距离是，．（1）当时，求线段的长；（2）求的最大值．19．（2021·上海高三专题练习）已知椭圆，试确定的取值范围，使得对于直线，椭圆上总有不同的两点关于该直线对称.
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