（全国通用）2022年中考数学命题点及重难题型分类突破练 第十七讲 平行四边形与多边形（原卷版+解析版）

第十七讲平行四边形与多边形
考点一、平行四边形的定义
平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形ABCD记作“口ABCD”，读作“平行四边形ABCD”.
【微点拨】平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心.
考点二、平行四边形的性质定理
平行四边形的对角相等；
平行四边形的对边相等；
平行四边形的对角线互相平分；
【微点拨】（1）平行四边形的性质定理中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性质可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系.
（2）由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择.
（3）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决.
考点三、平行四边形的判定定理
1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
2.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
3.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
5.对角线互相平分的四边形是平行四边形.
【微点拨】
（1） 这些判定方法是学习本章的基础，必须牢固掌握，当几种方法都能判定同一个
行四边形时，应选择较简单的方法.
（2）这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据，也可作为“画平行四边形”的依据.
考点四、平行线间的距离
1.两条平行线间的距离：
（1）定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离.注：距离是指垂线段的长度，是正值.
2．平行线性质定理及其推论
夹在两条平行线间的平行线段相等.
平行线性质定理的推论：
夹在两条平行线间的垂线段相等.

考点五、三角形的中位线
三角形的中位线
1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
【微点拨】（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.
（2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的.
（3）三角形的中位线不同于三角形的中线.
考点六、多边形内角和、外角和
边形的内角和为(－2)·180°(≥3)．
【微点拨】(1)内角和定理的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；
(2)正多边形的每个内角都相等，都等于；
多边形的外角和为360°．边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关.
1.如图， ABCD中，对角线AC,BD相交于点O，OE⊥BD交AD于点E，连接BE，若 ABCD的周长为28，则△ABE的周长为 ( )

A.28 B. 24 C. 21 D. 14
【答案】D
【解析】因为平行四边形的对角线互相平分，OE⊥BD，所以OE垂直平分BD，所以BE=DE,从而△ABE的周长等于AB+AD，即ABCD的周长的一半，所以△ABE的周长为14，故选D.
2.如图，在△ABC中，∠A＝40°，AB＝AC，点D在AC边上，以CB，CD为边作□BCDE，则∠E的度数为
A．40° B．50° C．60° D．70°
【答案】D
【解析】本题考查了等腰三角形的性质以及平行四边形的性质，由∠A＝40°，AB＝AC，求得∠C＝70°，又因为四边形BCDE是平行四边形，所以∠E＝∠C＝70°，因此本题选D．
3.如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O.下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是 （ ）
A. AB∥DC ，AD∥BC B. AB= DC，AD= BC C. AB∥DC，AD =BC D.OA= OC，OB =OD

(第7题图)
【答案】C
【解析】本题考查了平行四边形的判定．注意掌握举反例的解题方法是解本题的关键．∵AB∥DC   AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故A选项能判定这个四边形是平行四边形；∵AB=DC   AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故B选项能判定这个四边形是平行四边形；、∵AB∥DC   AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形或等腰梯形，故C选项不能判定这个四边形是平行四边形．∵AO=CO   BO=DO，∴四边形ABCD是平行四边形，故D选项能判定这个四边形是平行四边形；故选C．
4.已知：点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，如图所示.
求证：DE∥BC，且DE＝BC.
证明：延长DE到点F，使EF＝DE，连接FC，DC，AF，
又AE＝EC，则四边形ADCF是平行四边形，接着以下是排序错误的证明过程：
①∴DFBC ②∴CFAD，即CFBD
③∴四边形DBCF是平行四边形 ④∴DE∥BC，且DE＝BC
则正确的证明顺序应是：（　　）

A．②→③→①→④ B．②→①→③→④
C．①→③→④→② D．①→③→②→④
【答案】C
【解析】根据题目可知四边形ADCF，从而得到②或①都可以，从而再根据一组对边平行且相等得到四边形DBCF为平行四边形，从而DF＝BC，且DF∥BC，从而问题得证.
5.如图，□ABCD的周长为36，对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，BD=12，则△DOE的周长为（ ）
A．15 B．18 C．21 D．24

【答案】A
【解析】∵□ABCD的周长为36，∴BC+CD=×36=18，OB=OD=BD=×12=6，又∵点E是CD的中点，∴OE=BC，DE=CD，∴△DOE的周长=OD+OE+DE=6+BC+CD=6+(BC+CD)=6+×18=15，故选择A．
【知识点】平行四边形的性质，三角形的中位线定理

6.如图，在四边形ABCD中，E是BC边中点，连接DE并延长，交AB的延长线于F,AB=BF。添加一个条件，使四边形ABCD是平行四边形，你认为下列四个条件可选择的是（ ）

A. AD=BC B. CD=BF C. ∠A=∠C D. ∠F=∠CDF.
【答案】D
【解析】题干中有AB=BF,因此应证AB∥CD,AB=CD即可，而要证这两个条件应证△BEF≌△CED.结合题干中条件：E为BC中点，又由对顶角，因此添加∠F=∠CDF可证△BEF≌△CED，可得AB∥CD,AB=CD.
【知识点】平行四边形的判定方法。
7.如图,矩形ABCD中,AB=3,BC=4,BE//DF且BE与DF之间的距离为3,则AE的长度是A
B
C
D
E
F


A. B. C. D.
【答案】C
【解析】作EG⊥DF于G,,因为BE∥DF,所以∠BEG=90°, 所以∠AEB+∠DEG=90°,又∠AEB+∠ABE=90°,所以∠DEG=∠ABE,因为AB=EG=3,所以△ABE≌△GED,所以ED=BE,在Rt△ABE中,AE2+AB2=BE2=(4-AE)2,解得AE=,故选C｡设AE=x,则BE=,由3×BE=3×DE,所以BE=DE.即=4-x,解得x=.
8.如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2，AB，∠B是锐角，AE⊥BC于点E，F是AB的中点，连结DF、EF．若∠EFD＝90°，则AE长为（　　）

A．2 B． C． D．
【答案】 B．
【解析】本题考查了平行四边形、全等三角形、勾股定理、一元二次方程等知识．
解：如图，延长EF交DA的延长线于Q，连接DE，设BE＝x．

∵四边形ABCD是平行四边形，∴DQ∥BC，∴∠Q＝∠BEF，
∵AF＝FB，∠AFQ＝∠BFE，∴△QFA≌△EFB（AAS），∴AQ＝BE＝x，
∵∠EFD＝90°，∴DF⊥QE，∴DQ＝DE＝x+2，∵AE⊥BC，BC∥AD，∴AE⊥AD，
∴∠AEB＝∠EAD＝90°，∵AE2＝DE2﹣AD2＝AB2﹣BE2，∴（x+2）2﹣4＝6﹣x2，
整理得：2x2+4x﹣6＝0，解得x＝1或﹣3（舍弃），∴BE＝1，
∴AE，因此本题选B．
9.如图，四边形ABCD是一张平行四边形纸片，其高AG﹦2cm，底边BC﹦6cm，∠B﹦45°，沿虚线EF将纸片剪成两个全等的梯形．若∠BEF﹦30°，则AF的长为（　　）
A．1cm B．cm C．（2—3）cm D．（2—）cm



【答案】 D
【解析】本题考查了图形全等的概念、平行四边形的性质以及解直角三角形，过点F作FH⊥BC，垂足为H.设AF=x，因为四边形ABCD是一张平行四边形纸片，所以AD=BC.因为沿虚线EF将纸片剪成两个全等的梯形，所以BE=DF，所以AF=EC=x．因为AG是BC边上的高，FH⊥BC，所以GH=AF=x.因为∠B=45°，AG=2，所以BG=2，则HE=6-2-2x=4-2x. 因为tan∠BEF=，所以HE===2，则4-2x=2，解得x=2-，因此本题选D．
10.如图，点E是□的边上的一点，且，连接并延长交的延长线于点F，若，则□的周长为（ ）

A 21 B. 28 C. 34 D. 42
【答案】B
【解析】利用平行四边形、相似的有关性质解决问题.∵，DE=3，∴AE=6.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC,AB=CD,AB∥CD,∴△DEF∽△AEB, ∴,又DF=4，∵AB=8，∴□的周长为28.故选B.
11.如图，是面积为的内任意一点，的面积为，的面积为，则（ ）

A. B.C. D.的大小与点位置有关
【答案】C
【解析】可以利用割补法对平行四边形进行分割，然后使分割后的图形与的面积，的面积发生关联，然后求出其数量关系，如下图，过点P作AD的平行线，分别交的边于点M、N： .

12.如图，在□ABCD中，AB＝10，AD＝15，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE于点G，若BG＝8，则△CEF的周长为( )

A．16 B．17 C．24 D．25
【答案】A
【解析】 在Rt△ABG中，AG＝＝＝6.∵四边形ABCD是平行四边形，AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠ADE＝∠AEB，∴AB＝BE，则CE＝BC－BE＝15－10＝5.又∵BG⊥AE，∴AE＝2AG＝12，则△ABE的周长为32.∵AB∥DF，∴△ABE∽△CFE，∴△ABE的周长：△CEF的周长＝BE：CE＝2：1，∴△CEF的周长为16.
13.如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，若AF＝2FD，则的值为（　　）

A． B． C． D．
【解析】由AF＝2DF，可以假设DF＝k，则AF＝2k，AD＝3k，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD，
∴∠AFB＝∠FBC＝∠DFG，∠ABF＝∠G，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBG，
∴∠ABF＝∠AFB＝∠DFG＝∠G，
∴AB＝CD＝2k，DF＝DG＝k，
∴CG＝CD+DG＝3k，
∵AB∥DG，
∴△ABE∽△CGE，
∴＝＝＝，
故选：C．
14.如图,将口ABCD沿对角线BD折叠,使点A落在点E处,交BC于点F.若ABD=48°,CFD=40°,则E为A
E
B
D
C
F


A.102° B.112° C.122° D.92°
【答案】B
【解析】因为∠DFC=∠BFE =40°,由折叠的性质知△ABD≌△CBD≌△CDB,所以∠FBD=∠FDB=20°,∠ABD=∠EBD =48°,所以∠EBF=28°,所以∠E=180°-∠EBF-∠EFB =180°-28°-40°=112°,故选B｡
【知识点】平行四边形的性质 折叠的性质 全等三角形的判定和性质
15.下列选项中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）

A．AD∥BC，AB∥CD B．AB∥CD，AB=CD
C. AD∥BC，AB=DC D．AB=DC，AD=BC
【答案】C.
【解析】解：A选项，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可判断出四边形ABCD是平行四边形，故正确；
B选项，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可判断出四边形ABCD是平行四边形，故正确；
C选项，一组对边平行，另一组对边相等的四边形也有可能是等腰梯形，所以不能判断出四边形ABCD是平行四边形，故错误；
D选项，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可判断出四边形ABCD是平行四边形，故正确.
故选C.
【知识点】平行四边形的判定
16.如图，在□ABCD中，已知AC=4cm,若△ACD的周长为13cm,则□ABCD的周长为（ ）
A.26cm B.24cm C. 20cm D.18cm

【答案】D
【解析】∵在□ABCD中，AD=BC,AB=CD, AC=4cm,AC+AD+CD=13cm, ∴AD+DC=13-4=9cm. ∴AB+BC+CD+AD=2AD+2CD=2(AD+CD)=18cm.
【知识点】平行四边形性质，
17.在同一平面内，设，，是三条互相平行的直线，已知与的距离为4，与的距离为1，则与的距离是（ ）
A.1 B.3 C.5或3 D.1或3
【答案】C，
【解析】依据题意画出图形.
当直线，，的位置如图1所示时，结合平行线间的距离的知识，可得与的距离是4+1=5；
当直线，，的位置如图2所示时，结合平行线间的距离的知识，可得与的距离是4-1=3；综上可知，与的距离是5或3.

图1 图2
18.如图，在△ABC中，延长BC至D，使得CD＝BC．过AC中点E作EF∥CD（点F位于点E右侧），且EF＝2CD．连接DF，若AB＝8，则DF的长为 （ ）
A．3 B．4 C．2 D．3

【答案】B
【解析】 本题解答时要取AB的中点，然后利用三角形的中位线和平行四边形的判定和性质来解答.取AB的中点M，则ME∥BC，ME=，∵EF∥CD，∴M，E，F三点共线，∵EF=2CD，∴MF=BD，∴四边形MBDF是平行四边形，∴DF=BM=4，故选B.

19.如图，□ABCD的对角线AC、BD交于点O，DE平分∠ADC交AB于点E，∠BCD＝60°，AD＝AB，连接OE．下列结论：①S□ABCD＝AD·BD；②DB平分∠CDE；③AO＝DE；④S△ADE＝5S△OFE．其中正确的个数有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】B
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BCD＝∠DAB＝60°，
∵DE平分∠ADC，∴∠DAE＝∠ADE＝60°，
∴△ADE是等边三角形，∴AD＝AE＝DE，
∵AD＝AB，∴AE＝AB，即E为AB的中点，
∴∠ADB＝90°，
∴S□ABCD＝AD·DB，故①正确；
又∵DE平分∠ADC交AB于点E，∠ADC＝120°，∴∠EDC＝60°
而∠AED＝∠EDB＋∠EBD，AD＝AE＝DE＝EB，
∴∠EDB＝∠EBD＝30°，所以∠DBC＝∠EDC－∠EDB＝60°－30°＝30°
∴DB平分∠CDE，故②正确；
又AO＝AC，DE＝AB ，AC＞AB，∴AO＞DE，故③错误；
∵AE＝BE，DO＝BO，∴OE＝AD，且EO∥AD，
∴S△ADF＝4S△OFE，
又S△AFE≠S△OFE，∴S△ADF＋S△AFE≠5S△OFE，即S△ADE≠5S△OFE
故④错误．
综上所述，故选B．
20.如图，在□ABCD中，已知AC＝4cm，若△ACD的周长为13cm，则□ABCD的周长为

A.26cm B.24cm C.20cm D.18cm
【答案】D.
【解析】根据平行四边形的两组对边分别相等，得□ABCD的AB＝CD，BC＝AD.由C△ACD＝AD＋AC＋CD＝13cm，AC＝4cm，得AD＋CD＝9cm，∴C□ABCD＝2（AD＋CD）＝2×9＝18（cm），故选D.
21.如图，在□ABCD中，E、F是对角线AC上两点，AE＝EF＝CD，∠ADF＝90°，∠BCD＝63°，则∠ADE的大小为___________．

【答案】21°
【解析】如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠1＝∠5．∵∠ADF＝90°，AE＝EF，∴DE＝AF＝AE，∴∠1＝∠2．∴∠5＝∠2．∵AE＝CD，DE＝AE，∴DE＝CD，∴∠3＝∠4．∵∠3＝∠1＋∠2＝2∠2，∴∠4＝2∠2．∵∠BCD＝63°，∴∠5＋∠4＝63°，即3∠2＝63°，∴∠2＝21°，即∠ADE＝21°．故答案为21°.

22.如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E是AB的中点，△BEO的周长是8，则△BCD的周长为_______ .

【答案】16
【解析】O是平行四边形ABCD的对角线AC、BD的交点，点E是AB的中点，可得OE=AD，BE=AB，BO=BD，可得△BEO的周长是△BAD周长的一半，而△BCD的周长和△BAD周长相等，即△BCD的周长为16.
23.如图，面积为24的□ABCD中，对角线BD平分，过点D作交BC的延长线于点E，，则的值为（ ）．
A． B． C． D．



【答案】A
【解析】连接AC，交BD于点F，过点D作，垂足为M，
因为四边形ABCD是平行四边形，
所以F是BD的中点，AD//BC，
所以，
因为BD是 的平分线，
所以，
所以，
所以，
所以□ABCD是菱形，
所以，
又因为，
所以AC//DE，
因为AC//DE，F是BD的中点，
所以C是BE的中点，
所以，
因为四边形ABCD是菱形，
所以，，
所以，
所以，
在Rt△BFD中，由勾股定理得
，
因为四边形ABCD是菱形，
所以，
因为
所以，
在Rt△DCM中，
．
24.如图，E是□ABCD的边AD延长线上一点，连接BE，CE，BD，BE交CD于点F.添加以下条件，不能判定四边形BCED为平行四边形的是（ ）

A．∠ABD＝∠DCE
B. DF＝CF
C.∠AEB＝∠BCD
D.∠AEC＝∠CBD
【答案】C
【解析】根据平行四边形的性质，得AD∥BC，AB∥CD，所以DE∥BC，所以∠ABD＝∠CDB，若添加∠ABD＝∠DCE，可得∠CDB＝∠DCE，从而可得BD∥CE，所以四边形BCED为平行四边形，故A正确；根据平行线的性质，得∠DEF＝∠CBF，若添加DF＝CF，由于∠EFD＝∠BFC，故△DEF≌△CBF，从而EF＝BF，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，得四边形BCED为平行四边形，故B正确；根据平行线的性质，得∠AEB＝∠CBF，若添加∠AEB＝∠BCD，易得∠CBF＝∠BCD，求得CF＝BF，同理，EF＝DF，不能判定四边形BCED为平行四边形，故C错误；根据平行线的性质，得∠DEC＋∠BCE＝180°，若添加∠AEC＝∠CBD，则得∠BCE＋∠CBD＝180°，所以BD∥EC，于是得四边形BCED为平行四边形，故D正确．故选C.
25. 如图，在边长为4的等边中，，分别为，的中点，于点，为的中点，连接，则的长为__________．

【答案】
【解析】分析：连接DE，根据题意可得ΔDEG是直角三角形，然后根据勾股定理即可求解DG的长.
详解：连接DE，

∵D、E分别是AB、BC的中点，
∴DE∥AC，DE=AC
∵ΔABC是等边三角形，且BC=4
∴∠DEB=60°,DE=2
∵EF⊥AC，∠C=60°,EC=2
∴∠FEC=30°，EF=
∴∠DEG=180°-60°-30°=90°
∵G是EF的中点，
∴EG=.
在RtΔDEG中，DG=
故答案为：.
点睛：本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理以及三角形中位线性质定理，记住和熟练运用性质是解题的关键.

26.如图，在□ABCD中，∠A=70°，DC=DB，则∠CDB=_______．

【答案】40°；
【解析】因是平行四边形，则∠C=∠A=70°,由DC=DB，可知∠DBC=∠C=70°，
根据三角形内角和180度，得∠CDB=40°
27.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB＝OB，点E、点F分别是OA、OD的中点，连接EF，∠CEF＝45°，EM⊥BC于点M，EM交BD于点N，FN＝，则线段BC的长为_________________．

【答案】4，
【解析】连接BE，易证△BEC是等腰直角三角形，EM三线合一，EF是中位线，可证得△EFN≌△MBN，可得到BN＝FN＝，tan∠NBM＝，就能求出BM＝2，所以BC＝4
28.如图，已知ABCD的对角线AC，BD交于点O，且AC＝8，BD＝10，AB＝5，则 OCD的周长为 ．

【答案】14
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD＝5，OA＝OC＝4，OB＝OD＝5，∴△OCD的周长＝5＋4＋5＝14，故答案为14．
29.如图，O为坐标原点，△OAB是等腰直角三角形，∠OAB＝90°，点B的坐标为（0,2）．将三角形沿x轴向右平移得到Rt△O´A´B´，此时点B´的坐标为（2,2），则线段OA在平移过程中扫过部分的图形面积为________．
y

B

O

A

y

第17题图


【答案】4
【解析】
过A´作A´C⊥x轴，垂足为C．由题意可知，点B´平移了2，∴OO´＝2．∵AC＝OB＝×2＝．∴平行四边形OAA´O´的面积为：2×＝4．
C

B´

x

B

O

A

y

第17题答图

O´

A´


【知识点】平行四边形面积，图形的平移，等腰直角三角形的性质
30.如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，且BD＝CD，过点A作AM⊥BD于点M，过点D作DN⊥AB于点N，且DN＝3，在DB的延长线上取一点P，满足∠ABD＝∠MAP＋∠PAB，则AP＝_______．
第18题图
N
B
A
P
D
C
M

【思路分析】∵∠ABD是△ABP的外角，
∴∠ABD＝∠P＋∠PAB．
又∵∠ABD＝∠MAP＋∠PAB，
∴∠P＝∠MAP，即△AMP使等腰直角三角形．
∴AP＝AM．
∵AB＝CD＝BD，∠AMB＝∠DNB＝90°，且∠ABD为公共角，
∴△ABM≌△DBN．
∴AM＝DN＝3．
∴AP＝AM＝×3＝6．故填6．
【知识点】三角形全等．
31.如图：在△ABC中，AB＝13，BC＝12，点D、E分别是AB、BC的中点，连接DE、CD如果DE＝2.5，那么△ACD的周长是___________

【答案】18
【解析】由于DE是△ABC的中位线，所以AC＝5，由于AB＝13，BC＝12，，因此△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，CD是斜边AB的中线，因此CD＝AB÷2＝6.5，而AD＝6.5，AC＝5，所以△ACD的周长是6.5＋6.5＋5＝18.
32.如图所示，点D、E分别是的边AB、AC的中点，连接BE，过点C做，交DE的延长线于点F，若，则DE的长为________．

【答案】
【解析】先证明DE为的中位线，得到四边形BCFE为平行四边形，求出BC=EF=3，根据中位线定理即可求解．
∵D、E分别是的边AB、AC的中点，
∴DE为的中位线，
∴DE∥BC，，
∵，
∴四边形BCFE为平行四边形，
∴BC=EF=3，
∴．
故答案为：
33.如图，的顶点C在等边的边上，点E在的延长线上，G为的中点，连接．若，，则的长为_______．

【答案】
【解析】本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的性质、中位线等知识点，延长DC交EF于点M，利用平行四边形、等边三角形性质求出相应的线段长，证出是的中位线是解题的关键．延长DC交EF于点M（图见详解），根据平行四边形与等边三角形的性质，可证△CFM是等边三角形，BF=BE=EF=BC+CF=5，可求出CF=CM=MF=2，可得C、G是DM和DE的中点，根据中位线的性质，可得出CG=，代入数值即可得出答案．如下图所示，延长DC交EF于点M，，，
平行四边形的顶点C在等边的边上，
，
是等边三角形，
．
在平行四边形中，，，
又是等边三角形，
，
．
G为的中点，，
是的中点，且是的中位线，
．
故答案为：．

34.如图，在平行四边形□中，的平分线与的平分线交于点E，若点E恰好在边上，则的值为 ．


【答案】16
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD=2,AD=BC,AD∥BC，AB∥CD,∴∠ABC+∠BCD=180°, ∠AEB=∠EBC，∠DEC=∠ECB.又∵BE、CE分别是∠ABC与∠DCB的平分线，∴∠ABE=∠EBC，∠DCE=∠ECB，∴∠EBC+∠BCE=90°，∠ABE=∠AEB，∠DCE=∠DEC，∴AB=AE=2,DC=DE=2,
35.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，点E在BC边上，且CA=CE，过A，C，E三点的⊙O交AB于另一点F，作直径AD，连结DE并延长交AB于点G，连结CD，CF．
（1）求证：四边形DCFG是平行四边形；
（2）当BE=4，CD=AB时，求⊙O的直径长．

【解析】（1）连接AE. ∵∠BAC=90°，∴CF是⊙O的直径.
∵ AC=EC，∴CF⊥AE.∵AD为⊙O的直径，∴∠AED=90°，即GD⊥AE，∴CF∥DG.
∵ AD为⊙O的直径，∴∠ACD=90°，∴∠ACD+∠BAC=180°，∴AB∥CD，∴四边形DCFG为平行四边形；
（2）由CD=AB，可设CD=3x,AB=8x，∴CD=FG=3x.
∵ ∠AOF=∠COD，∴AF=CD=3x，∴BG=8x-3x-3x=2x.
∵ GE∥CF，∴△BGE∽△CDE，∴.
又∵ BE=4，∴AC=CE=6，∴BC=6+4=10，∴AB==8=8x，∴x=1.
在Rt△ACF中，AF=3，AC=6，∴CF==3，即⊙O的直径长为3.
36.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，分别过点A，C作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．AC平分∠DAE．
（1）若∠AOE=50°，求∠ACB的度数；
（2）求证：AE=CF．

【解析】（1）在△AOE中，由∠AEO和∠AOE的度数求得∠EAO的度数，再由AC平分∠DAE求得∠OAD的度数，进而由AD∥BC得到∠ACB＝∠OAD，问题得解；（2）先根据AAS证明△AEO≌△CFO，再根据相似三角形对应边相等得到AE＝CF.
【答案】解： （1）∵AE⊥BD，∴∠AEO=90°.∵∠AOE＝50°，∴∠EAO＝180°-90°-50°=40°.
∵AC平分∠DAE，∴∠OAD＝∠EAO=40°.∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∴∠ACB＝∠OAD=40°.
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO.∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEO＝∠CFO＝90°.
在△AEO和△CFO中，∴△AEO≌△CFO.∴AE＝CF.
37.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C．E使边BC上一点，且DE＝DC．求证：AD＝BE．

【解析】由DE＝DC可得∠C＝∠DEC，而∠B＝∠C，则∠B＝∠DEC，由“同位角相等，两直线平行”可推出AB∥DE，而AD∥BC，则四边形ABED为平行四边形，所以有AD＝BE．
【答案】解：∵DE＝DC，∴∠C＝∠DEC．∵∠B＝∠C，∴∠B＝∠DEC，
∴AB∥DE．∵AD∥BC，∴四边形ABED为平行四边形，∴AD＝BE．
38.如图，四边形ABCD是矩形，E是BC边上一点，点F在BC的延长线上，且CF＝BE．
（1）求证：四边形AEFD是平行四边形；
（2）连接ED，若∠AED＝90°，AB＝4，BE＝2，求四边形AEFD的面积．

【答案】解：（1）证明：∵∠四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC，
∵BE＝CF，∴BE+EC＝EC+EF，即BC＝EF，∴AD＝EF，∴四边形AEFD是平行四边形；
（2）解：连接DE，如图，
∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，在Rt△ABE中，AE2，
∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠EAD，∵∠B＝∠AED＝90°，∴△ABE∽△DEA，
∴AE：AD＝BE：AE，∴AD10，∴四边形AEFD的面积＝AB×AD＝2×10＝20．

39.如图，在平行四边形ABCD中，AE，CF分别平分∠BAD和∠DCB，交对角线BD于点E，F．
（1）若∠BCF=60°，求∠ABC的度数；
（2）求证：BE=DF．

【解析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，平行线的性质，全等三角形的判定等知识．（1）先由CF平分∠BCD和∠BCF=60°求得∠BCD得度数，再由AB∥CD求得∠ABC+∠BCD=180°，问题得解；（2）先根据ASA证明△ABE≌△CDF，再根据相似三角形对应边相等得到BE＝DF.
【答案】（1）解： ∵CF平分∠BCD，∴∠BCD=2∠BCF.
∵∠BCF=60°，∴∠BCD=2×60°=120°.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD,∴∠ABC+∠BCD=180°.
∴∠ABC=180°-120°=60°.
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，∠BAD=∠DCB.
∴∠ABE=∠CDF.
∵AE，CF分别平分∠BAD和∠DCB，∴∠BAE=∠BAD=∠DCB=∠DCF.
在△ABE和△CDF中，∵∠ABE=∠CDF，AB=CD，∠BAE=∠DCF，
∴△ABE≌△CDF.
∴BE=DF.
40.若△ABC和△AED均为等腰三角形，且∠BAC﹦∠EAD﹦90°．
（1）如图（1），点B是DE的中点，判断四边形BEAC的形状，并说明理由；
（2）如图（2），若点G是EC的中点，连接GB并延长至点F，使CF﹦CD．
求证：①EB﹦DC，②∠EBG﹦∠BFC．
（第23题）


图（1） 图（2）




【解析】本题考查了等腰直角三角形的性质、三角形全等的条件与性质、平行四边形的判定方法以及等腰三角形的性质．问题（1），根据等腰直角三角形的性质可得四边形ACBE中BE∥AC、BC∥EA，从而确定四边形BEAC的形状；问题（2），根据条件判定图形中的△AEB≌△ADC，从而确定EB﹦DC；延长FG至点H，使GH﹦FG，可得△EHG≌△CFG，使得BE﹦EH、∠EBG﹦∠H，即有∠EBG﹦∠BFC．
【答案】 （1）证明：四边形BEAC是平行四边形．
理由如下：
∵△EAD为等腰三角形且∠EAD﹦90°，
∴∠E﹦45°．
∵B是DE的中点，
∴AB⊥DE．
∴∠BAE﹦45°．
∵△ABC为等腰三角形且∠BAC﹦90°，
∴∠CBA﹦45°．
∴∠BAE﹦∠CBA．
∴BC∥EA．
又∵AB⊥DE，
∴∠EBA﹦∠BAC﹦90°．
∴BE∥AC．
∴四边形BEAC是平行四边形．
（2）证明：①∵△AED和△ABC为等腰三角形，
∴AE﹦AD，AB﹦AC．
∵∠EAD﹦∠BAC﹦90°，
∴∠EAD＋∠DAB﹦∠BAC＋∠DAB．
即∠EAB﹦∠DAC．
∴△AEB≌△ADC．
∴EB﹦DC．
②延长FG至点H，使GH﹦FG．
∵G是EC中点，
∴EG﹦CG．
又∠EGH﹦∠FGC，
∴△EHG≌△CFG，
∴∠BFC﹦∠H，CF﹦EH．
又∵CF﹦CD，
∴BE﹦CF．
∴BE﹦EH．
∴∠EBG﹦∠H．
∴∠EBG﹦∠BFC．
图（2）


图（1）




41.点P是平行四边形ABCD的对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A、C重合），分别过点A、C向直线BP作垂线，垂足分别为点E、F．点O为AC的中点．
（1）如图1，当点P与点O重合时，线段OE和OF的关系是________；
（2）当点P运动到如图2所示的位置时，请在图中补全图形并通过证明判断（1）中的结论是否仍然成立？
（3）如图3，点P在线段OA的延长线上运动，当∠OEF＝30°时，试探究线段CF、AE、OE之间的关系．

【解析】（1）证明△AOE≌△COF即可得出结论；
（2）（1）中的结论仍然成立，延长EO交CF于点G，作辅助线，构建全等三角形，证明△AOE≌△COG，得OE＝OG，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出结论；
（3）FC＋AE＝OE，理由是：延长EO交FC的延长线于点H，构建全等三角形，与（2）类似，同理得△AOE≌△COH，得出AE＝CH，OE＝OH，再根据∠OEF＝30°，∠HFE＝90°，推出HF＝EH＝OE，即可得证．
【答案】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC；
∵AE⊥BP，CF⊥BP，
∴∠AEO＝∠CFO＝90°；
∵∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE＝OF；
（2）补全图形如图所示，OE＝OF仍然成立，

证明如下：延长EO交CF于点G，
∵AE⊥BP，CF⊥BP，
∴AE∥CF，∴∠EAO＝∠GCO；
∵点O为AC的中点，∴AO＝CO；
又∵∠AOE＝∠COG，∴△AOE≌△COG，
∴OE＝OG；
∵∠GFE＝90°，∴OF＝EG＝OE；
（3）当点P在线段OA的延长线上时，线段CF、AE、OE之间的关系为OE＝CF＋AE，
证明如下：延长EO交FC的延长线于点H，如图所示，

由（2） 可知 △AOE≌△COH，
∴AE＝CH，OE＝OH；
又∵∠OEF＝30°，∠HFE＝90°，
∴HF＝EH＝OE，
∴OE＝CF＋CH＝CF＋AE．
42.如图，在□ABCD中，点E在边BC上，连结AE，EM⊥AE，垂足为E，交CD于点M，AF⊥BC，垂足为F，BH⊥AE，垂足为H，交AF于点N，点P是AD上一点，连接CP．
（1）若DP＝2AP＝4，CP＝，CD＝5，求△ACD的面积；
（2）若AE＝BN，AN＝CE，求证：AD＝CM＋2CE．


解：（1）如图1，过点C作CQ⊥AD于点Q．
∵DP＝2AP＝4，
∴AP＝2，AD＝6．
设PQ＝x，则DQ＝4－x，根据勾股定理，得CP2－PQ2＝CD2－DQ2，即17－x2＝52－(4－x)2，解得x＝1，从而CQ＝＝4，故S△ACD＝AD•CQ＝×6×4＝12．

第25题答图1
第25题答图2

（2）如答图2，连接NE．
∵EM⊥AE，AF⊥BC，BG⊥AE，
∴∠AEB＋∠FBN＝∠AEB＋∠EAF＝∠AEB＋∠MEC＝90°．
∴∠EAF＝∠NBF＝∠MEC．
在△BFN和△AFE中，，
∴△BFN≌△AFE（AAS）．
∴BF＝AF，NF＝EF．
∴∠ABC＝45°，∠ENF＝45°，FC＝AF＝BF．
∴∠ANE＝∠BCD＝135°，AD＝BC＝2AF．
在△ANE和△ECM中，，
∴△ANE≌△ECM（ASA）．
∴CM＝NE．
又∵NF＝NE＝CM，
∴AF＝CM＋CE．
∴AD＝CM＋2CE．