专题06 三角函数及解三角形-十年高考数学（理）客观题（2012-2021）真题分项详解

专题06 三角函数及解三角形
【2021年乙卷】安徽、河南、山西、江西、甘肃、陕西、黑龙江、吉林、宁夏、新疆、青海、内蒙古
1.把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】解法一：从函数的图象出发，按照已知的变换顺序，逐次变换，得到，即得，再利用换元思想求得的解析表达式；
解法二：从函数出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到的解析表达式.
【详解】解法一：函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，再把所得曲线向右平移个单位长度，应当得到的图象，
根据已知得到了函数图象，所以，
令,则,
所以,所以；
解法二：由已知的函数逆向变换，
第一步：向左平移个单位长度，得到的图象，
第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，
即为的图象，所以.
故选：B.


【2021年乙卷】安徽、河南、山西、江西、甘肃、陕西、黑龙江、吉林、宁夏、新疆、青海、内蒙古
2. 魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点，，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”，与的差称为“表目距的差”则海岛的高（ ）

A. 表高 B. 表高
C. 表距 D. 表距
【答案】A
【解析】
【分析】利用平面相似的有关知识以及合分比性质即可解出．
【详解】如图所示：

由平面相似可知，，而，所以
，而，
即＝．
故选：A.
【点睛】本题解题关键是通过相似建立比例式，围绕所求目标进行转化即可解出．


【2021年乙卷】安徽、河南、山西、江西、甘肃、陕西、黑龙江、吉林、宁夏、新疆、青海、内蒙古
3.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则________．
【答案】
【解析】
【分析】由三角形面积公式可得，再结合余弦定理即可得解.
【详解】由题意，，
所以，
所以，解得（负值舍去）.
故答案为：.

【2021年甲卷】贵州、云南、四川、西藏、广西
4.2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A，C两点到水平面的高度差约为（）（ ）

A. 346 B. 373 C. 446 D. 473
【答案】B
【解析】
【分析】通过做辅助线，将已知所求量转化到一个三角形中，借助正弦定理，求得，进而得到答案．
【详解】
过作，过作，
故，
由题，易知为等腰直角三角形，所以．
所以．
因为，所以
在中，由正弦定理得：
，
而，
所以
所以．
故选：B．
【点睛】本题关键点在于如何正确将的长度通过作辅助线的方式转化为．


【2021年甲卷】贵州、云南、四川、西藏、广西
5. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由二倍角公式可得，再结合已知可求得，利用同角三角函数基本关系即可求解.
【详解】
，
，，，解得，
，.
故选：A.
【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出.


【2021年新课标1卷】山东、广东、河北、江苏、湖北、湖南、福建
6.若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母()，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入即可得到结果．
【详解】将式子进行齐次化处理得：

．
故选：C．
【点睛】易错点睛：本题如果利用，求出的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论．




【2021年新课标1卷】山东、广东、河北、江苏、湖北、湖南、福建
7.下列区间中，函数单调递增的区间是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】解不等式，利用赋值法可得出结论.
【详解】因为函数的单调递增区间为，
对于函数，由，
解得，
取，可得函数的一个单调递增区间为，
则，，A选项满足条件，B不满足条件；
取，可得函数的一个单调递增区间为，
且，，CD选项均不满足条件
故选：A.
【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成形式，再求的单调区间，只需把看作一个整体代入的相应单调区间内即可，注意要先把化为正数．
【2021年新课标1卷】山东、广东、河北、江苏、湖北、湖南、福建
8.已知为坐标原点，点，，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】A、B写出，、，的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C、D根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.
【详解】A：，，所以，，故，正确；
B：，，所以，同理，故不一定相等，错误；
C：由题意得：，，正确；
D：由题意得：，
，故一般来说故错误；
故选：AC


【2021年甲卷】贵州、云南、四川、西藏、广西
9.已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数x为________．

【答案】2
【解析】
【分析】先根据图象求出函数的解析式，再求出的值，然后求解三角不等式可得最小正整数或验证数值可得.
【详解】由图可知，即，所以；
由五点法可得，即；
所以.
因为，；
所以由可得或；
因为，所以，
方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足，即，
解得，令，可得，
可得的最小正整数为2.
方法二：结合图形可知，最小正整数应该满足，又，符合题意，可得的最小正整数为2.
故答案为：2.
【点睛】关键点睛：根据图象求解函数的解析式是本题求解的关键，根据周期求解，根据特殊点求解.


【2020年】
10.（2020·新课标Ⅰ）设函数在的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（ ）


A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由图可得：函数图象过点，
将它代入函数可得：
又是函数图象与轴负半轴的第一个交点，
所以，解得：
所以函数的最小正周期为


11.（2020·新课标Ⅰ）已知，且，则（ ）
A B.
C. D.
【答案】A
【解析】，得，
即，解得或（舍去），
又.

12.（2020·新课标Ⅱ）若α为第四象限角，则（ ）
A. cos2α>0 B. cos2α0 D. sin2α0)，则A=______，b=________．
【答案】
【解析】，所以[来源:Zxxk.Com]


65.【2016高考新课标3理数】函数的图像可由函数的图像至少向右平移_____________个单位长度得到．
【答案】
【解析】因为，＝
，所以函数的图像可由函数的图像至少向右平移个单位长度得到．


66.【2016高考山东理数】函数f（x）=（sin x+cos x）（cos x –sin x）的最小正周期是（ ）
（A） （B）π （C） （D）2π
【答案】B
【解析】,故最小正周期,故选B.


67.【2016高考天津理数】在△ABC中，若,BC=3， ,则AC= （ ）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
【答案】A
【解析】由余弦定理得,选A.


68.【2016高考江苏卷】定义在区间上的函数的图象与的图象的交点个数是 ▲ .
【答案】7
【解析】由，因为，所以共7个


69.【2016高考江苏卷】在锐角三角形中，若，则的最小值是 ▲ .
【答案】8.
【解析】，又，因此
即最小值为8.

【2015年】

【2015年新课标1卷】
70、 sin20°cos10°-cos160°sin10°=
（A） （B） （C） （D）
【解析】本题三角函数公式，故可得
，选择D.



【2015年新课标1卷】
71、函数f(x)=的部分图像如图所示，则f（x）的单调递减区间为
(A)（）,k (b)（）,k
(C)（）,k (D)（）,k

【解析】本题考查三角函数的单调性，根据图像确定函数的解析式，然后再确定单调区间，
故可得答案为B.


【2015年新课标1卷】
72. 在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB的取值范围是
【解析】如下图所示，延长BA，CD交于点E，则可知
中，，， ，设，则
，故可得
所以，而
因此可得的范围是.





【2015年北京卷】
73．
（2015•北京）在△ABC中，a=4，b=5，c=6，则=　 　．
考点：
余弦定理；二倍角的正弦；正弦定理．菁优网版权所有
专题：
计算题；解三角形．
分析：
利用余弦定理求出cosC，cosA，即可得出结论．
解答：
解：∵△ABC中，a=4，b=5，c=6，
∴cosC==，cosA==
∴sinC=，sinA=，
∴==1．
故答案为：1．
点评：
本题考查余弦定理，考查学生的计算能力，比较基础．


（2015•天津）
74、在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知ABC的面积为3，b﹣c=2，
cosA=﹣，则a的值为 ．
【分析】由cosA=﹣，A∈（0，π），可得sinA=．利用S△ABC==，化为bc=24，
又b﹣c=2，解得b，c．由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA即可得出．
【解答】解：∵A∈（0，π），∴sinA==．
∵S△ABC==bc=，化为bc=24，
又b﹣c=2，解得b=6，c=4．
由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA=36+16﹣48×=64．
解得a=8．
故答案为：8．
【点评】本题考查了余弦定理、同角三角函数基本关系式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．



【2014年新课标1卷】
75．如图，圆的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数 ，则在的图像大致为


解析：由已知，又，所以，故选C



【2014年新课标1卷】
76．设 且,则
A． B． C． D．
解析: 由得
即,所以,由已知 所以 ,在上单调递增,所以,故选C



【2014年新课标1卷】
77.已知分别为的三个内角的对边，=2，且，则面积的最大值为 .
解析：，因为=2，所以
面积，而




【2014年新课标2卷】
78． 钝角三角形ABC的面积是，AB＝1，BC＝，则AC＝( )
A．5 B. C．2 D．1
B　[解析] 根据三角形面积公式，得BA·BC·sin B＝，即×1××sin B＝，得sin B＝，其中C