专题17 立体几何中的最值问题-备战2022高考数学二轮复习冲破压轴题讲与练

专题17  立体几何中的最值问题

【压轴综述】

在立体几何中，判定和证明空间的线线、线面以及面面之间的位置关系(主要是平行与垂直的位置关系)，计算空间图形中的几何量(主要是角与距离)是两类基本问题．在涉及最值的问题中主要有三类，一是距离（长度）的最值问题；二是面（体）积的最值问题；三是在最值已知的条件下，确定参数（其它几何量）的值.从解答思路看，有几何法（利用几何特征）和代数法(应用函数思想、应用基本不等式等)两种，都需要我们正确揭示空间图形与平面图形的联系，并有效地实施空间图形与平面图形的转换．要善于将空间问题转化为平面问题：这一步要求我们具备较强的空间想象能力，对几何体的结构特征要牢牢抓住，有关计算公式熟练掌握.

一、涉及几何体切接问题最值计算

求解与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径等.通过作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．这样才能进一步将空间问题转化为平面内的问题；

二.涉及角的计算最值问题

1. 二面角的平面角及其求法有：定义法、三垂线定理及其逆定理、找公垂面法、射影公式、向量法等，依据题目选择方法求出结果．

2.求异面直线所成角的步骤:一平移,将两条异面直线平移成相交直线．二定角,根据异面直线所成角的定义找出所成角．三求角,在三角形中用余弦定理或正弦定理或三角函数求角．四结论．

3.线面角的计算：（1）利用几何法：原则上先利用图形“找线面角”或者遵循“一做----二证----三计算”.

（2）利用向量法求线面角的方法

(i分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；

(ii)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角(钝角时取其补角)，取其余角就是斜线和平面所成的角.

下面通过例题说明应对这类问题的方法与技巧.

【压轴典例】

例1.(2020·全国卷Ⅲ理科·T15)已知圆锥的底面半径为1,母线长为3,则该圆锥内半径最大的球的体积为　　　　. 

【解析】方法一:易知半径最大球为圆锥的内切球,球与圆锥内切时的轴截面如图所示,

其中BC=2,AB=AC=3,且点M为BC边上的中点,设内切圆的圆心为O,由于AM==2,

故S△ABC=×2×2=2,设内切圆半径为r,

则S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC=×AB×r+×BC×r+×AC×r=××r=2,解得r=,

其体积:V=πr3=π.

方法二:分析知圆锥内半径最大的球应为圆锥的内切球,如图,由题可知圆锥的母线长为BS=3,底面半径为 BC=1,高SC==2,不妨设该内切圆与母线BS切于D点,令OD=OC=r,则由△SOD∽△SBC,可得=,即=,得r=,此时V=πr3=π.

例2．（2021·浙江高三月考）已知正方体的棱长为1，点，分别为线段，上的动点，点在平面内，则的最小值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】点关于的对称点为，关于的对称点为，记为直线与之间的距离，则，由，为到平面的距离，因为，

而，故，

例3．（2020·陕西西安一中）如图，正方体的棱长为，点O为底面ABCD的中心，点P在侧面的边界及其内部运动.若，且面积的最大值为，则a的值为（    ）

A．1 B．3 C． D．2

【答案】D

【详解】取的中点，如图，连接，，，， ，，，，，

因为正方体的棱长为，所以，，平面，平面，平面，所以，，

所以，，所以，，

由，平面，平面，可得平面，

所以，所以点的轨迹为线段，又,

所以面积的最大值，则.

例4．（2021·河南高三月考）《九章算术》卷五《商功》中描述几何体“阳马”为“底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥”.现有阳马(如图)，平面.，，点，分别在，上，当空间四边形的周长最小时，三棱锥外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】把平面展开到与平面共面的的位置(如下图)，

延长到，使得，则，因为的长度为定值，故只需求最小，只需，，，四点共线，因为，，，所以，所以，，，由正弦定理得，外接圆的半径.设外接圆的圆心为，则三棱锥外接球的球心一定在过且与平面垂直的直线上，因为到点，的距离相等，所以，此即为三棱锥外接球的半径，所以该球的表面积为.

例5．（2021·山东高三）四棱锥中，侧面为等边三角形，底面为矩形，，，点是棱的中点，顶点在底面的射影为，则下列结论正确的是（    ）

A．棱上存在点使得面

B．当落在上时，的取值范围是

C．当落在上时，四棱锥的体积最大值是2

D．存在的值使得点到面的距离为

【答案】A

【详解】

对于A：取BC的中点E，连结DE，取SC中点P，连结PE、PD.∵PE为△BCS的中位线，∴ PE∥BS又面BFS，面BFS，∴PE∥面BFS；在矩形ABCD中，E、F分别为BC、AD的中点，∴DE∥BF,又面BFS，面BFS，∴DE面BFS；

又,∴面PDE∥面BFS，∴面.故A正确；

对于B：∵为等边三角形，，∴，当时，S与H重合，图形不能构成四棱锥，与已知条件相悖，故B错误；对于C：在Rt△SHE中，，∴，当且仅当时，的最大值为1.故C错误；对于D:由选项C的推导可知：当的最大时，点B到面的距离d最大.，此时

∴，∴.故D错误.

例6．（2020·浙江高三其他模拟）空间中13个不同的点构成的集合，满足当时，都是正四面体.对于任意平面，的最大值是（    ）

A．9 B．10 C．11 D．12

【答案】C

【详解】为使得对于任意平面，取得最大值，故要使得使之在同一平面中三棱锥顶点最多，如下所示：

如图所示：三棱锥，均为正四面体,显然，最多有11个点在同一平面中.同时，若同一平面中存在12个三棱锥的顶点，则只有1个点在平面外，无法构造几何体.故的最大值为：.

例7．（2021·湖北高三月考）如图，在棱长为6的正方体中，为棱上一点，且为棱的中点，点是线段上的动点，则（    ）

A．无论点在线段上如何移动，都有 B．四面体的体积为24

C．直线与所成角的余弦值为

D．直线与平面所成最大角的余弦值为

【答案】ABD

【详解】在正方体中，易证面又平面所以则A正确；

则B正确；在棱上取点使，连结如图则易知为直线与所成角或其补角，可得则则直线与所成角的余弦值为则C错误；

由题意知三棱锥为棱长为的正四面体，作平面为垂足，则为正的中心，且为直线与平面所成角，所以当点移动到的中点时最短，如图，此时最小，最大，此时则D正确.

例8．如图，在棱长为2的正方体中，点是中点，动点在底面内（不包括边界），使四面体体积为，则的最小值是___________．

【答案】

【解析】由已知得四面体体积 所以设到的距离为，则解得所以在底面内（不包括边界）与平行且距离为的线段 上，要使的最小，则此时是过作的垂线的垂足.点到的距离为所以

此时

例9.(2020·新高考全国Ⅰ卷)如图,四棱锥P-ABCD的底面为正方形,PD⊥底面ABCD,设平面PAD与平面PBC的交线为l.

(1)证明:l⊥平面PDC;

(2)已知PD=AD=1,Q为l上的点,求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值.

【解析】(1)因为PD⊥底面ABCD,所以PD⊥AD.又底面ABCD为正方形,所以AD⊥DC,又DC∩PD=D,DC,PD⊂平面PDC,所以AD⊥平面PDC.因为AD∥BC,AD⊄平面PBC,BC⊂平面PBC,所以AD∥平面PBC,由平面PAD与平面PBC的交线为l,可得l∥AD.因此l⊥平面PDC.

(2)以D为坐标原点,的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系.则D(0,0,0),C(0,1,0),B(1,1,0),P(0,0,1),=(0,1,0),=(1,1,-1).

由(1)可设Q(a,0,1),则=(a,0,1),设n=(x,y,z)是平面QCD的一个法向量,则即可取n=(-1,0,a).所以cos?n,?==.设PB与平面QCD所成角为θ,则sin θ=×=.因为≤,当且仅当a=1时等号成立,所以PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值为.

例10.（2020·深圳市高级中学高三）如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，PO垂直于圆O所在的平面，且PO＝OB＝1.

(1)若D为线段AC的中点，求证：AC⊥平面PDO；

(2)求三棱锥P－ABC体积的最大值；

(3)若，点E在线段PB上，求CE＋OE的最小值．

【答案】（1）见解析；（2）；（3）

【解析】 (1)证明：在△AOC中，因为OA＝OC，D为AC的中点，所以AC⊥DO.

又PO垂直于圆O所在的平面，所以PO⊥AC.因为DO∩PO＝O，所以AC⊥平面PDO.

(2)解：因为点C在圆O上，所以当CO⊥AB时，C到AB的距离最大，且最大值为1.

又AB＝2，所以△ABC面积的最大值为.又因为三棱锥P－ABC的高PO＝1，

故三棱锥P－ABC体积的最大值为.

 (3)解：

在△POB中，PO＝OB＝1，∠POB＝90°，所以.同理，所以PB＝PC＝BC.在三棱锥P－ABC中，将侧面BCP绕PB旋转至平面BC′P，使之与平面ABP共面，如图所示．当O，E，C′共线时，CE＋OE取得最小值．又因为OP＝OB，，所以垂直平分PB，即E为PB的中点．从而，即CE＋OE的最小值为.

【压轴训练】

1.（2020河北邢台高三）设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

如图所示，

点M为三角形ABC的中心，E为AC中点，当平面时，三棱锥体积最大，此时，，，,点M为三角形ABC的中心，中，有，，。

2. （2020山东济南高三）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的，所以在正方体中，平面与线所成的角是相等的，所以平面与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的，同理平面也满足与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等，要求截面面积最大，则截面的位置为夹在两个面与中间的，且过棱的中点的正六边形，且边长为，所以其面积为.

3．（2020山西高三）两球和在棱长为1的正方体的内部，且互相外切，若球与过点的正方体的三个面相切，球与过点的正方体的三个面相切，则球和的表面积之和的最小值为(    )

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

设球与球的半径分别为r1,r2,∴r1+r2+ (r1+r2)=. r1+r2==，

r1+r2⩾2,球与球的面积之和为：S=4π(+)=4π(r1+r2)2−8π⩾

−2π =(6−3)π,当且仅当r1=r2时取等号，其面积最小值为

(6−3)π.故选A.

4.（浙江省余姚中学高三）如图，已知平面，，、是直线上的两点，、是平面内的两点，且，，，，．是平面上的一动点，且直线，与平面所成角相等，则二面角的余弦值的最小值是（  ）

A．     B．     C．     D．

【答案】B

【解析】，，，，，同理，为直线与平面所成的角，为直线与平面所成的角，，又

，

在平面内，以为轴，以的中垂线为轴建立平面直角坐标系

则，设

，整理可得：

在内的轨迹为为圆心，以为半径的上半圆

平面平面，，，为二面角的平面角，

当与圆相切时，最大，取得最小值，此时，

5．（2020四川石室中学高三）在中，已知，，，D是边AC上一点，将沿BD折起，得到三棱锥．若该三棱锥的顶点A在底面BCD的射影M在线段BC上，设，则x的取值范围为（    ）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】由将沿BD折起，得到三棱锥，且在底面的射影在线段上，如图2所示，平面，则，在折叠前图1中，作，垂足为，在图1中过作于点，当运动点与点无限接近时，折痕接近，此时与点无限接近，在图2中，由于是直角的斜边，为直角边，所以，由此可得,因为中，，由余弦定理可得,所以，所以由于，所以实数的取值范围是，

6．（2020四川高三）已知球O表面上的四点A，B，C，P满足，．若四面体PABC体积的最大值为，则球O的表面积为（  ）

A． B． C． D．8π

【答案】A

【解析】当平面ABP与平面ABC垂直时，四面体ABCP的体积最大．由，，得．设点Р到平面ABC的距离为h，则，解得．设四面体ABCP外接球的半径为R，则，解得．所以球O的表面积为．

7．（2019·湖南雅礼中学高三）圆锥的母线长为，其侧面展开图的中心角为弧度，过圆锥顶点的截面中，面积的最大值为，则的取值范围是（     ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】设轴截面的中心角为，过圆锥顶点的截面的顶角为，且，过圆锥顶点的截面的面积为：，又过圆锥顶点的截面中，面积的最大值为，

故此时，故，圆锥底面半径r，∴侧面展开图的中心角为弧度

8．（2020·安徽高考模拟）如图，已知四面体为正四面体，，，分别是，中点．若用一个与直线垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为（    ）

A． B． C． D．1

【答案】A

【解析】将正四面体补成正方体，如下图所示：

    截面为平行四边形，可得，又，，且， ，可得（当且仅当时取等号）

9．（2019·湖北高三月考）若一个四棱锥底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形的中心，且该四棱锥的体积为9，当其外接球表面积最小时，它的高为(    )

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】设正方形的边长为，则四棱锥的高为，正方形对角线长为，则其外接圆的半径.设球的半径为，则，解得，当且仅当，即时等号成立，此时，四棱锥的高为.故选A.

10． （2020广东高考模拟）平面四边形中，，，且，现将沿对角线翻折成，则在折起至转到平面的过程中，直线与平面所成最大角的正切值为（  ）

A．2 B． C． D．

【答案】D

【解析】取BD的中点O,则即平面,从而平面平面,因此在平面的射影在直线上，即为直线与平面所成角，因为，，且，所以,即最大值为，因此直线与平面所成最大角的正切值为，

11．（2021·山东菏泽市·高三期末）古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面上到两定点、距离之比是常数的点的轨迹是一个圆心在直线上的圆，该圆简称为阿氏圆.根据以上信息，解决下面的问题：在棱长为2的正方体中，点是正方体的表面(包括边界)上的动点，若动点满足，则点所形成的阿氏圆的半径为______；若是的中点，且满足，则三棱锥体积的最大值是______.

【答案】       

【详解】在上取点，在延长线上取点，使得，，则是题中阿氏圆上的点，由题意是阿氏圆的直径，，则，，所以，∴阿氏圆半径为；正方体中，都与侧面垂直，从而与侧面内的直线垂直，如图，则，∴，即在上述阿氏圆上，∵的面积是2为定值，因此只要到平面距离最大，则三棱锥体积的最大，由于点在阿氏圆上，当是阿氏圆与交点时，到平面距离最大，此时，因此，，三棱锥体积的最大值为．

12. a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：

①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；

②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；

③直线AB与a所成角的最小值为45°；

④直线AB与a所成角的最大值为60°.

其中正确的是________.（填写所有正确结论的编号）

【答案】②③

【解析】由题意知，a、b、AC三条直线两两相互垂直，画出图形如图，不妨设图中所示正方体边长为1，故|AC|＝1，|AB|，斜边AB以直线AC为旋转轴，则A点保持不变，

B点的运动轨迹是以C为圆心，1为半径的圆，以C坐标原点，以CD为x轴，CB为y轴，CA为z轴，建立空间直角坐标系，则D（1，0，0），A（0，0，1），直线a的方向单位向量（0，1，0），||＝1，直线b的方向单位向量（1，0，0），||＝1，设B点在运动过程中的坐标中的坐标B′（cosθ，sinθ，0），其中θ为B′C与CD的夹角，θ∈[0，2π），

∴AB′在运动过程中的向量，（cosθ，sinθ，﹣1），||，设与所成夹角为α∈[0，]，则cosα|sinθ|∈[0，]，

∴α∈[，]，∴③正确，④错误．设与所成夹角为β∈[0，]，

cosβ|cosθ|，

当与夹角为60°时，即α，|sinθ|，

∵cos2θ+sin2θ＝1，∴cosβ|cosθ|，∵β∈[0，]，∴β，此时与的夹角为60°，∴②正确，①错误．

13.如图，在ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°.若平面ABC外的点P和线段AC上的点D，满足PD=DA，PB=BA，则四面体PBCD的体积的最大值是    .

【答案】

【解析】中，因为，所以.

由余弦定理可得 ，

所以.设，则，.在中，由余弦定理可得 .故.在中，，.由余弦定理可得，所以.由此可得，将ABD沿BD翻折后可与PBD重合，无论点D在任何位置，只要点D的位置确定，当平面PBD⊥平面BDC时，四面体PBCD的体积最大（欲求最大值可不考虑不垂直的情况）.

过作直线的垂线，垂足为.设，则，

即，解得.而 的面积.当平面PBD⊥平面BDC时：

四面体的体积 .

观察上式，易得，当且仅当，即时取等号，同时我们可以发现当时，取得最小值，故当时，四面体的体积最大，为

14.（2020安徽芜湖一中高三）在中，，斜边．可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角是直二面角．动点的斜边上．

（1）求证：平面平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦的最大值．

【答案】（1）详见解析；（2）.

【解析】

（1）为直角三角形，且斜边为，.

将以直线为轴旋转得到，则，即.

二面角是直二面角，即平面平面.

又平面平面，平面，平面.

平面，因此，平面平面；

（2）在中，，斜边，且.

由（1）知，平面，所以，直线与平面所成的角为.

在中，，，，

，

当时，取最小值，此时取最大值，且.

因此，，

即直线与平面所成角的正弦的最大值为.

15.（2020江苏高三）现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥，下部分的形状是正四棱柱（如图所示），并要求正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍.

（1）若则仓库的容积是多少？

（2）若正四棱锥的侧棱长为，则当为多少时，仓库的容积最大？

【答案】（1）312（2）

【解析】

（1）由PO1=2知OO1=4PO1=8.因为A1B1=AB=6，

所以正四棱锥P-A1B1C1D1的体积

正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积

所以仓库的容积V=V锥+V柱=24+288=312（m3）.

（2）设A1B1=a（m），PO1=h（m），则0<h<6，OO1=4h.连结O1B1.因为在 中，所以，即

于是仓库的容积，

从而.

令，得或（舍）.

当时，，V是单调增函数；当时，，V是单调减函数.

故时，V取得极大值，也是最大值.因此，当m时，仓库的容积最大.