专题03 含参数单调性问题-备战2022高考数学冲破压轴题讲与练

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纵观近几年的高考命题，应用导数研究函数的单调性、极（最）值问题，证明不等式、研究函数的零点等，是高考考查的“高频点”问题，常常出现在“压轴题”的位置，特别是含参数问题，离不开函数单调性研究.本专题就含参数的函数单调性问题，进行专题探讨，通过例题说明此类问题解答规律与方法.
1.讨论函数的单调性其实就是讨论不等式的解集的情况．大多数情况下，这类问题可以归结为一个含有参数的一元二次不等式的解集的讨论：
(1)在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时，依据根的大小进行分类讨论．
(2)在不能通过因式分解求出根的情况时，根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论．
2.利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号，当f(x)含参数时，需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．讨论的标准有以下几种可能：(1)f′(x)＝0是否有根；(2)若f′(x)＝0有根，求出的根是否在定义域内；(3)若在定义域内有两个根，比较两个根的大小．
3.讨论函数f(x)单调性的方法步骤
(1)确定函数f(x)的定义域．
(2)求导数f′(x)，并求方程f′(x)＝0的根．
(3)利用f′(x)＝0的根将函数的定义域分成若干个子区间，在这些子区间上讨论f′(x)的正负，由符号确定f(x)在该区间上的单调性．
4.由函数的单调性求参数的取值范围的方法
(1)可导函数在区间(a，b)上单调，实际上就是在该区间上f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，得到关于参数的不等式，从而转化为求函数的最值问题，求出参数的取值范围．
(2)可导函数在区间(a，b)上存在单调区间，实际上就是f′(x)＞0(或f′(x)＜0)在该区间上存在解集，从而转化为不等式问题，求出参数的取值范围．
(3)若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I上含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，
令I是其单调区间的子集，从而求出参数的取值范围．
【压轴典例】
例1.(2020·全国卷Ⅱ文科·T21)已知函数f(x)=2ln x+1.
(1)若f(x)≤2x+c,求c的取值范围;
(2)设a>0时,讨论函数g(x)=的单调性.
例2.(2020·全国卷Ⅲ文科·T20)已知函数f(x)=x3-kx+k2.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若f(x)有三个零点,求k的取值范围.
例3.(2020·全国卷Ⅰ高考理科·T21)已知函数f(x)=ex+ax2-x.
(1)当a=1时,讨论f(x)的单调性;
(2)当x≥0时,f(x)≥x3+1,求a的取值范围.
例4.(2020·全国卷Ⅱ理科·T21)已知函数f(x)=sin2xsin 2x.
(1)讨论f(x)在区间(0,π)的单调性; (2)证明:|f(x)|≤;
(3)设n∈N*,证明:sin2xsin22xsin24x…sin22nx≤.
例5.（2019·全国高考真题）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，记在区间的最大值为，最小值为，求的取值范围.
例6.（2019·全国高考真题）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）是否存在，使得在区间的最小值为且最大值为1？若存在，求出的所有值；若不存在，说明理由.
例8．【湖北省宜昌市2020-2021学年高三】已知函数．
（1）当时，求的单调区间；
（2）若，且，求证：．
例9．【江西宜春市2021届高三】已知函数.
（1）求函数的单调区间，并求的最值；
（2）已知，.
①证明：有最小值；②设的最小值为，求函数的值域.
例10.（2018·全国高考真题）已知函数．
（1）讨论的单调性；（2）若存在两个极值点，证明：．
【压轴训练】
1．（2021·江西上饶市·高三）已知定义在上的函数满足，其中是函数的导函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2021·浙江绍兴市·高三期末）已知函数，若，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2021·全国高三零模）已知且且且，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2021·石嘴山市第三中学高三）若曲线在点处的切线过点，则函数的单调递减区间为（ ）
A．B．，(-1，0)
C．D．
5．（2021·全国高三专题练习）已知函数，若对任意的，都有恒成立，则实数k的最大值是（ ）
A．B．0C．1D．2
6．（2020·四川高考模拟）若函数存在单调递增区间，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．（2019·湖北黄冈中学高考）已知函数（为大于1的整数），若与的值域相同，则的最小值是（ ）（参考数据：，，）
A．5B．6C．7D．8
8．【安徽省马鞍山市2020-2021学年高三】已知是自然对数的底数，
函数，其中.
（1）当时，若，求的单调区间;
（2）若在上恰有三个零点，求的取值范围.
9．【安徽省芜湖市2020-2021学年高三】已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）函数，当时，讨论零点的个数.
10．【宁夏平罗中学2021届高三】已知函数，其中.
（1）当时，求函数在上的最值；
（2）（i）讨论函数的单调性；
（ii）若函数有两个零点，求的取值范围.
11．【安徽省皖西南联盟2020-2021学年高三】已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程．
（2）证明：对恒成立．
12.【安徽省淮南市2020-2021学年高三】己知函数．
（Ⅰ）若在R上是减函数，求m的取值范围；
（Ⅱ）当时，证明有一个极大值点和一个极小值点．
13．【浙江省湖州市2020-2021学年高三】已知函数，为自然对数的底数.
（Ⅰ）当且时，证明：；
14.（2020·山东高考模拟）已知函数f（x）＝ax+lnx（a∈R），g（x）＝x2emx（m∈R，e为自然对数的底数）．
（1）讨论函数f（x）的单调性及最值；
（2）若a＞0，且对∀x1，x2∈[0，2]，f（x1+1）≥g（x2）+a﹣1恒成立，求实数m的取值范围．
15．（2020·贵州高考模拟）已知函数f（x）=ax2+（a-2）lnx+1（a∈R）．
（1）若函数在点（1，f（1））处的切线平行于直线y=4x+3，求a的值；
（2）令c（x）=f（x）+（3-a）lnx+2a，讨论c（x）的单调性；
（3）a=1时，函数y=f（x）图象上的所有点都落在区域内，求实数t的取值范围．
16．（2020·安徽高考模拟）已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数图像过点，求证：.