专题02 曲线的切线问题探究-备战2022高考数学冲破压轴题讲与练

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纵观近几年的高考命题，对曲线的切线问题的考查，主要与导数相结合，涉及切线的斜率、倾斜角、切线方程等问题，题目的难度有难有易.利用导数的几何意义解题，主要题目类型有求切线方程、求切点坐标、求参数值（范围）等.与导数几何意义有关问题的常见类型及解题策略有：
1.已知斜率求切点．已知斜率，求切点，即解方程.
2.求切线方程：注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线.即注意两个“说法”：求曲线在点P处的切线方程和求曲线过点P的切线方程，在点P处的切线，一定是以点P为切点，过点P的切线，不论点P在不在曲线上，点P不一定是切点．
（1）已知切点求切线方程：①求出函数在点处的导数，即曲线在点处切线的斜率；②由点斜式求得切线方程为．
（2）求过点P的曲线的切线方程的步骤为：
第一步，设出切点坐标P′(x1，f(x1))；
第二步，写出过P′(x1，f(x1))的切线方程为y-f(x1)＝f′(x1)(x-x1)；
第三步，将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程，求出x1；
第四步，将x1的值代入方程y-f(x1)＝f′(x1)(x-x1)可得过点P(x0，y0)的切线方程．
3.求切线倾斜角的取值范围．先求导数的范围，即确定切线斜率的范围，然后利用正切函数的单调性解决．
4.根据导数的几何意义求参数的值（范围）时，一般是利用切点P(x0，y0)既在曲线上又在切线上构造方程组求解．
5.已知两条曲线有公切线，求参数值（范围）.
6.导数几何意义相关的综合问题．
【压轴典例】
例1.（2019·江苏高考真题）在平面直角坐标系中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（-e，-1)(e为自然对数的底数），则点A的坐标是( )
A． B． C． D．
【答案】C.
【解析】设点，则.又，当时，，点A在曲线上的切线为，即，代入点，得，即，考查函数，当时，，当时，，且，当时，单调递增，注意到，故存在唯一的实数根，此时，故点的坐标为.
例2.(2020·全国卷Ⅰ高考理科·T6)函数f(x)=x4-2x3的图像在点(1,f(1))处的切线方程为( )
A.y=-2x-1 B.y=-2x+1 C.y=2x-3 D.y=2x+1
【答案】B
【解析】因为f(x)=x4-2x3,所以f'(x)=4x3-6x2,所以f(1)=-1,f'(1)=-2,因此,所求切线的方程为y+1=-2(x-1),即y=-2x+1.
例3．（2020·江苏高三期中）（多选）在直角坐标系内，由，，，四点所确定的“型函数”指的是三次函数，其图象过，两点，且的图像在点处的切线经过点，在点处的切线经过点.若将由，，，四点所确定的“型函数”记为，则下列选项正确的是（ ）
A．曲线在点处的切线方程为 B．
C．曲线关于点对称 D．当时，
【答案】ABC
【详解】因为直线的斜率为，所以的方程为，即，所以A正确.因为的图象过点及，所以有两个零点0，4，故可设(其中)，则，由，，得，，所以，故B正确.由选项B可知，，所以曲线关于点对称，故C正确.当时，有，，所以，故D不正确.
例4．（2020·河北唐山高三）(多选)设点是曲线上的任意一点，点处的切线的倾斜角为，则角的取值范围包含下列哪些（ ）
A．B．C．D．
【答案】CD
【详解】因为，故可得；设切线的倾斜角为，则，故可得，
例5．（2020·湖北武汉高三）已知函数，若过点可作曲线的三条切线，则的取值可以是（ ）
A．0B．C．D．
【答案】CD
【详解】，， 由已知得，过点作曲线的三条切线，情况如下：①点在曲线上，故此时，切点为，把点代入函数可得，，利用切线公式得，，所以，此时，切线为轴，但此时，切线只有一条，不符题意； ②点不在曲线上，故此时，设切点为，故切线经过切线方程为：，所以，，又因为切点在曲线上，所以，，
又因为切线的斜率为：联立方程得，，化简得，，令，即有三个解，即与有三个交点，令，可得两极值点为，；对于，在和时，单调递增，在时单调递减，所以，当时，因为，，所以，当时，满足与有三个交点，而
例6．（2020·梅河口市第五中学高三）已知函数，曲线在点处与点处的切线均平行于轴，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】因为函数，所以定义域为，，因为曲线在点处与点处的切线均平行于轴，所以、是方程的两个不相等的正根，，，则，解得，令，则
，易知在上是减函数，故，的取值范围是，
例7.（2019·全国高考真题）已知函数.
（1）讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点；
（2）设x0是f(x)的一个零点，证明曲线y=ln x 在点A(x0，ln x0)处的切线也是曲线的切线.
【答案】（1）函数在和上是单调增函数，证明见解析；
（2）证明见解析.
【解析】（1）函数的定义域为，
，因为函数的定义域为，所以，因此函数在和上是单调增函数；当，时，，而，显然当，函数有零点，而函数在上单调递增，故当时，函数有唯一的零点；当时，，因为，所以函数在必有一零点，而函数在上是单调递增，故当时，函数有唯一的零点
综上所述，函数的定义域内有2个零点；
（2）因为是的一个零点，所以
，所以曲线在处的切线的斜率，故曲线在处的切线的方程为：而，所以的方程为，它在纵轴的截距为.设曲线的切点为，过切点为切线，，所以在处的切线的斜率为，因此切线的方程为，当切线的斜率等于直线的斜率时，即，切线在纵轴的截距为，而，所以，直线的斜率相等，在纵轴上的截距也相等，因此直线重合，故曲线在处的切线也是曲线的切线.
例8. (2020·全国卷Ⅲ理科·T21)函数f(x)=x3+bx+c,曲线y=f(x)在点处的切线与y轴垂直
(1)求b;
(2)若f(x)有一个绝对值不大于1的零点,证明f(x)所有零点的绝对值都不大于1.
【解析】(1)因为f'(x)=3x2+b,由题意,f'=0,即3×+b=0,则b=-.
(2)由(1)可得f(x)=x3-x+c,f'(x)=3x2-=3,令f'(x)>0,得x>或x