2021年湖北省武汉市部分学校九年级四月调考数学试卷

这是一份2021年湖北省武汉市部分学校九年级四月调考数学试卷，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年湖北省武汉市部分学校九年级四月调考数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）﹣3的相反数是（　　）
A．3 B．﹣3 C．13 D．-13
2．（3分）不透明的袋子中只有3个黑球和1个白球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中一次摸出2个球，下列事件是必然事件的是（　　）
A．2个球都是白球 B．2个球都是黑球
C．2个球中有白球 D．2个球中有黑球
3．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（3分）计算（﹣a3）2的结果是（　　）
A．﹣a5 B．a5 C．﹣a6 D．a6
5．（3分）如图所示的几何体的俯视图是（　　）

A． B． C． D．
6．（3分）一双红色袜子和一双白色袜子，除颜色外无其他差别，随机从这四只袜子中一次抽取两只袜子，颜色相同的概率是（　　）
A．23 B．12 C．13 D．14
7．（3分）若点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（3，y3）在反比例函数y=-k2+1x（k是常数）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y1＞y3＞y2 D．y3＞y2＞y1
8．（3分）杆秤是我国传统的计重工具．如图，可以用秤砣到秤纽的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的质量．称重时，若秤砣到秤纽的水平距离为x（单位：cm）时，秤钩所挂物重为y（单位：kg），则y是x的一次函数．下表记录了四次称重的数据，其中只有一组数据记录错误，它是（　　）
组数
1
2
3
4
x/cm
1
2
4
7
y/kg
0.80
1.05
1.65
2.30

A．第1组 B．第2组 C．第3组 D．第4组
9．（3分）如图，AB是半圆O的直径，以O为圆心，OC长为半径的半圆交AB于C，D两点，弦AF切小半圆于点E．已知OA＝2，OC＝1，则图中阴影部分的面积是（　　）

A．32+π3 B．33+π2 C．32+π2 D．33+π3
10．（3分）在平面直角坐标系中，函数y=2x（x＜0）与y＝x+1的图象交于点P（a，b），则代数式1a-1b的值是（　　）
A．-22 B．22 C．2 D．-2
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）化简(-2)2的结果是　 　．
12．（3分）某校组织党史知识大赛，25名参赛同学的得分情况如图所示，这些成绩的众数是　 　．

13．（3分）方程xx-1=32x-2-2的解是　 　．
14．（3分）如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋楼顶部B的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球A与楼的水平距离为120m，这栋楼的高度BC是 　 　m．（3≈1.732，结果取整数）

15．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）的对称轴为直线x＝1，经过A（0，2），B（﹣1，m）两点，其中m＜0．下列四个结论：
①ab＜0；
②一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根在1和2之间；
③点P1（t，y1），P2（t+1，y2）在抛物线上，当实数t＞23时，y1＞y2；
④a＜-23．
其中正确的结论是　 　（填写序号）．
16．（3分）先将如图（1）的等腰三角形的纸片沿着虚线剪成四块，再用这四块小纸片进行拼接，恰好拼成一个如图（2）无缝隙、不重叠的正方形，则该等腰三角形底角的正切值是　 　．

三、解答题（共8小题，共72分）
17．（8分）解不等式组3x≤x+4①5x-1＞x-5②请按下列步骤完成解答：
（Ⅰ）解不等式①，得　 　；
（Ⅱ）解不等式②，得　 　；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（Ⅳ）原不等式组的解集为　 　．

18．（8分）如图，B，E分别是AC，DF上的点，AE∥BF，∠A＝∠F．求证：∠C＝∠D．

19．（8分）在“世界读书日”来临之际，某校为了解学生的课外阅读情况，从全校随机抽取了部分学生，调查了他们平均每周的课外阅读时间t（单位：h）．整理所得数据绘制成如下不完整的统计图表，
平均每周的课外阅读时间频数分布表
组别
平均每周的课外阅读时间t/h
人数
A
t＜6
16
B
6≤t＜8
a
C
8≤t＜10
b
D
t≥10
8
根据以上图表信息，解答下列问题：
（1）这次被调查的同学共有　 　人，a＝　 　；
（2）B组所在扇形的圆心角的大小是　 　；
（3）该校共1200名学生，请你估计该校学生平均每周的课外阅读时间不少于8h的人数．

20．（8分）在如图的网格中建立平面直角坐标系，△ABC的顶点坐标分别为A（3，5），B（0，1），C（5，1），D是AB与网格线的交点，AE是△ABC的高，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示，并回答下列问题：
（1）直接写出△ABC的形状；
（2）画出点D关于AE的对称点F；
（3）在AC上画点G，使EG＝EC；
（4）线段AB和线段BC存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，直接写出这个旋转中心的坐标．

21．（8分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC⊥BD，垂足为E，AB=AC．
（1）求证：∠BAC＝2∠CAD；
（2）若⊙O的半径为5，sin∠CAD=25，求BE﹣DE的值．

22．（10分）某商场用12000元购进大、小书包各200个，每个小书包比大书包的进价少20元．在销售过程中发现，小书包每天的销量y1（单位：个）与其销售单价x（单位：元）有如下关系：y1＝﹣x+76，大书包每天的销量y2（单位：个）与其销售单价z（单位：元）有如下关系：y2＝﹣z+80，其中x，z均为整数．商场按照每个小书包和每个大书包的利润率相同的标准确定销售单价，并且销售单价均高于进价（利润率=销售单价-进价进价）．
（1）求两种书包的进价；
（2）当小书包的销售单价为多少元时，两种书包每天销售的总利润相同；
（3）当这两种书包每天销售的总利润的和最大时，直接写出此时小书包的销售单价．
23．（10分）如图，P是正方形ABCD边BC上一个动点，线段AE与AD关于直线AP对称，连接EB并延长交直线AP于点F，连接CF．
（1）如图1，∠BAP＝20°，直接写出∠AFE的大小；
（2）如图2，求证：BE=2CF；
（3）如图3，连接CE，G是CE的中点，AB＝1，若点P从点B运动到点C，直接写出点G的运动路径长．

24．（12分）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+c分别交x轴于A，B两点（点A在点B的左边），交y轴正半轴于点C，过点A作CB的平行线AE交抛物线于另一点E，交y轴于点D．
（1）如图（1），c＝3．
①直接写出点A的坐标和直线CB的解析式；
②直线AE上有两点F，G，横坐标分别为t，t+1，分别过F，G两点作y轴的平行线交抛物线于M，N两点．若以F，G，M，N四点为顶点的四边形是平行四边形，求t的值．
（2）如图（2），若DE＝3AD，求c的值．


2021年湖北省武汉市部分学校九年级四月调考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）﹣3的相反数是（　　）
A．3 B．﹣3 C．13 D．-13
【解答】解：﹣3的相反数是3．
故选：A．
2．（3分）不透明的袋子中只有3个黑球和1个白球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中一次摸出2个球，下列事件是必然事件的是（　　）
A．2个球都是白球 B．2个球都是黑球
C．2个球中有白球 D．2个球中有黑球
【解答】解：袋子中有3个黑球和1个白球，从中随机摸出两个球，根据抽屉原理可知，
这两个球中至少有一个黑球，
因此摸出的两个球中有黑球是必然事件，
故选：D．
3．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、是中心对称图形，符合题意；
B、不是中心对称图形，不合题意；
C、不是中心对称图形，不合题意；
D、不是中心对称图形，不合题意；
故选：A．
4．（3分）计算（﹣a3）2的结果是（　　）
A．﹣a5 B．a5 C．﹣a6 D．a6
【解答】解：（﹣a3）2＝a6，
故选：D．
5．（3分）如图所示的几何体的俯视图是（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：从几何体的上面看，底层是两个小正方形，上层的右边是一个小正方形．
故选：C．
6．（3分）一双红色袜子和一双白色袜子，除颜色外无其他差别，随机从这四只袜子中一次抽取两只袜子，颜色相同的概率是（　　）
A．23 B．12 C．13 D．14
【解答】解：列表如下：

白
白
红
红
白
﹣﹣﹣
（白，白）
（红，白）
（红，白）
白
（白，白）
﹣﹣﹣
（红，白）
（红，白）
红
（白，红）
（白，红）
﹣﹣﹣
（红，红）
红
（白，红）
（白，红）
（红，红）
﹣﹣﹣
所有等可能的情况有12种，其中任意穿上两只袜子刚好是一对的情况有4种，
所以从这四只袜子中一次抽取两只袜子，颜色相同的概率是412=13，
故选：C．
7．（3分）若点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（3，y3）在反比例函数y=-k2+1x（k是常数）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y1＞y3＞y2 D．y3＞y2＞y1
【解答】解：∵﹣（k2+1）＜0，
∴反比例函数y=-k2+1x（k是常数）的图象位于二四象限，且在每个象限内，y随x的增大而增大，
因此点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2）在第二象限，而C（2，y3）在第四象限，
∴0＜y2＜y1，y3＜0，
∴y2＞1＞y3，
故选：B．
8．（3分）杆秤是我国传统的计重工具．如图，可以用秤砣到秤纽的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的质量．称重时，若秤砣到秤纽的水平距离为x（单位：cm）时，秤钩所挂物重为y（单位：kg），则y是x的一次函数．下表记录了四次称重的数据，其中只有一组数据记录错误，它是（　　）
组数
1
2
3
4
x/cm
1
2
4
7
y/kg
0.80
1.05
1.65
2.30

A．第1组 B．第2组 C．第3组 D．第4组
【解答】解：设y＝kx+b，把x＝1，y＝0.80，x＝2，y＝1.05代入可得：
k+b=0.802k+b=1.05，
解得k=0.25b=0.55，
∴y＝0.25x+0.55，
当x＝4时，y＝0.25×4+0.55＝1.55，
∴第3组数据不在这条直线上，
当x＝7时，y＝0.25×7+0.55＝2.30，
∴第4组数据在这条直线上，
故选：C．
9．（3分）如图，AB是半圆O的直径，以O为圆心，OC长为半径的半圆交AB于C，D两点，弦AF切小半圆于点E．已知OA＝2，OC＝1，则图中阴影部分的面积是（　　）

A．32+π3 B．33+π2 C．32+π2 D．33+π3
【解答】解：连接OE、OF，如图，
∵弦AF切小半圆于点E，
∴OE⊥AF，
在Rt△OEF中，EF=22-12=3，
∵sin∠OFE=OEOF=12，
∴∠OFE＝30°，
∴∠FOE＝60°，∠OAF＝30°，
∴∠BOF＝60°，
∴∠DOE＝120°，
图中阴影部分的面积＝S扇形BOF+S△OEF﹣S扇形DOE
=60×π×22360+12×1×3-120×π×12360
=π3+32．
故选：A．

10．（3分）在平面直角坐标系中，函数y=2x（x＜0）与y＝x+1的图象交于点P（a，b），则代数式1a-1b的值是（　　）
A．-22 B．22 C．2 D．-2
【解答】解：把点P（a，b）分别代入 y=2x与y＝x+1中，
得b=2a，b＝a+1，
即ab=2，b﹣a＝1，
∵1a-1b=bab-aab=b-aab，
把ab=2，b﹣a＝1代入上式，
原式=12=22，
∴代数式1a-1b的值为22．
故选：B．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）化简(-2)2的结果是　2　．
【解答】解：(-2)2=4=2．
故应填2．
12．（3分）某校组织党史知识大赛，25名参赛同学的得分情况如图所示，这些成绩的众数是　96　．

【解答】解：25名参赛同学的得分出现次数最多的是96分，共出现9次，
因此众数是96，
故答案为：96．
13．（3分）方程xx-1=32x-2-2的解是　x=76　．
【解答】解：去分母得：2x＝3﹣2（2x﹣2），
去括号得：2x＝3﹣4x+4，
移项合并得：6x＝7，
解得：x=76，
检验：把x=76代入得：2x﹣2=73-2=13≠0，
则x=76是分式方程的解．
故答案为：x=76．
14．（3分）如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋楼顶部B的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球A与楼的水平距离为120m，这栋楼的高度BC是 　277　m．（3≈1.732，结果取整数）

【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，如图所示：
则∠BAD＝30°，∠CAD＝60°，AD＝120m，
在Rt△ABD中，BD＝AD•tan30°＝120×33=403（m），
在Rt△ACD中，CD＝AD•tan60°＝120×3=1203（m），
∴BC＝BD+CD＝1603≈277（m）．
故答案为：277．

15．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）的对称轴为直线x＝1，经过A（0，2），B（﹣1，m）两点，其中m＜0．下列四个结论：
①ab＜0；
②一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根在1和2之间；
③点P1（t，y1），P2（t+1，y2）在抛物线上，当实数t＞23时，y1＞y2；
④a＜-23．
其中正确的结论是　①③④　（填写序号）．
【解答】解：由题意可知抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵-b2a=1，
∴b＝﹣2a＞0，
∴ab＜0，故①正确；
由题意可知，抛物线与x轴的交点横坐标在﹣1和0之间，
∵对称轴为直线x＝1，
∴另一个交点的横坐标在2和3之间，
∴一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根在2和3之间，故②错误；
∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，
当两点在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，
∵点P1（t，y1），P2（t+1，y2）在抛物线上，
∴当t≥1时，y1＞y2，
当两点在对称轴两侧时，即t＜1＜t+1，
∵t＞23，
∵1﹣t＜t+1﹣1，
∴y1＞y2，故③正确；
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）的对称轴为直线x＝1，经过A（0，2），B（﹣1，m）两点，其中m＜0．
∴b＝﹣2a，c＝2，a﹣b+c＝m＜0，
∴a+2a+2＜0，
∴a＜-23，故④正确；
故答案为①③④．
16．（3分）先将如图（1）的等腰三角形的纸片沿着虚线剪成四块，再用这四块小纸片进行拼接，恰好拼成一个如图（2）无缝隙、不重叠的正方形，则该等腰三角形底角的正切值是　5+32　．

【解答】解：如图，等腰三角形纸片沿图中虚线剪成四块图形，能拼成一个没有缝隙的正方形和矩形，

根据题意，得（a+b）2＝b（b+a+b），
∴b2﹣ab﹣a2＝0，
解得b=1±52a（负值舍去），
∴b=1+52a，
∴该等腰三角形底角的正切值=a+2bb=2+ab=5+32．
故答案为：5+32．
三、解答题（共8小题，共72分）
17．（8分）解不等式组3x≤x+4①5x-1＞x-5②请按下列步骤完成解答：
（Ⅰ）解不等式①，得　x≤2　；
（Ⅱ）解不等式②，得　x＞﹣1　；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（Ⅳ）原不等式组的解集为　﹣1＜x≤2　．

【解答】解：（Ⅰ）解不等式①，得x≤2；
（Ⅱ）解不等式②，得x＞﹣1；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来，如下：

（Ⅳ）原不等式组的解集为﹣1＜x≤2．
故答案为：x≤2，x＞﹣1，﹣1＜x≤2．
18．（8分）如图，B，E分别是AC，DF上的点，AE∥BF，∠A＝∠F．求证：∠C＝∠D．

【解答】证明：∵AE∥BF，
∴∠AED＝∠F．
∵∠A＝∠F，
∴∠AED＝∠A．
∴AC∥DF．
∴∠C＝∠D．
19．（8分）在“世界读书日”来临之际，某校为了解学生的课外阅读情况，从全校随机抽取了部分学生，调查了他们平均每周的课外阅读时间t（单位：h）．整理所得数据绘制成如下不完整的统计图表，
平均每周的课外阅读时间频数分布表
组别
平均每周的课外阅读时间t/h
人数
A
t＜6
16
B
6≤t＜8
a
C
8≤t＜10
b
D
t≥10
8
根据以上图表信息，解答下列问题：
（1）这次被调查的同学共有　80　人，a＝　32　；
（2）B组所在扇形的圆心角的大小是　144°　；
（3）该校共1200名学生，请你估计该校学生平均每周的课外阅读时间不少于8h的人数．

【解答】解：（1）样本容量为：16÷20%＝80（人）；8÷80＝10%，
∴B组的占比为：1﹣20%﹣10%﹣30%＝40%，
∴a＝80×40%＝32（人），
故答案为：80；32；
（2）由（1）知B组所占百分数为40%，
∴B组所在扇形的圆心角为：360°×40%＝144°，
故答案为：144°；
（3）根据题意，得C，D两组所占的百分数之和为10%+30%＝40%，
∴学生平均每周的课外阅读时间不少于8h的人数为：1200×40%＝480（人）．
20．（8分）在如图的网格中建立平面直角坐标系，△ABC的顶点坐标分别为A（3，5），B（0，1），C（5，1），D是AB与网格线的交点，AE是△ABC的高，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示，并回答下列问题：
（1）直接写出△ABC的形状；
（2）画出点D关于AE的对称点F；
（3）在AC上画点G，使EG＝EC；
（4）线段AB和线段BC存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，直接写出这个旋转中心的坐标．

【解答】解：（1）∵BC＝5，AB=32+42=5，
∴BA＝BC，
∴△ABC是等腰三角形．
（2）如图，点F即为所求作．
（3）如图，点G即为所求作．
（4）旋转中心是点B（0，1），另一种就是A和B对应 B和C对应此时旋转中心为（2.5，2.25）

21．（8分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC⊥BD，垂足为E，AB=AC．
（1）求证：∠BAC＝2∠CAD；
（2）若⊙O的半径为5，sin∠CAD=25，求BE﹣DE的值．

【解答】（1）证明：如图1，连接AO并延长交BC于点F，

∵AB=AC，
∴AF⊥BC，AB＝AC，
∴∠AFC＝∠FAC+∠ACB＝90°，∠BAC＝2∠FAC，
∵AC⊥BD，
∴∠AED＝∠CAD+∠ADB＝90°，
∵∠ADB＝∠ACB，
∴∠FAC＝∠CAD，
∴∠BAC＝2∠CAD；
（2）解：如图2，连接AO并延长交BC于点F，连接OC，过点O作OH⊥AC于H，

∵OA＝OC，OH⊥AC，
∴AH＝CH=12AC，
由（1）知：∠CAO＝∠CAD，
∴sin∠CAO＝sin∠CAD，
∵sin∠CAD=25，
∴OHOA=25，
∵OA＝5，
∴OH＝2，
∴AH=52-22=21，
∴AC＝221，
设OF＝x，则AF＝x+5，
由勾股定理是：CF2＝AC2﹣AF2＝OC2﹣OF2，
即（221）2﹣（x+5）2＝52﹣x2，
解得：x＝3.4，
∴OF＝3.4，
∴FC=4215，
∵∠CAD＝∠CBD，
∴sin∠CAD＝sin∠CBD，
∴FGBG=25，
设FG＝2a，BG＝5a，
则BF2＝25a2﹣4a2＝21a2，
∴21a2=16×2125，
∴a=45（负值舍），
∴BG＝5×45=4，
∵∠CAD＝∠CAF，∠AED＝∠AEG＝90°，
∴∠AGD＝∠ADG，
∴AD＝AG，
∵AE⊥DG，
∴DE＝EG，
∴BE﹣DE＝BE﹣EG＝BG＝4．
22．（10分）某商场用12000元购进大、小书包各200个，每个小书包比大书包的进价少20元．在销售过程中发现，小书包每天的销量y1（单位：个）与其销售单价x（单位：元）有如下关系：y1＝﹣x+76，大书包每天的销量y2（单位：个）与其销售单价z（单位：元）有如下关系：y2＝﹣z+80，其中x，z均为整数．商场按照每个小书包和每个大书包的利润率相同的标准确定销售单价，并且销售单价均高于进价（利润率=销售单价-进价进价）．
（1）求两种书包的进价；
（2）当小书包的销售单价为多少元时，两种书包每天销售的总利润相同；
（3）当这两种书包每天销售的总利润的和最大时，直接写出此时小书包的销售单价．
【解答】解：（1）设大书包的进价为a元/个，则小书包的进价为（a﹣20）元/个，
200a+200（a﹣20）＝12000，
解得a＝40，
∴a﹣20＝20，
答：大书包的进价为40元/个，小书包的进价为20元/个；
（2）∵商场按照每个小书包和每个大书包的利润率相同的标准确定销售单价，
∴x-2020=z-4040，
∴z＝2x，
∵两种书包每天销售的总利润相同，
∴（x﹣20）（﹣x+76）＝（z﹣40）（﹣z+80），
∴（x﹣20）（﹣x+76）＝（2x﹣40）（﹣2x+80），
解得x1＝20，x2＝28，
∵销售单价均高于进价，
∴x＝20不合题意，
∴x＝28，
答：当小书包的销售单价为28元时，两种书包每天销售的总利润相同；
（3）设这两种书包每天销售的总利润的和为w元，
w＝（x﹣20）（﹣x+76）+（z﹣40）（﹣z+80），
由（2）知，z＝2x，
∴w＝（x﹣20）（﹣x+76）+（2x﹣40）（﹣2x+80）＝﹣5x2+336x﹣4720，
∴该函数的对称轴是直线x=-3362×(-5)=33.6，开口向下，有最大值，
又∵x为整数，
∴当x＝34时，w取得最大值，此时w＝924，
答：当这两种书包每天销售的总利润的和最大时，此时小书包的销售单价是34元．
23．（10分）如图，P是正方形ABCD边BC上一个动点，线段AE与AD关于直线AP对称，连接EB并延长交直线AP于点F，连接CF．
（1）如图1，∠BAP＝20°，直接写出∠AFE的大小；
（2）如图2，求证：BE=2CF；
（3）如图3，连接CE，G是CE的中点，AB＝1，若点P从点B运动到点C，直接写出点G的运动路径长．

【解答】解：（1）∵∠BAP＝20°，
∴∠DAP＝70°，
∵线段AE与AD关于直线AP对称，
∴∠DAP＝∠EAP＝70°，AD＝AE，
∴∠BAE＝50°，AB＝AE，
∴∠E＝∠ABE＝65°，
∴∠AFE＝180°﹣70°﹣65°＝45°；
（2）设∠BAP＝x，
∴∠DAP＝90°﹣x，
∵线段AE与AD关于直线AP对称，
∴∠DAP＝∠EAP＝90°﹣x，AD＝AE，
∴∠BAE＝90°﹣2x，AB＝AE，
∴∠E＝∠ABE＝45°+x，
∴∠AFE＝180°﹣（90°﹣x）﹣（45°+x）＝45°；
如图2，连接DF，DE，BD，

∵四边形ABCD是正方形，
∴BD=2CD，∠CDB＝45°，
∵线段AE与AD关于直线AP对称，
∴DF＝EF，∠DFA＝∠AFE＝45°，
∴∠DFE＝90°，
∴∠FDE＝45°＝∠CDB，DE=2DF，
∴∠CDF＝∠BDE，BDCD=DEDF=2，
∴△CDF∽△BDE，
∴BECF=DEDF=2，
∴BE=2CF；
（3）如图3，连接AC，BD交于点O，连接OG，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AO＝CO，
又∵G是CE中点，
∴OG=12AE=12AD=12，
∴点G在以O为圆心，12为半径的圆上运动，
∴点P从点B运动到点C，点G的运动路径长=90°×π×12180°=π4．
24．（12分）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+c分别交x轴于A，B两点（点A在点B的左边），交y轴正半轴于点C，过点A作CB的平行线AE交抛物线于另一点E，交y轴于点D．
（1）如图（1），c＝3．
①直接写出点A的坐标和直线CB的解析式；
②直线AE上有两点F，G，横坐标分别为t，t+1，分别过F，G两点作y轴的平行线交抛物线于M，N两点．若以F，G，M，N四点为顶点的四边形是平行四边形，求t的值．
（2）如图（2），若DE＝3AD，求c的值．

【解答】解：（1）①对于y＝﹣x2+2x+c①，
当c＝3时，y＝﹣x2+2x+3，令y＝﹣x2+2x+3＝0，解得x＝3或﹣1，令x＝0，则t＝3，
故点A、B、C的坐标分别为（﹣1，0）、（3，0）、（0，3）；
设直线BC的表达式为y＝mx+n，则n=30=3m+n，解得m=-1n=3，
故直线BC的表达式为y＝﹣x+3；
②∵BC∥AE，故设直线AE的表达式为y＝﹣x+s，
将点A的坐标代入上式并解得s＝﹣1，
故直线AE的表达式为y＝﹣x﹣1，
设点F、G的坐标分别为（t，﹣t﹣1）、（t+1，﹣t﹣2），
则点M、N的坐标分别为（t，﹣t2+2t+3）、（t+1，﹣t2+4），
则MF＝|（﹣t2+2t+3）﹣（﹣t﹣1）|＝|﹣t2+3t+4|，
同理可得：GN＝|﹣t2+t+6|，
∵以F，G，M，N四点为顶点的四边形是平行四边形，
∴MF＝GN，即|﹣t2+3t+4|＝|﹣t2+t+6|，
解得t＝1或1±6；

（2）对于y＝﹣x2+2x+c，令y＝﹣x2+2x+c＝0，解得x＝1±c+1，令x＝0，则y＝c，
故点A、B的坐标分别为（1-c+1，0）、（1+c+1，0），点C（0，c），
设直线BC的表达式为y＝kx+b，则b=c0=k(1+c+1)+b，解得k=-c1+c+1b=c，
故直线BC的表达式为y=-c1+c+1x+c，
故设直线AE的表达式为y=-c1+c+1x+t，
将点A的坐标代入上式得：y=-c1+c+1（x﹣1+c+1）②，
联立①②并整理得：x2+（cc+1+1-2）x+c(c+1-1)c+1+1-c=0，
∴xE+xA＝xE+1-c+1=-（cc+1+1-2），解得xE＝2，
∵DE＝3AD，A、D、E共线，
∴1-c+1=-2，
解得c＝8．
备注：xA和xE的关系也可以用面积法：
S△ADH=13S△EHD，
即12×AO•DH=13×12×EH•DE，
则﹣3xA＝xE．
解法二：设直线BC的解析式为y＝kx+c，
由y=kx+cy=-x2+2x+c，可得x2+（k﹣2）x＝0，
∴x＝0或2﹣k，
∴xB＝2﹣k，
∵对称轴x＝1，
∴xA＝k，
∴A（k，0），
∴直线AE的解析式为y＝kx﹣k2，
由y=-x2+2x+cy=kx-k2，可得x2+（k﹣2）x﹣k2﹣c＝0，
∴xA+xE＝2﹣k，
∴xE＝2﹣2k，
∵xE＝﹣3xA，
∴2﹣2k＝﹣3k，
∴k＝﹣2，
∴A（﹣2，0），
∴c＝8．