湖北省武汉市2021年中考数学真题

这是一份湖北省武汉市2021年中考数学真题，共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．3的相反数为（ ）
A．﹣3B．﹣C．D．3
2．下列事件中是必然事件的是（ ）
A．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上
B．随意翻到一本书的某页，这一页的页码是偶数
C．打开电视机，正在播放广告
D．从两个班级中任选三名学生，至少有两名学生来自同一个班级
3．下列图形都是由一个圆和两个相等的半圆组合而成的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
4．计算的结果是（ ）
A．B．C．D．
5．如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是（ ）
A．B．C．D．
6．学校招募运动会广播员，从两名男生和两名女生共四名候选人中随机选取两人，则两人恰好是一男一女的概率是（ ）
A．B．C．D．
7．我国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价各几何？”意思是现有几个人共买一件物品，每人出8钱．多出3钱；每人出7钱，差4钱．问人数，物价各是多少？若设共有人，物价是钱，则下列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
8．一辆快车和一辆慢车将一批物资从甲地运往乙地，其中快车送达后立即沿原路返同，且往返速度的大小不变，两车离甲地的距离（单位：）与慢车行驶时间（单位：）的函数关系如图，则两车先后两次相遇的间隔时间是（ ）
A．B．C．D．
9．如图，是的直径，是的弦，先将沿翻折交于点．再将沿翻折交于点．若，设，则所在的范围是（ ）
A．B．
C．D．
10．已知，是方程的两根，则代数式的值是（ ）
A．-25B．-24C．35D．36
二、填空题
11．化简的结果是 ．
12．我国是一个人口资源大国，第七次全国人口普查结果显示，北京等五大城市的常住人口数如下表，这组数据的中位数是 ．
13．已知点，在反比例函数（是常数）的图象上，且，则的取值范围是 ．
14．如图，海中有一个小岛，一艘轮船由西向东航行，在点测得小岛在北偏东方向上；航行到达点，这时测得小岛在北偏东方向上．小岛到航线的距离是 （，结果用四舍五入法精确到0.1）．
15．已知抛物线（，，是常数），，下列四个结论：
①若抛物线经过点，则；
②若，则方程一定有根；
③抛物线与轴一定有两个不同的公共点；
④点，在抛物线上，若，则当时，．
其中正确的是 （填写序号）．
16．如图（1），在中，，，边上的点从顶点出发，向顶点运动，同时，边上的点从顶点出发，向顶点运动，，两点运动速度的大小相等，设，，关于的函数图象如图（2），图象过点，则图象最低点的横坐标是 ．
三、解答题
17．解不等式组请按下列步骤完成解答．
（1）解不等式①，得_____________；
（2）解不等式②，得_____________；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
原不等式组的解集是_____________．
18．如图，，，直线与，的延长线分别交于点，．求证：．
19．为了解落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的实施情况，某校从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们平均每周劳动时间（单位：），按劳动时间分为四组：组“”，组“”，组“”，组“”．将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）这次抽样调查的样本容量是________，组所在扇形的圆心角的大小是__________；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）该校共有1500名学生，请你估计该校平均每周劳动时间不少于的学生人数．
20．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，矩形的四个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
（1）在图（1）中，先在边上画点，使，再过点画直线，使平分矩形的面积；
（2）在图（2）中，先画的高，再在边上画点，使．
21．如图，是的直径，是上两点，是的中点，过点作的垂线，垂足是．连接交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的值．
22．在“乡村振兴”行动中，某村办企业以，两种农作物为原料开发了一种有机产品，原料的单价是原料单价的1.5倍，若用900元收购原料会比用900元收购原料少．生产该产品每盒需要原料和原料，每盒还需其他成本9元．市场调查发现：该产品每盒的售价是60元时，每天可以销售500盒；每涨价1元，每天少销售10盒．
（1）求每盒产品的成本（成本＝原料费＋其他成本）；
（2）设每盒产品的售价是元（是整数），每天的利润是元，求关于的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）；
（3）若每盒产品的售价不超过元（是大于60的常数，且是整数），直接写出每天的最大利润．
23．问题提出 如图（1），在和中，，，，点在内部，直线与交于点，线段，，之间存在怎样的数量关系？
问题探究 （1）先将问题特殊化．如图（2），当点，重合时，直接写出一个等式，表示，，之间的数量关系；
（2）再探究一般情形．如图（1），当点，不重合时，证明（1）中的结论仍然成立．
问题拓展 如图（3），在和中，，，（是常数），点在内部，直线与交于点，直接写出一个等式，表示线段，，之间的数量关系．
24．抛物线交轴于，两点（在的左边）．
（1）的顶点在轴的正半轴上，顶点在轴右侧的抛物线上．
①如图（1），若点的坐标是，点的横坐标是，直接写出点，的坐标；
②如图（2），若点在抛物线上，且的面积是12，求点的坐标；
（2）如图（3），是原点关于抛物线顶点的对称点，不平行轴的直线分别交线段，（不含端点）于，两点，若直线与抛物线只有一个公共点，求证的值是定值．
城市
北京
上海
广州
重庆
成都
常住人口数/万
2 189
2 487
1 868
3 205
2 094
参考答案：
1．A
【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数计算即可．
【详解】解：3的相反数是﹣3．
故选：A．
【点睛】此题考查求一个数的相反数，解题关键在于掌握相反数的概念．
2．D
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
【详解】解：A、掷一枚质地均匀的硬币，正面向上是随机事件；
B、随意翻到一本书的某页，这一页的页码是偶数，是随机事件；
C、打开电视机，正在播放广告，是随机事件；
D、从两个班级中任选三名学生，至少有两名学生来自同一个班级，是必然事件．
故选：D．
【点睛】本题主要考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，掌握三种事件的区别与联系成为解答本题的关键．
3．A
【分析】逐项分析，利用轴对称图形和中心对称图形的定义进行判断即可．
【详解】解：A选项中的图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故该选项正确；
B选项中的图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故该选项不正确；
C选项中的图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故该选项不正确；
D选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不正确；
故选：A．
【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，解决本题的关键是理解并掌握“能沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形、中心对称图形则是将一个图形绕着平面内某个点旋转180°，旋转后的图形能够与旋转前的图形完全重合”，同时也需要学生具备相应的图形感知能力．
4．D
【详解】试题分析：根据幂的乘方和积的乘方运算法则计算作出判断：
.
故选D.
考点：幂的乘方和积的乘方.
5．C
【分析】根据主视图的定义画图即可
【详解】∵的主视图是,
故选C．
【点睛】本题考查了几何体的主视图，熟练掌握主视图的定义及其画法是解题的关键．
6．C
【分析】先画出树状图，然后运用概率公式求解即可．
【详解】解：画树状图如图：
共有12种等可能的结果，恰好选出是一男一女两位选手的结果有8种，俗好选出是一男一女两位选手的概率为．
故选C．
【点睛】本题考查的是用列表法或树状图法求概率，根据题意正确画出树状图成为解答本题的关键．
7．D
【分析】设共有x人，根据物价不变列方程；设物价是钱，根据人数不变即可列出一元一次方程；由此即可确定正确答案
【详解】解：设共有x人，则有8x-3=7x+4
设物价是钱，则根据可得：
故选D．
【点睛】本题主要考查了列一元一次方程，正确审题、发现隐藏的等量关系成为解答本题的关键．
8．B
【分析】求出慢车离从甲地到乙地的函数关系为，再求出快车往返解析式，快车从甲地到乙地的解析式，快车从乙地到甲地的解析式，快车从甲地到乙地与慢车相遇时间，快车从乙地到甲地与慢车相遇即可 ．
【详解】解：设慢车离甲地的距离（单位：）与慢车行驶时间（单位：）的函数关系为y=kt过（6，），
代入得,解得，
∴慢车解析式为：，
设快车从甲地到乙地的解析式，
过（2，0），（4，）两点，代入解析式的，
解得，
快车从甲地到乙地的解析式，
设快车从乙地到甲地的解析式，
过（4，），（6，0）两点，代入解析式的，
解得，
快车从乙地到甲地的解析式，
快车从甲地到乙地与慢车相遇，
解得，
快车从乙地到甲地与慢车相遇，
解得，
两车先后两次相遇的间隔时间是-3=h．
故选择B．
【点睛】本题考查行程问题函数应用题，用待定系数法求一次函数解析式，两函数的交点问题转化为两函数组成方程组，解方程组，掌握待定系数法求一次函数解析式，两函数的交点问题转化为转化为两函数组成方程组，解方程组是解题关键．
9．B
【分析】将⊙O沿BC翻折得到⊙O′，将⊙O′沿BD翻折得到⊙O″，则⊙O、⊙O′、⊙O″为等圆．依据在同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧相等可证明，从而可得到弧AC的度数，由弧AC的度数可求得∠B的度数．
【详解】解：将⊙O沿BC翻折得到⊙O′，将⊙O′沿BD翻折得到⊙O″，则⊙O、⊙O′、⊙O″为等圆．
∵⊙O与⊙O′为等圆，劣弧AC与劣弧CD所对的角均为∠ABC，
∴．
同理：．
又∵F是劣弧BD的中点，
∴．
∴．
∴弧AC的度数=180°÷4=45°．
∴∠B=×45°=22.5°．
∴所在的范围是；
故选：B．
【点睛】本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了翻折的性质、弧、弦、圆周角之间的关系、圆内接四边形的性质，等腰三角形的判定，找出图形中的等弧是解题的关键．
10．D
【分析】先根据已知可得，，a+b=3，然后再对变形，最后代入求解即可．
【详解】解：∵已知，是方程的两根
∴，，a+b=3
∴=0+5+30+1=36．
故选D．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解、根与系数的关系以及整式的变形，根据需要对整式灵活变形成为解答本题的关键．
11．5
【分析】根据二次根式的性质求解即可．
【详解】解：，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，熟知二次根式的性质是解答的关键．
12．2189
【分析】先将数据从小到大排列，然后取中间位置的数据即可．
【详解】解：∵这组数据按照从小到大的顺序排列为：1868,2094,2189,2487,3205
∴中位数为：48．
故选填：2189．
【点睛】本题考查了中位数的定义，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
13．
【分析】根据反比例函数的增减性解答．
【详解】解：∵，
∴图象经过第一、三象限，在每个象限内，y随着x的增大而减小，
∵点，在反比例函数（是常数）的图象上，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数的性质：当时，在每个象限内，y随x的增大而减小，当时，在每个象限内，y随x的增大而增大．
14．10.4
【分析】过点A作AD⊥BC，垂足为D，根据题意，得∠ABC=30°，∠ACD=60°，从而得到AC=BC=12,利用sin60°=计算AD即可
【详解】过点A作AD⊥BC，垂足为D，根据题意，得∠ABC=30°，∠ACD=60°，
∴∠ABC=∠CAB=30°，
∴AC=BC=12,
∵sin60°=，
∴AD=AC sin60°=12=6≈10.4
故答案为：10.4.
【点睛】本题考查了方位角，解直角三角形，准确理解方位角的意义，构造高线解直角三角形是解题的关键．
15．①②④
【分析】①将代入解析式即可判定；②由b=c，可得a=-2c，cx2+bx+a=0可得cx2+cx-2c=0，则原方程可化为x2+x-2=0，则一定有根x=-2；③当b2-4ac≤0时，图像与x轴少于两个公共点，只有一个关于a，b，c的方程，故存在a、b、c使b2-4ac≤0≤0，故③错误；④若0|c|>|a|，|b|>2|a|，所以对称轴，因为a>0在对称轴左侧，函数单调递减，所以当x1y2，故④正确．
【详解】解：∵抛物线经过点
∴，即9a-3b+c=0
∵
∴b=2a
故①正确；
∵b=c，
∴a=-2c，
∵cx2+bx+a=0
∴cx2+cx-2c=0，即x2+x-2=0
∴一定有根x=-2
故②正确；
当b2-4ac≤0时，图像与x轴少于两个公共点，只有一个关于a、b、c的方程，故存在a、b、c使b2-4ac≤0，故③错误；
若0|c|>|a|，|b|>2|a|，所以对称轴，因为a>0在对称轴左侧，函数单调递减，所以当x1y2，故④正确．
故填：①②④．
【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质以及二元一次方程，灵活运用二次函数的图像与性质成为解答本题的关键．
16．
【分析】先根据图形可知AE+CD=AB+AC=2，进而求得AB=AC=1、BC=以及图象最低点的函数值即为AE+CD的最小值；再运用勾股定理求得CD、AE，然后根据AE+CD得到+可知其表示点（x，0）到（0,-1）与（，）的距离之和，然后得当三点共线时有函数值.最后求出该直线的解析式，进而求得x的值．
【详解】解：由图可知，当x=0时，AE+CD=AB+AC=2
∴AB=AC=1，BC=，图象最低点函数值即为AE+CD的最小值
由题意可得：CD=,AE=
∴AE+CD=+，即点（x，0）到（0,-1）与（，）的距离之和
∴当这三点共线时，AE+CD最小
设该直线的解析式为y=kx+b
解得
∴
当y=0时，x=．
故填．
【点睛】本题主要考查了二次函数与方程的意义，从几何图形和函数图象中挖掘隐含条件成为解答本题的关键．
17．（1）；（2）；（3）见解析；（4）
【分析】（1）根据不等式的基本性质解不等式；
（2）根据不等式的基本性质解不等式；
（3）在数轴上表示解集；
（4）根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】（1）
（2）
（3）如下图所示
（4）取和的公共部分，即．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组．根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
18．见解析
【分析】根据已知条件，，得到，从而得到，即可证明．
【详解】证明：∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
【点睛】本题考查平行线的性质和判定．平行线的性质：两直线平行，内错角相等．平行线的判定：同位角相等，两直线平行．
19．（1）100，；（2）见解析；（3）600人
【分析】（1）根据统计图中D组的数据，可以求得本次抽取的人数， 并求得C组所对应的圆心角的度数；
（2）根据（1）中的结果和条形统计图中的数据，可以计算出B组的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
（3）根据统计图中的数据，得出C组及D组的人数，即可计算出该校平均每周劳动时间不少于的学生人数．
【详解】解：（1）这次调查活动共抽取10÷10%=100（人），
组所在扇形的圆心角为360°× =108°，
故答案为：100，；
（2）B组的学生有：100-15-30-10=45（人），
补充完整的条形统计图如图所示：
（3）解：（人）．
∴估计该校平均每周劳动时间不少于的学生人数大约有600人
【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，掌握统计数据的意义．
20．（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）过点沿方向取一点，使得利用得线段比，即可找到点,再连接矩形的对角线交点即可；
（2）利用三角形全等找到所需的点，并进行简单证明．
【详解】（1）画图如图（1）
过点沿方向取一点，使得，得找到点,再连接矩形的对角线交点即可．
（2）中，画图如图（2）
画的高，步骤如下：
如图，连接M，N(M，N都是格点上的点)交网格线于I，
则，
中，
在中，
，

即
在边上画点，使，
步骤如下：如图，方法同上，找
可得：，
，为的中点，所以，即FY为BD的垂直平分线，FY交边于，即为所求点．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质，仅用无刻度的直尺作图是本题的难点，正确的计算和作图是解题的关键．
21．（1）见解析；（2）
【分析】（1）连接交于点．由点是的中点，根据垂径定理⊥．DG=BG，可证四边形是矩形，可得即可．
（2）连接，设，．设，可得．证明．可得，即．解得， 可求，．在中，由勾股定理得．，解得，．根据余弦三角函数定义求即可．
【详解】1）证明：连接交于点．
∵点是的中点，
∴，BD为弦，OC为半径，
∴⊥．DG=BG，
∵是的直径，
∴，
∴．
∵，
∴．
∴四边形是矩形，
∴．
∴EC⊥OC，
又∵OC为半径，
∴是的切线．
（2）解：连接，设，．
∵，
设，
∴．
由（1）得，,．
∵是的直径，
∴．
∴，，
∴，
∴．
，
∴，
∴．
解得，，（不符合题意，舍去）．
∴，．
在中，由勾股定理得．
∴，
解得，．
∴．
【点睛】本题考查圆的切线判定，直径所对圆周角性质，垂径定理，三角形相似判定与性质，勾股定理，余弦三角函数定义，利用相似三角形的性质与勾股定理构造方程是解题关键．
22．（1）每盒产品的成本为30元．（2）；（3）当时，每天的最大利润为16000元；当时，每天的最大利润为元．
【分析】（1）设原料单价为元，则原料单价为元．然后再根据“用900元收购原料会比用900元收购原料少”列分式方程求解即可；
（2）直接根据“总利润=单件利润×销售数量”列出解析式即可；
（3）先确定的对称轴和开口方向，然后再根据二次函数的性质求最值即可．
【详解】解：（1）设原料单价为元，则原料单价为元．
依题意，得．
解得，，．
经检验，是原方程的根．
∴每盒产品的成本为：（元）．
答：每盒产品的成本为30元．
（2）
；
（3）∵抛物线的对称轴为=70，开口向下
∴当时，a=70时有最大利润，此时w=16000，即每天的最大利润为16000元；
当时，每天的最大利润为元．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用、二次函数的应用等知识点，正确理解题意、列出分式方程和函数解析式成为解答本题的关键．
23．（1）．（2）见解析；问题拓展：．
【分析】（1）先证明△BCE≌△ACD,得到AF=BE，BF-BE=BF-AF=EF=；
（2）过点作交于点，证明，，是等腰直角三角形即可；利用前面的方法变全等为相似证明即可．
【详解】问题探究 （1）．理由如下：如图（2），
∵∠BCA=∠ECF=90°，
∴∠BCE=∠ACF，
∵BC=AC，EC=CF，
△BCE≌△ACF，
∴BE=AF，
∴BF-BE=BF-AF=EF=；
（2）证明：过点作交于点，则，
∴．
∵，
∴．
又∵，，
∴，
∴．
∴．
∴，，
∴是等腰直角三角形．
∴．
∴．
问题拓展 ．理由如下：
∵∠BCA=∠ECD=90°，
∴∠BCE=∠ACD，
∵BC=kAC，EC=kCD，
∴△BCE∽△ACD，
∴∠EBC=∠FAC，
过点作交于点M，则，
∴．
∴△BCM∽△ACF，
∴BM:AF=BC:AC=MC:CF=k，
∴BM=kAF,MC=kCF，
∴BF-BM=MF，MF==
∴BF- kAF =．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，熟练掌握三角形全等的判定，三角形相似的判定，勾股定理是解题的关键．
24．（1）①，；②点的坐标是．（2）见解析
【分析】（1）①根据函数图象与x轴的交点，令y=0，求出，点E在抛物线上，求出纵坐标为，再根据平行四边形的性质，求出；
②连，过点作轴垂线，垂足为，过点作，垂足为，设点坐标为，点坐标为，根据平行四边形的性质，与点在抛物线上，得到，再由则，列出方程求解；
（2）方法一：先求出G、H两点的横坐标，再利用求解即可；方法二：先用待定系数法求出直线与直线l的表达式，根据直线l与抛物线有唯一的交点，求出点坐标为，点坐标为，再求出结果．
【详解】（1）解：①∵抛物线交轴于，两点（在的左边），
∴令=0，解得：，，
∴，
∵点E在抛物线上，点的横坐标是，
∴，
∵四边形ACDE是平行四边形，
∴
∴；
②设点坐标为，点坐标为．
∵四边形是平行四边形，
∴将沿平移可与重合，点坐标为．
∵点在抛物线上，∴．
解得，，所以．
连，过点作轴垂线，垂足为，过点作，垂足为．
则，
∵，，
∴．
∴，解得，（不合题意，舍去）．
∴点的坐标是．

（2）方法一：证明：依题意，得，，∴
设直线解析式为，则，解得．
∴直线的解析式为．
同理，直线的解析式为．
设直线的解析式为．
联立，消去得．
∵直线与抛物线只有一个公共点，
∴，．
联立，且，解得，，
同理，得．
∵，两点关于轴对称，∴．
∴．
∴的值为．
方法二：证明：同方法一得直线的解析式为．
设直线的解析式为，与抛物线唯一公共点为．
联立，消去得，∴．
解得．∴直线的解析式为．
联立，且，解得．
∴点坐标为．同理，点坐标为．
∵，∴．
∴的值为．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查二次函数、一次函数、三角形面积、方程组等知识点，解题的关键是学会利用参数，学会用方程组求两个函数图象的交点坐标，学会把问题转化为方程解决，属于压轴题．