第2部分 专题5 第2讲 椭圆、双曲线、抛物线的基本问题 2022高考数学（文科）二轮专题复习（老高考）

(建议用时：40分钟)

1．(2021·四川测试)已知椭圆＋＝1(a>b>0)过点(2,0)和(0，－1)，则该椭圆的离心率为(　　)

A．  B．

C．  D．3

B　解析 由题意得，a＝2，b＝1，所以c＝＝，所以离心率e＝＝.故选B项．

2．双曲线－y2＝1的焦点到渐近线的距离为(　　)

A．1  B． 

C．2  D．3

A　解析 由题意得，焦点坐标为(±，0)，渐近线方程为y＝±x，即2y±x＝0，所以双曲线－y2＝1的焦点到渐近线的距离d＝＝1.故选A项．

3．(2021·河南许昌期末)若抛物线的准线方程是x＝－，则该抛物线的标准方程为(　　)

A．y2＝4x  B．y2＝2x

C．y2＝x  D．y2＝x

D　解析 由题意可设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)，因为抛物线的顶点到准线的距离为，所以＝，即p＝，所以抛物线的标准方程为y2＝x.故选D项．

4．若双曲线C1：－＝1与双曲线C2：－＝1(a>0，b>0)有公共点，则双曲线C2的离心率的取值范围是(　　)

A.  B． 

C.  D．

C　解析 由－＝1得C1的渐近线方程为y＝±x，由－＝1得C2的渐近线方程为y＝±x，因为双曲线C1：－＝1与双曲线C2：－＝1(a>0，b>0)有公共点，所以只需>，即>，即>，即>，解得>，所以C2的离心率的取值范围是.故选C项．

5．已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1,3)，则△APF的面积为(　　)

A.  B． 

C.  D．

D　解析 由c2＝a2＋b2＝4得c＝2，所以F(2,0)，将x＝2代入x2－＝1，得y＝±3，所以|PF|＝3.又点A的坐标是(1,3)，故△APF的面积为×3×(2－1)＝.故选D项．

6．设F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为________．

解析 由已知可得a2＝36，b2＝20，所以c2＝a2－b2＝16，所以c＝4，因为M为C上一点且在第一象限，所以|MF1|＝|F1F2|＝2c＝8，所以|MF2|＝2a－|MF1|＝12－8＝4.

设点M的坐标为(x0，y0)(x0>0，y0>0)，

则S△MF1F2＝·|F1F2|·y0＝4y0，

又S△MF1F2＝·|MF2|·＝×4×＝4，

所以4y0＝4，解得y0＝，所以＋＝1，解得x0＝3(x0＝－3舍去)，所以M的坐标为.

答案

7．已知椭圆＋＝1的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方，若线段PF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线PF的斜率是________．

解析 设线段PF的中点为M，F1为椭圆的右焦点，由题意可知|OF|＝|OM|＝c＝2，由中位线定理可得|PF1|＝2|OM|＝4，由椭圆的焦半径公式可得|PF1|＝a－exP＝3－xP＝4，解得xP＝－，从而可求得P，所以kPF＝＝.

答案

8．已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，点P(x0,3)为抛物线C上一点，且点P到焦点F的距离为4，过A(a,0)作抛物线C的切线AN(斜率不为0)，切点为N.

(1)求抛物线C的标准方程；

(2)求证：以FN为直径的圆过点A.

解析 (1)由题知|PF|＝yP＋，所以4＝3＋，解得p＝2，所以抛物线C的标准方程为x2＝4y.

(2)证明：设切线AN的方程为y＝k(x－a)，k≠0，联立消去y并整理可得x2－4kx＋4ka＝0，由题意得Δ＝16k2－16ka＝0，即a＝k，所以切点为N(2a，a2)，

又F(0,1)，所以A·A＝(－a,1)·(a，a2)＝0.

所以∠FAN＝90°，故以FN为直径的圆过点A.

9．在直角坐标系xOy中，椭圆的中心在原点，离心率为，一个焦点是F(－1,0)．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)点B是椭圆与y轴负半轴的交点，经过F的直线 l与椭圆交于点M，N，经过B且与l平行的直线与椭圆交于点A，若|MN|＝|AB|，求直线l的方程．

解析 (1)设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，

依题意知，c＝1，e＝＝，所以a＝，b2＝a2－c2＝1，

所以所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.

(2)因为|MN|＝|AB|>|AB|，所以MN与x轴不垂直，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，

由得(2k2＋1)x2＋4k2x＋2k2－2＝0，

设M(x1，y1)，N(x2，y2)，

则x1＋x2＝－，x1x2＝，

所以|x1－x2|＝＝，

依题意知点B(0，－1)，kAB＝k，

所以直线AB的方程为y＝kx－1，

设A(x3，y3)，B(x4，y4)，同理可得|x3－x4|＝.

因为|MN|＝|AB|，

所以|x1－x2|＝|x3－x4|，

从而＝|4k|，即k＝±，

所以直线l的方程为y＝±(x＋1)．

(建议用时：25分钟)

10．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，若l与双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|＝4|OF|(O为原点)，则双曲线的离心率为(　　)

A．  B． 

C．2  D．

D　解析 抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线l的方程为x＝－1，所以|OF|＝1，又双曲线的渐近线方程为y＝±x，不妨设A，B，所以|AB|＝＝4|OF|＝4，所以b＝2a，所以e＝＝＝.故选D项．

11．已知离心率为的椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆C上，点M为△PF1F2的内心，且△MPF1，△MPF2，△MF1F2的面积分别为S△MPF1，S△MPF2，S△MF1F2，若S△MPF1＋3S△MPF2＝2S△MF1F2，则的值为________．

解析 由题意可知离心率e＝＝，所以设a＝3m，则c＝2m.因为点M为△PF1F2的内心，所以设△PF1F2内切圆M的半径为r，由S△MPF1＋3S△MPF2＝2S△MF1F2得PF1·r＋3×PF2·r＝2×F1F2·r，化简得PF1＋3PF2＝2F1F2，设PF2＝n，则PF1＝2a－n，所以2a－n＋3n＝4c，即n＝2c－a，所以PF2＝2c－a，PF1＝3a－2c，所以＝＝＝＝5.

答案 5

12．设M，N为抛物线C：y2＝2px(p>0)上的两点，M与N连线的中点的纵坐标为4，直线MN的斜率为.

(1)求抛物线C的方程；

(2)已知点P(1,2)，A，B为抛物线C(除原点外)上不同的两点，直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，且满足－＝2，记抛物线C在A，B处的切线交于点S(xS，yS)，若点A，B连线的中点的纵坐标为8，求点S的坐标．

解析 (1)设M(x1，y1)，N(x2，y2)．因为M，N都在抛物线C上，所以y＝2px1，y＝2px2.

由两式相减得(y1＋y2)(y1－y2)＝2p(x1－x2)，

两边同除以x1－x2，得(y1＋y2)·＝2p，由已知得y1＋y2＝8，＝，所以8×＝2p，即p＝2.

所以抛物线C的方程为y2＝4x.

(2)设A，B，S(xS，yS)．

因为－＝－＝，所以＝2，所以y3－y4＝8，

因为线段AB的中点的纵坐标为8，所以y3＋y4＝16，

联立解得y3＝12，y4＝4，所以A(36,12)，B(4,4)．

设直线SA的斜率为k，则直线SA的方程为y－12＝k(x－36)，

由消去x得－y＋12－36k＝0.

由Δ＝0得(6k－1)2＝0，即k＝.

所以直线SA的方程为y－12＝(x－36)，

同理得直线SB的方程为y－4＝(x－4)．

联立方程解得

所以点S的坐标为(12,8)．

13．椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为且四个顶点构成面积为2的菱形．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)过点A(1,0)且斜率不为0的直线l与椭圆交于M，N两点，记MN的中点为B，坐标原点为O，直线BO交椭圆于P，Q两点，当四边形MPNQ的面积为时，求直线l的方程．

解析 (1)设椭圆的焦距为2c，则＝，又a2＝b2＋c2，所以b＝c＝.因为4××b×b＝2，所以b＝1，a＝，故所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.

(2)设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线MN的方程为x＝my＋1，与椭圆方程联立得消去x得(m2＋2)y2＋2my－1＝0，所以

设点B的坐标为(xB，yB)，则有yB＝＝－，xB＝myB＋1＝，因此kOB＝＝－.

所以直线OB的方程为y＝－x，与椭圆方程联立得消去y得(m2＋2)x2＝4，解得

所以弦长|PQ|＝2＝2.

不妨设点M在直线OB：y＝－x上方，点N在直线OB：y＝－x下方，即x1＋y1>0，x2＋y2<0.

所以点M(x1，y1)到直线PQ的距离d1＝＝＝，点N(x2，y2)到直线PQ的距离d2＝＝－.

所以d1＋d2＝

＝＝2.

所以面积S＝|PQ|·(d1＋d2)＝·2·2＝2＝⇒m＝±2.

因此直线l的方程为x＋2y－1＝0或x－2y－1＝0.