《高考数学二轮满分突破讲义》专题六 第3讲 椭圆、双曲线、抛物线

这是一份《高考数学二轮满分突破讲义》专题六 第3讲 椭圆、双曲线、抛物线，共16页。
考点一 椭圆、双曲线、抛物线的定义与标准方程
核心提炼
1．圆锥曲线的定义
(1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)．
(2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(00)的离心率为eq \f(3,5)，两焦点分别为F1，F2，M为椭圆上一点，且△F1F2M的周长为16，则椭圆C的方程为( )
A.eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,25)＝1 B.eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1
C.eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,25)＝1 D.eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1
答案 D
解析 椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(其中a>b>0)的两焦点分别为F1，F2，M为椭圆上一点，且△F1F2M的周长为16，可得2a＋2c＝16，
椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(其中a>b>0)的离心率为eq \f(3,5)，可得eq \f(c,a)＝eq \f(3,5)，解得a＝5，c＝3，则b＝4，所以椭圆C的方程为eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1.
(2)(2020·全国Ⅰ)设F1，F2是双曲线C：x2－eq \f(y2,3)＝1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|＝2，则△PF1F2的面积为( )
A.eq \f(7,2) B．3 C.eq \f(5,2) D．2
答案 B
解析 方法一 由题意知a＝1，b＝eq \r(3)，c＝2，F1(－2,0)，F2(2,0)，
如图，因为|OF1|＝|OF2|＝|OP|＝2，
所以点P在以F1F2为直径的圆上，故PF1⊥PF2，
则|PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2＝16.
由双曲线的定义知||PF1|－|PF2||＝2a＝2，
所以|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|＝4，
所以|PF1||PF2|＝6，
所以△PF1F2的面积为eq \f(1,2)|PF1||PF2|＝3.
方法二 由双曲线的方程可知，双曲线的焦点F1，F2在x轴上，且|F1F2|＝2eq \r(1＋3)＝4.
设点P的坐标为(x0，y0)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x\\al(2,0)－\f(y\\al(2,0),3)＝1，,\r(x\\al(2,0)＋y\\al(2,0))＝2，))解得|y0|＝eq \f(3,2).
所以△PF1F2的面积为
eq \f(1,2)|F1F2|·|y0|＝eq \f(1,2)×4×eq \f(3,2)＝3.
易错提醒 求圆锥曲线的标准方程时的常见错误
双曲线的定义中忽略“绝对值”致错；椭圆与双曲线中参数的关系式弄混，椭圆中的关系式为a2＝b2＋c2，双曲线中的关系式为c2＝a2＋b2；圆锥曲线方程确定时还要注意焦点位置．
跟踪演练1 (1)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5.若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为( )
A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8x
C．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x
答案 C
解析 方法一 因为以MF为直径的圆过点(0,2)，所以点M在第一象限．
由|MF|＝xM＋eq \f(p,2)＝5，得xM＝5－eq \f(p,2)，
即Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5－\f(p,2)，\r(2p\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5－\f(p,2)))))).
从而以MF为直径的圆的圆心N的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，\f(1,2)\r(2p\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5－\f(p,2)))))).
因为点N的横坐标恰好等于圆的半径，
所以圆与y轴相切于点(0,2)，
从而2＝eq \f(1,2)eq \r(2p\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5－\f(p,2))))，
即p2－10p＋16＝0，解得p＝2或p＝8，
所以抛物线方程为y2＝4x或y2＝16x.
方法二 由已知得抛物线的焦点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，
设点A(0,2)，点M(x0，y0)，
则eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，－2))，eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y\\al(2,0),2p)，y0－2)).
由已知，得eq \(AF,\s\up6(→))·eq \(AM,\s\up6(→))＝0，即yeq \\al(2,0)－8y0＋16＝0，
解得y0＝4，Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,p)，4)).
由|MF|＝5，得eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,p)－\f(p,2)))2＋16)＝5.
又因为p>0，解得p＝2或p＝8，
所以抛物线C的方程为y2＝4x或y2＝16x.
(2)已知椭圆C：eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,m－4)＝1(m>4)的右焦点为F，点A(－2,2)为椭圆C内一点，若椭圆C上存在一点P，使得|PA|＋|PF|＝8，则实数m的取值范围是( )
A．(6＋2eq \r(5)，25] B．[9,25]
C．(6＋2eq \r(5)，20] D．[3,5]
答案 A
解析 椭圆C：eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,m－4)＝1(m>4)的右焦点F的坐标为(2,0)．设左焦点为F′，则F′(－2,0)．
由椭圆的定义可得2eq \r(m)＝|PF|＋|PF′|，
即|PF′|＝2eq \r(m)－|PF|，可得|PA|－|PF′|＝|PA|＋|PF|－2eq \r(m)＝8－2eq \r(m).
由||PA|－|PF′||≤|AF′|＝2，可得－2≤8－2eq \r(m)≤2，
解得3≤eq \r(m)≤5，所以9≤m≤25.①
又点A在椭圆内，所以eq \f(4,m)＋eq \f(4,m－4)4)，
所以8m－164)，
解得m6＋2eq \r(5).②
由①②得6＋2eq \r(5)0，b>0)共渐近线bx±ay＝0的双曲线方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝λ(λ≠0)．
例2 (1)设F1，F2分别是椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，过F2的直线交椭圆于A，B两点，且eq \(AF1,\s\up6(→))·eq \(AF2,\s\up6(→))＝0，eq \(AF2,\s\up6(→))＝2eq \(F2B,\s\up6(→))，则椭圆E的离心率为( )
A.eq \f(2,3) B.eq \f(3,4) C.eq \f(\r(5),3) D.eq \f(\r(7),4)
答案 C
解析 ∵eq \(AF2,\s\up6(→))＝2eq \(F2B,\s\up6(→))，
设|BF2|＝x，则|AF2|＝2x，
∴|AF1|＝2a－2x，|BF1|＝2a－x，
∵eq \(AF1,\s\up6(→))·eq \(AF2,\s\up6(→))＝0，∴AF1⊥AF2，
在Rt△AF1B中，有(2a－2x)2＋(3x)2＝(2a－x)2，
解得x＝eq \f(a,3)，∴|AF2|＝eq \f(2a,3)，|AF1|＝eq \f(4a,3)，
在Rt△AF1F2中，有eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4a,3)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2a,3)))2＝(2c)2，
整理得eq \f(c2,a2)＝eq \f(5,9)，∴e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(5),3).
(2)(2020·莆田市第一联盟体联考)已知直线l：y＝x－1与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，M是AB的中点，则点M到抛物线准线的距离为( )
A.eq \f(7,2) B．4 C．7 D．8
答案 B
解析 由题意可知直线y＝x－1过抛物线y2＝4x的焦点(1,0)，如图，AA′，BB′，MM′都和准线垂直，并且垂足分别是A′，B′，M′，
由图象可知
|MM′|＝eq \f(1,2)(|AA′|＋|BB′|)，
根据抛物线的定义可知|AA′|＋|BB′|＝|AB|，
∴|MM′|＝eq \f(1,2)|AB|，联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x－1，,y2＝4x，))
得x2－6x＋1＝0，
设A，B两点的坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，
x1＋x2＝6，∴|AB|＝x1＋x2＋2＝8，
∴|MM′|＝4.
二级结论 抛物线的有关性质：已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线l过点F且与抛物线交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
(1)|AB|＝x1＋x2＋p＝eq \f(2p,sin2α)(α为直线l的倾斜角)．
(2)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．
(3)eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(2,p).
跟踪演练2 (1)已知F是抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，抛物线C的准线与双曲线Γ：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两条渐近线交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则Γ的离心率e等于( )
A.eq \f(\r(3),2) B.eq \f(2\r(3),3) C.eq \f(\r(21),7) D.eq \f(\r(21),3)
答案 D
解析 抛物线的焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，准线方程为x＝－eq \f(p,2)，
联立抛物线的准线方程与双曲线的渐近线方程得
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－\f(p,2)，,y＝±\f(b,a)x，))解得y＝±eq \f(pb,2a)，可得|AB|＝eq \f(pb,a)，
由△ABF为等边三角形，可得p＝eq \f(\r(3),2)·eq \f(pb,a)，
即有eq \f(b,a)＝eq \f(2,\r(3))，
则e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1＋\f(b2,a2))＝eq \r(1＋\f(4,3))＝eq \f(\r(21),3).
(2)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M(x0,2eq \r(2))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0>\f(p,2)))是抛物线C上一点，圆M与线段MF相交于点A，且被直线x＝eq \f(p,2)截得的弦长为eq \r(3)|MA|，若eq \f(|MA|,|AF|)＝2，则|AF|等于( )
A.eq \f(3,2) B．1 C．2 D．3
答案 B
解析 如图所示，由题意知，|MF|＝x0＋eq \f(p,2).
∵圆M与线段MF相交于点A，且被直线x＝eq \f(p,2)截得的弦长为eq \r(3)|MA|，
∴|MA|＝2|DM|＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0－\f(p,2))).
∵eq \f(|MA|,|AF|)＝2，∴|MF|＝eq \f(3,2)|MA|，
∴x0＝p.
又∵点M(x0,2eq \r(2))在抛物线上，∴2p2＝8，
又∵p>0，∴p＝2.
∴|MA|＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0－\f(p,2)))＝2，∴|AF|＝1.
考点三 直线与圆锥曲线的位置关系
核心提炼
解决直线与椭圆的位置关系问题，经常利用设而不求的方法，解题要点如下：
(1)设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)；
(2)联立直线的方程与椭圆的方程；
(3)消元得到关于x或y的一元二次方程；
(4)利用根与系数的关系设而不求；
(5)把题干中的条件转化为含有x1＋x2，x1x2或y1＋y2，y1y2的式子，进而求解即可．
例3 (2020·全国Ⅲ)已知椭圆C：eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,m2)＝1(00.
由已知可得B(5,0)，直线BP的方程为y＝－eq \f(1,yQ)(x－5)，
所以|BP|＝yPeq \r(1＋y\\al(2,Q))，|BQ|＝eq \r(1＋y\\al(2,Q)).
因为|BP|＝|BQ|，所以yP＝1.
将yP＝1代入C的方程，解得xP＝3或－3.
由直线BP的方程得yQ＝2或8，
所以点P，Q的坐标分别为P1(3,1)，Q1(6,2)；P2(－3,1)，Q2(6,8)．
所以|P1Q1|＝eq \r(10)，直线P1Q1的方程为y＝eq \f(1,3)x，
点A(－5,0)到直线P1Q1的距离为eq \f(\r(10),2)，
故△AP1Q1的面积为eq \f(1,2)×eq \f(\r(10),2)×eq \r(10)＝eq \f(5,2)；
|P2Q2|＝eq \r(130)，直线P2Q2的方程为y＝eq \f(7,9)x＋eq \f(10,3)，
点A到直线P2Q2的距离为eq \f(\r(130),26)，
故△AP2Q2的面积为eq \f(1,2)×eq \f(\r(130),26)×eq \r(130)＝eq \f(5,2).
综上，△APQ的面积为eq \f(5,2).
规律方法 解决直线与圆锥曲线位置关系的注意点
(1)注意使用圆锥曲线的定义．
(2)引入参数，注意构建直线与圆锥曲线的方程组．
(3)注意用好圆锥曲线的几何性质．
(4)注意几何关系和代数关系之间的转化．
跟踪演练3 (1)(2019·全国Ⅰ)已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为( )
A.eq \f(x2,2)＋y2＝1 B.eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1
C.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1 D.eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1
答案 B
解析 由题意设椭圆的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，连接F1A，令|F2B|＝m，则|AF2|＝2m，|BF1|＝3m.由椭圆的定义知，4m＝2a，得m＝eq \f(a,2)，故|F2A|＝a＝|F1A|，则点A为椭圆C的上顶点或下顶点．令∠OAF2＝θ(O为坐标原点)，则sin θ＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,a).在等腰三角形ABF1中，cs 2θ＝eq \f(2m2＋3m2－3m2,2×2m·3m)＝eq \f(1,3)，因为cs 2θ＝1－2sin2θ，所以eq \f(1,3)＝1－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))2，得a2＝3.又c2＝1，所以b2＝a2－c2＝2，椭圆C的方程为eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1.
(2)设F为抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为k(k>0)的直线过F交抛物线于A，B两点，若|FA|＝3|FB|，则直线AB的斜率为( )
A.eq \f(1,2) B．1 C.eq \r(2) D.eq \r(3)
答案 D
解析 假设A在第一象限，如图，
过A，B分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为D，E，
过A作EB的垂线，垂足为C，则四边形ADEC为矩形，
由抛物线定义可知|AD|＝|AF|，
|BE|＝|BF|，
又∵|FA|＝3|FB|，
∴|AD|＝|CE|＝3|BE|，即B为CE 的三等分点，
设|BF|＝m，则|BC|＝2m，|AF|＝3m，|AB|＝4m，
即|AC|＝eq \r(|AB|2－|BC|2)＝eq \r(16m2－4m2)＝2eq \r(3)m，
则tan∠ABC＝eq \f(|AC|,|BC|)＝eq \f(2\r(3)m,2m)＝eq \r(3)，
即直线AB的斜率k＝eq \r(3).
专题强化练
一、单项选择题
1．(2020·福州模拟)已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±eq \f(2,3)x，则此双曲线的离心率为( )
A.eq \f(13,4) B.eq \f(\r(13),2)
C.eq \f(\r(13),3) D.eq \f(\r(13),4)
答案 C
解析 因为双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±eq \f(2,3)x，所以eq \f(b,a)＝eq \f(2,3)，所以双曲线的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2)＝eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))2)＝eq \f(\r(13),3).
2．(2020·全国Ⅰ)已知A为抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p等于( )
A．2 B．3 C．6 D．9
答案 C
解析 设A(x，y)，由抛物线的定义知，点A到准线的距离为12，即x＋eq \f(p,2)＝12.
又因为点A到y轴的距离为9，即x＝9，
所以9＋eq \f(p,2)＝12，解得p＝6.
3．已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为M，N，过F2的直线l交C于A，B两点(异于M，N)，△AF1B的周长为4eq \r(3)，且直线AM与AN的斜率之积为－eq \f(2,3)，则C的方程为( )
A.eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,8)＝1 B.eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,4)＝1
C.eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1 D.eq \f(x2,3)＋y2＝1
答案 C
解析 由△AF1B的周长为4eq \r(3)，
可知|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝4eq \r(3)，
解得a＝eq \r(3)，则Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\r(3)，0))，N(eq \r(3)，0)．
设点A(x0，y0)(x0≠±eq \r(3))，
由直线AM与AN的斜率之积为－eq \f(2,3)，
可得eq \f(y0,x0＋\r(3))·eq \f(y0,x0－\r(3))＝－eq \f(2,3)，
即yeq \\al(2,0)＝－eq \f(2,3)(xeq \\al(2,0)－3)，①
又eq \f(x\\al(2,0),3)＋eq \f(y\\al(2,0),b2)＝1，所以yeq \\al(2,0)＝b2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(x\\al(2,0),3)))，②
由①②解得b2＝2.
所以C的方程为eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1.
4．设F为双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为( )
A.eq \r(2) B.eq \r(3) C．2 D.eq \r(5)
答案 A
解析 如图，由题意，知以OF为直径的圆的方程为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(c,2)))2＋y2＝eq \f(c2,4)，①
将x2＋y2＝a2记为②式，
①－②得x＝eq \f(a2,c)，则以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2的公共弦所在直线的方程为
x＝eq \f(a2,c)，
所以|PQ|＝2eq \r(a2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2,c)))2).
由|PQ|＝|OF|，得2eq \r(a2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2,c)))2)＝c，
整理得c4－4a2c2＋4a4＝0，
即e4－4e2＋4＝0，解得e＝eq \r(2).
5．(2020·潍坊模拟)已知点P为双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)右支上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，直线PF1与C的一条渐近线垂直，垂足为H，若|PF1|＝4|HF1|，则该双曲线的离心率为( )
A.eq \f(\r(15),3) B.eq \f(\r(21),3) C.eq \f(5,3) D.eq \f(7,3)
答案 C
解析 如图，取PF1的中点M，连接MF2.由条件可知
|HF1|＝eq \f(1,4)|PF1|＝eq \f(1,2)|MF1|，
∵O是F1F2的中点，
∴OH∥MF2，
又∵OH⊥PF1，∴MF2⊥PF1，
∴|F1F2|＝|PF2|＝2c.
根据双曲线的定义可知|PF1|＝2a＋2c，
∴|HF1|＝eq \f(a＋c,2)，
直线PF1的方程是y＝eq \f(a,b)(x＋c)，
即ax－by＋ac＝0，
原点到直线PF1的距离|OH|＝eq \f(|ac|,\r(a2＋b2))＝a，
∴在△OHF1中，a2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋c,2)))2＝c2，
整理为3c2－2ac－5a2＝0，即3e2－2e－5＝0，
解得e＝eq \f(5,3)或e＝－1(舍)．
二、多项选择题
6．(2020·新高考全国Ⅰ)已知曲线C：mx2＋ny2＝1.( )
A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m＝n>0，则C是圆，其半径为eq \r(n)
C．若mn0，则C是两条直线
答案 ACD
解析 对于A，当m>n>0时，有eq \f(1,n)>eq \f(1,m)>0，方程化为eq \f(x2,\f(1,m))＋eq \f(y2,\f(1,n))＝1，表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确．
对于B，当m＝n>0时，方程化为x2＋y2＝eq \f(1,n)，表示半径为eq \r(\f(1,n))的圆，故B错误．
对于C，当m>0，n0时，方程化为y＝±eq \r(\f(1,n))，表示两条平行于x轴的直线，故D正确．
7．已知双曲线C过点(3，eq \r(2))且渐近线为y＝±eq \f(\r(3),3)x，则下列结论正确的是( )
A．C的方程为eq \f(x2,3)－y2＝1
B．C的离心率为eq \r(3)
C．曲线y＝ex－2－1经过C的一个焦点
D．直线x－eq \r(2)y－1＝0与C有两个公共点
答案 AC
解析 因为渐近线方程为y＝±eq \f(\r(3),3)x，所以可设双曲线方程为eq \f(x2,9)－eq \f(y2,3)＝λ，代入点(3，eq \r(2))，得λ＝eq \f(1,3)，所以双曲线方程为eq \f(x2,3)－y2＝1，选项A正确；该双曲线的离心率为eq \f(2\r(3),3)，选项B不正确；双曲线的焦点为(±2,0)，曲线y＝ex－2－1经过双曲线的焦点(2,0)，选项C正确；把x＝eq \r(2)y＋1代入双曲线方程，得y2－2eq \r(2)y＋2＝0，解得y＝eq \r(2)，故直线x－eq \r(2)y－1＝0与曲线C只有一个公共点，选项D不正确．
8．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线l的斜率为eq \r(3)且经过点F，直线l与抛物线C交于A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线的准线交于点D.若|AF|＝8，则下列结论正确的是( )
A．p＝4 B.eq \(DF,\s\up6(→))＝eq \(FA,\s\up6(→))
C．|BD|＝2|BF| D．|BF|＝4
答案 ABC
解析 如图所示，分别过点A，B作准线的垂线，垂足分别为E，M，连接EF.抛物线C的准线交x轴于点P，则|PF|＝p，由于直线l的斜率为eq \r(3)，则其倾斜角为60°.又AE∥x轴，∴∠EAF＝60°，由抛物线的定义可知，|AE|＝|AF|，则△AEF为等边三角形，∴∠EFP＝∠AEF＝60°，则∠PEF＝30°，∴|AF|＝|EF|＝2|PF|＝2p＝8，解得p＝4，故A正确；∵|AE|＝|EF|＝2|PF|，PF∥AE，∴F为线段AD的中点，则eq \(DF,\s\up6(→))＝eq \(FA,\s\up6(→))，故B正确；∵∠DAE＝60°，∴∠ADE＝30°，∴|BD|＝2|BM|＝2|BF|(抛物线定义)，故C正确；∵|BD|＝2|BF|，∴|BF|＝eq \f(1,3)|DF|＝eq \f(1,3)|AF|＝eq \f(8,3)，故D错误．
三、填空题
9．(2019·全国Ⅲ)设F1，F2为椭圆C：eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,20)＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为________．
答案 (3，eq \r(15))
解析 不妨令F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，根据题意可知c＝eq \r(36－20)＝4.因为△MF1F2为等腰三角形，所以易知|F1M|＝2c＝8，所以|F2M|＝2a－8＝4.
设M(x，y)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x2,36)＋\f(y2,20)＝1，,|F1M|2＝x＋42＋y2＝64，,x>0，,y>0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝\r(15)，))
所以M的坐标为(3，eq \r(15))．
10．(2020·全国Ⅰ)已知F为双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴．若AB的斜率为3，则C的离心率为________．
答案 2
解析 如图，A(a,0)．
由BF⊥x轴且AB的斜率为3，
知点B在第一象限，且Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c，\f(b2,a)))，
则kAB＝eq \f(\f(b2,a)－0,c－a)＝3，
即b2＝3ac－3a2.
又∵c2＝a2＋b2，即b2＝c2－a2，
∴c2－3ac＋2a2＝0，
∴e2－3e＋2＝0.
解得e＝2或e＝1(舍去)．故e＝2.
11．设双曲线mx2＋ny2＝1的一个焦点与抛物线y＝eq \f(1,8)x2的焦点相同，离心率为2，则抛物线的焦点到双曲线的一条渐近线的距离为________．
答案 eq \r(3)
解析 ∵抛物线x2＝8y的焦点为(0,2)，
∴mx2＋ny2＝1的一个焦点为(0,2)，
∴焦点在y轴上，
∴a2＝eq \f(1,n)，b2＝－eq \f(1,m)，c＝2.
根据双曲线三个参数的关系得到4＝a2＋b2＝eq \f(1,n)－eq \f(1,m)，
又离心率为2，即eq \f(4,\f(1,n))＝4，
解得n＝1，m＝－eq \f(1,3)，
∴此双曲线的方程为y2－eq \f(x2,3)＝1，
则双曲线的一条渐近线方程为x－eq \r(3)y＝0，
则抛物线的焦点(0,2)到双曲线的一条渐近线的距离为
d＝eq \f(|2\r(3)|,\r(1＋3))＝eq \r(3).
12.如图，抛物线C1：y2＝2px和圆C2：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(p,2)))2＋y2＝eq \f(p2,4)，其中p>0，直线l经过C1的焦点，依次交C1，C2于A，D，B，C四点，则eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))的值为________．
答案 eq \f(p2,4)
解析 易知eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))＝|AB|·|CD|，圆C2的圆心即为抛物线C1的焦点F，当直线l的斜率不存在时，l的方程为x＝eq \f(p,2)，所以Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，p))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，\f(p,2)))，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，－\f(p,2)))，Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，－p))，|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(CD,\s\up6(→))|＝eq \f(p,2)，所以eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \f(p,2)·eq \f(p,2)＝eq \f(p2,4)；当直线l的斜率存在时，设A(x1，y1)，D(x2，y2)，则|AB|＝|FA|－|FB|＝x1＋eq \f(p,2)－eq \f(p,2)＝x1，同理|CD|＝x2，设l的方程为y＝keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(p,2)))，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝k\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(p,2)))，,y2＝2px，))可得k2x2－(pk2＋2p)x＋eq \f(k2p2,4)＝0，则eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))＝|AB|·|CD|＝x1·x2＝eq \f(p2,4).综上，eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \f(p2,4).
四、解答题
13．(2020·全国Ⅱ)已知椭圆C1：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合．过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|＝eq \f(4,3)|AB|.
(1)求C1的离心率；
(2)设M是C1与C2的公共点，若|MF|＝5，求C1与C2的标准方程．
解 (1)由已知可设C2的方程为y2＝4cx，
其中c＝eq \r(a2－b2).
不妨设A，C在第一象限，
由题设得A，B的纵坐标分别为eq \f(b2,a)，－eq \f(b2,a)；
C，D的纵坐标分别为2c，－2c，
故|AB|＝eq \f(2b2,a)，|CD|＝4c.
由|CD|＝eq \f(4,3)|AB|得4c＝eq \f(8b2,3a)，
即3×eq \f(c,a)＝2－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,a)))2，
解得eq \f(c,a)＝－2(舍去)，eq \f(c,a)＝eq \f(1,2).
所以C1的离心率为eq \f(1,2).
(2)由(1)知a＝2c，b＝eq \r(3)c，故C1：eq \f(x2,4c2)＋eq \f(y2,3c2)＝1.
设M(x0，y0)，则eq \f(x\\al(2,0),4c2)＋eq \f(y\\al(2,0),3c2)＝1，yeq \\al(2,0)＝4cx0，
故eq \f(x\\al(2,0),4c2)＋eq \f(4x0,3c)＝1.①
由于C2的准线为x＝－c，
所以|MF|＝x0＋c，而|MF|＝5，故x0＝5－c，
代入①得eq \f(5－c2,4c2)＋eq \f(45－c,3c)＝1，
即c2－2c－3＝0，解得c＝－1(舍去)，c＝3.
所以C1的标准方程为eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,27)＝1，
C2的标准方程为y2＝12x.
14．已知点F为抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且到原点的距离为2eq \r(3).
(1)求抛物线E的方程；
(2)已知点G(－1,0)，延长AF交抛物线于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切．
(1)解 由题意可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2＝4p，,\r(4＋m2)＝2\r(3)，))解得p＝2，
所以抛物线E的方程为y2＝4x.
(2)证明 设以点F为圆心且与直线GA相切的圆的半径为r.
因为点A(2，m)在抛物线E：y2＝4x上，
所以m＝±2eq \r(2)，由抛物线的对称性，不妨取A(2,2eq \r(2))．
由A(2,2eq \r(2))，F(1,0)可得直线AF的方程为y＝2eq \r(2)(x－1)，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝2\r(2)x－1，,y2＝4x，))得2x2－5x＋2＝0，
解得x＝2或x＝eq \f(1,2)，从而Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－\r(2))).
所以直线GB的方程为2eq \r(2)x＋3y＋2eq \r(2)＝0，
易知直线GA的方程为2eq \r(2)x－3y＋2eq \r(2)＝0，
从而r＝eq \f(|2\r(2)＋2\r(2)|,\r(8＋9))＝eq \f(4\r(2),\r(17)).
因为点F到直线GB的距离d＝eq \f(|2\r(2)＋2\r(2)|,\r(8＋9))＝eq \f(4\r(2),\r(17))＝r，所以以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切．