专题8.2 两直线平行、垂直的充要条件、对称问题及三种距离公式-2022年高考数学一轮复习核心素养大揭秘学案

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【考纲要求】
1.能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直．
2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．
3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离
【命题趋势】
确定两条直线的位置关系，已知两条直线的位置关系求参数，求直线的交点和点到直线的距离，对称问题，过定点的直线系问题
【核心素养】
本讲内容主要考查逻辑推理和数学运算的核心素养
【素养清单•基础知识】
1．两条直线平行与垂直的判定
(1)两条直线平行
①对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.
②当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.
(2)两条直线垂直
①如果两条直线l1，l2的斜率存在，
设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.
②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2.
2．两条直线的交点的求法
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2的交点坐标就是方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解．
3．三种距离公式
【素养清单•常用结论】
(1)与直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)垂直或平行的直线方程可设为：
①垂直：Bx－Ay＋m＝0；
②平行：Ax＋By＋n＝0.
(2)与对称问题相关的四个结论：
①点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x,2b－y)．
②点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x,2b－y)．
③点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)．
④点(x，y)关于直线x＋y＝k的对称点为(k－y，k－x)，关于直线x－y＝k的对称点为
(k＋y，x－k)．
【真题体验】
1．已知l1的倾斜角为45°，l2经过点P(－2，－1)，Q(3，m)，若l1⊥l2，则实数m＝( )
A．6 B．－6
C．5 D．－5
【答案】B
【解析】由已知得k1＝1，k2＝eq \f(m＋1,5).因为l1⊥l2，所以k1k2＝－1，所以1×eq \f(m＋1,5)＝－1，即m＝－6.
2．(2018·北京卷)在平面直角坐标系中，记d为点P(cs θ，sin θ)到直线x－my－2＝0的距离．当θ，m变化时，d的最大值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】C
【解析】易知d＝eq \f(|cs θ－msin θ－2|,\r(m2＋1))＝eq \f(|msin θ－cs θ＋2|,\r(m2＋1))＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\r(m2＋1)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m,\r(m2＋1)) sin θ－\f(1,\r(m2＋1)) cs θ))＋2)),\r(m2＋1))＝
eq \f(|\r(m2＋1)sinθ－φ＋2|,\r(m2＋1))(其中cs φ＝eq \f(m,\r(m2＋1))，sin φ＝eq \f(1,\r(m2＋1)))，因为－1≤sin(θ－φ)≤1，所以eq \f(|2－\r(m2＋1)|,\r(m2＋1))≤d≤eq \f(\r(m2＋1)＋2,\r(m2＋1))，eq \f(\r(m2＋1)＋2,\r(m2＋1))＝1＋eq \f(2,\r(m2＋1))，所以当m＝0时，d取得最大值3，故选C.
3．点(a，b)关于直线x＋y＋1＝0的对称点是( )
A．(－a－1，－b－1) B．(－b－1，－a－1)
C．(－a，－b) D．(－b，－a)
【答案】B
【解析】 设对称点为(x′，y′)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(y′－b,x′－a)×－1＝－1，,\f(x′＋a,2)＋\f(y′＋b,2)＋1＝0，))
解得x′＝－b－1，y′＝－a－1.
4．(2019·哈尔滨三中期末)已知直线l1的方程为3x＋4y－7＝0，直线l2的方程为6x＋8y＋1＝0，则直线l1与l2的距离为__________．
【答案】 eq \f(3,2)
【解析】 直线l1的方程为3x＋4y－7＝0，直线l2的方程为6x＋8y＋1＝0，
即3x＋4y＋eq \f(1,2)＝0，所以直线l1与l2的距离为eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)＋7)),\r(32＋42))＝eq \f(3,2).
【考法拓展•题型解码】
考法一 两条直线的位置关系
误区防范
判断两条直线平行与垂直的注意点
(1)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．
(2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程系数间的关系得出结论．
【例1】 (1)已知过点A(－2，m)和点B(m,4)的直线为l1，直线2x＋y－1＝0为l2，直线x＋ny＋1＝0为l3.若l1∥l2，l2⊥l3，则实数m＋n的值为( )
A．－10 B．－2
C．0 D．8
【答案】 A
【解析】 因为l1∥l2，所以eq \f(4－m,m＋2)＝－2(m≠－2)，解得m＝－8(经检验，l1与l2不重合)．因为l2⊥l3，所以2×1＋1×n＝0，即n＝－2.
所以m＋n＝－10.
(2)已知两直线l1：mx＋8y＋n＝0和l2：2x＋my－1＝0，试确定m，n的值，使①l1与l2相交于点P(m，－1)；②l1∥l2；③l1⊥l2，且l1在y轴上的截距为－1.
【答案】见解析
【解析】①由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2－8＋n＝0，,2m－m－1＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝1，,n＝7.))
②因为l1∥l2，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2－16＝0，,－m－2n≠0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝4，,n≠－2))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝－4，,n≠2.))
③当且仅当2m＋8m＝0，即m＝0时，l1⊥l2.又－eq \f(n,8)＝－1，所以n＝8.
考法二 两条直线的交点问题
归纳总结
(1)求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程联立组成的方程组，得到的方程组的解，即交点的坐标．
(2)求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．也可借助直线系方程，利用待定系数法求出直线方程，常用的直线系方程如下：
①与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R，且m≠C)；②与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋m＝0(m∈R)；③过直线l1：A1x＋B1y＋C1 ＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.
【例2】 (1)(2019·新乡期末)三条直线l1：x－y＝0，l2：x＋y－2＝0，l3：5x－ky－15＝0构成一个三角形，则k的取值范围是( )
A．k∈R B．k∈R且k≠±1，k≠0
C．k∈R且k≠±5，k≠－10 D．k∈R且k≠±5，k≠1
(2)求经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程为__________．
【答案】 (1)C (2)5x＋3y－1＝0
【解析】(1)由l1∥l3得k＝5；由l2∥l3，得k＝－5；由x－y＝0与x＋y－2＝0，得x＝1，y＝1，若l1，l2的交点(1,1)在l3上，则k＝－10.若l1，l2，l3能构成一个三角形，则k≠±5，且k≠－10，故选C.
(2)解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x＋2y－1＝0，,5x＋2y＋1＝0))得l1，l2的交点坐标为(－1,2)．
由于l⊥l3，故l是直线系5x＋3y＋C＝0中的一条，而l过l1，l2的交点(－1,2)，故5×(－1)＋3×2＋C＝0，由此求出C＝－1.
故直线l的方程为5x＋3y－1＝0.
考法三 距离问题的求解与应用
解题技巧
距离问题的常见题型及解题策略
(1)求两点间的距离：关键是确定两点的坐标，然后代入公式即可，一般用来判断三角形的形状等．
(2)解决与点到直线的距离有关的问题：应熟记点到直线的距离公式，若已知点到直线的距离求直线方程，一般考虑待定斜率法，此时必须讨论斜率是否存在．
(3)求两条平行线间的距离：要先将直线方程中x，y的对应项系数转化成相等的形式，再利用距离公式求解．也可以转化成点到直线的距离问题．
【例3】 (1)若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为( )
A.eq \f(9,5) B.eq \f(18,5) C.eq \f(29,10) D.eq \f(29,5)
(2)若动点A，B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为( )
A．3eq \r(2) B．2eq \r(2)
C．3eq \r(3) D．4eq \r(2)
【答案】(1)C (2)A
【解析】(1)因为eq \f(3,6)＝eq \f(4,8)≠eq \f(－12,5)，所以两直线平行，将直线3x＋4y－12＝0化为6x＋8y－24＝0，由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，即eq \f(|－24－5|,\r(62＋82))＝eq \f(29,10)，所以|PQ|的最小值为eq \f(29,10).故选C.
(2)依题意知AB的中点M的集合为与直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0距离都相等的直线，则M到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离．设点M所在直线的方程为l：x＋y＋m＝0，根据平行线间的距离公式得eq \f(|m＋7|,\r(2))＝eq \f(|m＋5|,\r(2))⇒|m＋7|＝|m＋5|⇒m＝－6，即l：x＋y－6＝0.根据点到直线的距离公式，得M到原点的距离的最小值为eq \f(|－6|,\r(2))＝3eq \r(2).故选A.
考法四 对称问题及其应用
解题技巧
两种对称问题的处理方法
(1)关于中心对称问题的处理方法
①若点M(x1，y1)及点N(x，y)关于点P(a，b)对称，则由中点坐标公式得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2a－x1，,y＝2b－y1.))
②直线关于点的对称，其主要方法是在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；或者求出一个对称点，再利用l1∥l2，由点斜式得到所求的直线方程．
(2)关于轴对称问题的处理方法
①点关于直线的对称
若两点P1 (x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，则线段P1P2的中点在l上，而且连接P1P2的直线垂直于l，由方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)))＋B\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y1＋y2,2)))＋C＝0，,\f(y2－y1,x2－x1)·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(A,B)))＝－1，))可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2)．
②直线关于直线的对称
此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行．
【例4】 (1)已知直线l：x＋2y－2＝0.
①求直线l1：y＝x－2关于直线l对称的直线l2的方程；
②求直线l关于点A(1,1)对称的直线方程．
(2)光线由点A(－5，eq \r(3))入射到x轴上的点B(－2,0)，又反射到y轴上的点M，再经y轴反射，求第二次反射线所在直线l的方程．
【答案】见解析
【解析】(1)①由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x－2，,x＋2y－2＝0))解得交点P(2,0)．
在l1上取点M(0，－2)，M关于l的对称点设为N(a，b)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(a,2)＋2·\f(b－2,2)－2＝0，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))·\f(b＋2,a)＝－1，))解得Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(12,5)，\f(14,5)))，所以kl2＝eq \f(\f(14,5)－0,\f(12,5)－2)＝7，
又直线l2过点P(2,0)，所以直线l2的方程为7x－y－14＝0.
②直线l关于点A(1,1)对称的直线和直线l平行，所以设所求的直线方程为x＋2y＋m＝0.
在l上取点B(0,1)，则点B(0,1)关于点A(1,1)的对称点C(2,1)必在所求的直线上，所以m＝－4，即所求的直线方程为x＋2y－4＝0.
(2)点A(－5，eq \r(3))关于x轴的对称点A′(－5，－eq \r(3))在反射光线所在的直线BM上，
可知lBM：y＝eq \f(\r(3),3)(x＋2)，所以Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(2\r(3),3))).又第二次反射线的斜率k＝kAB＝－eq \f(\r(3),3)，所以第二次反射线所在直线l的方程为y＝－eq \f(\r(3),3)x＋eq \f(2\r(3),3)，即x＋eq \r(3)y－2＝0.
【易错警示】
易错点 在直线的位置关系中忽略斜率不存在的情况
【典例】 已知直线l1：(2－a)x＋ay－3＝0，l2：(2a＋3)x－(a－2)y＋2＝0互相垂直，求实数a的值．
【错解】：将l1的方程化为y＝eq \f(a－2,a)x＋eq \f(3,a)，得斜率k1＝eq \f(a－2,a)；将l2的方程化为y＝eq \f(2a＋3,a－2)x＋eq \f(2,a－2)，得斜率k2＝eq \f(2a＋3,a－2).因为l1⊥l2，所以k1·k2＝－1，即eq \f(2a＋3,a－2)×eq \f(a－2,a)＝－1，
解得a＝－1.
【错因分析】：将直线的一般式方程化成斜截式，再运用直线的斜率判断直线垂直，没有考虑直线的斜率不存在的情况，所以答案不完整．
【正解】：因为l1⊥l2，则必有(2－a)(2a＋3)－a(a－2)＝0，即a2－a－2＝0，所以a＝2或a＝－1.
【跟踪训练】 若l1：x＋(1＋m)y＋(m－2)＝0，l2：mx＋2y＋6＝0平行，则实数m的值是( )
A．m＝1或m＝－2 B．m＝1
C．m＝－2 D．m的值不存在
【答案】A
【解析】据已知若m＝0，易知两直线不平行，若m≠0，则有eq \f(1,m)＝eq \f(1＋m,2)≠eq \f(m－2,6)⇒
m＝1或m＝－2.
【递进题组】
1．“C＝5”是“点(2,1)到直线3x＋4y＋C＝0的距离为3”的( )
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】点(2,1)到直线3x＋4y＋C＝0的距离为3等价于eq \f(|3×2＋4×1＋C|,\r(32＋42))＝3，解得C＝5或C＝－25，所以“C＝5”是“点(2,1)到直线3x＋4y＋C＝0的距离为3”的充分不必要条件．故选B.
2．已知A(4，－3)关于直线l的对称点为B(－2,5)，则直线l的方程是( )
A．3x＋4y－7＝0 B．3x－4y＋1＝0
C．4x＋3y－7＝0 D．3x＋4y－1＝0
【答案】B
【解析】由题意得AB的中点C为(1,1)，又A，B两点连线的斜率为kAB＝eq \f(5＋3,－2－4)＝－eq \f(4,3)，所以直线l的斜率为eq \f(3,4)，因此直线l的方程为y－1＝eq \f(3,4)(x－1)，即3x－4y＋1＝0.故选B.
3．设不同直线l1：2x－my－1＝0，l2：(m－1)x－y＋1＝0，则“m＝2”是“l1∥l2”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】当m＝2时，代入两直线方程中，易知两直线平行，即充分性成立；当l1∥l2时，显然m≠0，从而有eq \f(2,m)＝m－1，解得m＝2或m＝－1，但当m＝－1时，两直线重合，不合要求，故必要性成立．故选C.
4．经过直线3x－2y＋1＝0和直线x＋3y＋4＝0的交点，且平行于直线x－y＋4＝0的直线方程为__________．
【答案】 x－y＝0
【解析】过两直线交点的直线方程可设为3x－2y＋1＋λ(x＋3y＋4)＝0，即(3＋λ)x＋(3λ－2)y＋4λ＋1＝0，它与直线x－y＋4＝0平行，所以3＋λ＋3λ－2＝0，λ＝－eq \f(1,4)，
故所求直线为x－y＝0.
5．[考法四]已知直线l：3x－y＋3＝0，求：
(1)点P(4,5)关于l的对称点；
(2)直线x－y－2＝0关于直线l对称的直线方程；
(3)直线l关于(1,2)的对称直线．
【答案】见解析
【解析】(1)设P(x，y)关于直线l：3x－y＋3＝0的对称点为P′(x′，y′)，
因为kPP′·kl＝－1，即eq \f(y′－y,x′－x)×3＝－1.①
又PP′的中点在直线3x－y＋3＝0上，
所以3×eq \f(x′＋x,2)－eq \f(y′＋y,2)＋3＝0.②
由①②得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x′＝\f(－4x＋3y－9,5)， ③,y′＝\f(3x＋4y＋3,5). ④))
把x＝4，y＝5代入③④得x′＝－2，y′＝7，所以点P(4,5)关于直线l的对称点P′的坐标为(－2,7)．
(2)用③④分别代换x－y－2＝0中的x，y，得关于l对称的直线方程为eq \f(－4x＋3y－9,5)－eq \f(3x＋4y＋3,5)－2＝0，
化简得7x＋y＋22＝0.
(3)在直线l：3x－y＋3＝0上取点M(0,3)，关于(1,2)的对称点M′(x′，y′)，
所以eq \f(x′＋0,2)＝1，x′＝2，eq \f(y′＋3,2)＝2，y′＝1，所以M′(2,1)．
l关于(1,2)的对称直线平行于l，所以k＝3，
所以对称直线方程为y－1＝3×(x－2)，
即3x－y－5＝0.
【考卷送检】
一、选择题
1．若直线ax＋2y＋1＝0与直线x＋y－2＝0互相垂直，那么a的值等于( )
A．1 B．－eq \f(1,3)
C．－eq \f(2,3) D．－2
【答案】D
【解析】由a×1＋2×1＝0得a＝－2.故选D.
2．过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0垂直的直线方程是( )
A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0
C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0
【答案】C
【解析】设直线方程为2x＋y＋c＝0，将(1,0)代入，求得c＝－2，所以所求方程为2x＋y－2＝0.故选C.
3．(2019·平顶山统考)已知点A(1，－2)，B(m,2)，若线段AB的垂直平分线的方程是x＋2y－2＝0，则实数m的值为( )
A．－2 B．－7
C．3 D．1
【答案】C
【解析】 因为A(1，－2)和B(m,2)的中点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1＋m,2)，0))在直线x＋2y－2＝0上，所以eq \f(1＋m,2)＋2×0－2＝0，所以m＝3.
4．“m＝1”是“直线x－y＝0和直线x＋my＝0互相垂直” 的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】因为m＝1时，两直线方程分别是x－y＝0和x＋y＝0，两直线的斜率分别是1和－1，所以两直线垂直，所以充分性成立；当直线x－y＝0和直线x＋my＝0互相垂直时，有1×1＋(－1)·m＝0，所以m＝1，所以必要性成立．故选C.
5．(2019·常德一中月考)已知点M是直线x＋eq \r(3)y＝2上的一个动点，且点P(eq \r(3)，－1)，则点|PM|的最小值为( )
A.eq \f(1,2) B．1
C．2 D．3
【答案】B
【解析】|PM|的最小值即为点P(eq \r(3)，－1)到直线x＋eq \r(3)y＝2的距离，又eq \f(|\r(3)－\r(3)－2|,\r(1＋3))＝1，故|PM|的最小值为1.
6．(2019·襄阳四中月考)已知直线y＝2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线，若点A，B的坐标分别是(－4,2)，(3,1)，则点C的坐标为( )
A．(－2,4) B．(－2，－4)
C．(2,4) D．(2，－4)
【答案】C
【解析】设A(－4,2)关于直线y＝2x的对称点为(x，y)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(y－2,x＋4)×2＝－1，,\f(y＋2,2)＝2×\f(－4＋x,2)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝4，,y＝－2，))即(4，－2)．所以直线BC所在的方程为y－1＝eq \f(－2－1,4－3)(x－3)，即3x＋y－10＝0.
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x＋y－10＝0，,y＝2x))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝4，))可得C(2,4)．
二、填空题
7．经过点P(－1,2)且与曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线平行的直线的方程是________．
【答案】 2x－y＋4＝0
【解析】因为y′＝6x－4，所以y′|x＝1＝2，所以所求直线方程为y－2＝2(x＋1)，即2x－y＋4＝0.
8．与直线l1：3x＋2y－6＝0和直线l2：6x＋4y－3＝0等距离的直线方程是________．
【答案】 12x＋8y－15＝0
【解析】l2：6x＋4y－3＝0化为3x＋2y－eq \f(3,2)＝0，所以l1与l2平行，设与l1，l2等距离的直线l的方程为3x＋2y＋c＝0，则|c＋6|＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(c＋\f(3,2)))，解得c＝－eq \f(15,4)，所以l的方程为12x＋8y－15＝0.
9．已知定点A(1,1)，B(3,3)，动点P在x轴上，则|PA|＋|PB|的最小值是________．
【答案】 2eq \r(5)
【解析】 点A(1,1)关于x轴的对称点为C(1，－1)，则|PA|＝|PC|，设BC与x轴的交点为M，则|MA|＋|MB|＝|MC|＋|MB|＝|BC|＝2eq \r(5).由三角形两边之和大于第三边知当P不与M重合时，|PA|＋|PB|＝|PC|＋|PB|＞|BC|，故当P与M重合时，|PA|＋|PB|取得最小值．
三、解答题
10．已知△ABC的顶点A(5,1)，AB边上的中线CM所在直线的方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在直线的方程为x－2y－5＝0，求直线BC的方程．
【答案】见解析
【解析】依题意知kAC＝－2，A(5,1)，所以直线AC的方程为2x＋y－11＝0，联立直线AC和直线CM的方程，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋y－11＝0，,2x－y－5＝0，))所以C(4,3)．设B(x0，y0)，AB的中点M为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x0＋5,2)，\f(y0＋1,2)))，代入2x－y－5＝0，得2x0－y0－1＝0，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x0－y0－1＝0，,x0－2y0－5＝0，))所以B(－1，－3)，所以kBC＝eq \f(6,5)，所以直线BC的方程为y－3＝eq \f(6,5)(x－4)，即6x－5y－9＝0.
11．已知直线l1：x＋a2y＋1＝0和直线l2：(a2＋1)x－by＋3＝0(a，b∈R)．
(1)若l1∥l2，求b的取值范围；
(2)若l1⊥l2，求|ab|的最小值．
【答案】见解析
【解析】(1)因为l1∥l2，所以－b－(a2＋1)a2＝0，
即b＝－a2(a2＋1)＝－a4－a2＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a2＋\f(1,2)))2＋eq \f(1,4).因为a2≥0，所以b≤0.又因为l1与l2不重合，所以a2＋1≠3，
所以b≠－6.故b的取值范围是(－∞，－6)∪(－6,0]．
(2)因为l1⊥l2，所以(a2＋1)－a2b＝0，显然a≠0，所以ab＝a＋eq \f(1,a)，|ab|＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a＋\f(1,a)))≥2，当且仅当a＝±1时，等号成立，因此|ab|的最小值为2.
12．(2019·信阳调考)已知直线m：2x－y－3＝0与直线n：x＋y－3＝0的交点为P.
(1)若直线l过点P，且点A(1,3)和点B(3,2)到直线l的距离相等，求直线l的方程；
(2)若直线l1过点P且与x轴和y轴的正半轴分别交于A，B两点，△ABO的面积为4，求直线l1的方程．
【答案】见解析
【解析】(1)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－y－3＝0，,x＋y－3＝0))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝1，))即交点P(2,1)．由直线l与A，B的距离相等可知，l∥AB或l过AB的中点．
①由l∥AB得kl＝kAB＝eq \f(2－3,3－1)＝－eq \f(1,2)，所以直线l的方程为y－1＝－eq \f(1,2)(x－2)，
即x＋2y－4＝0.
②由l过AB的中点得l的方程为x＝2.
综上得x＋2y－4＝0或x＝2为所求．
(2)由题可知直线l1的横、纵截距a，b存在，且a＞0，b＞0，则l1：eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1.又直线l1过点(2,1)，△ABO的面积为4，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(2,a)＋\f(1,b)＝1，,\f(1,2)ab＝4，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝4，,b＝2，))故直线l1的方程为eq \f(x,4)＋eq \f(y,2)＝1，即x＋2y－4＝0.
13．(2019·华大新高考联盟联考)已知m，n，a，b∈R，且满足3m＋4n＝6,3a＋4b＝1，则的最小值为( )
A.eq \r(3) B.eq \r(2)
C．1 D.eq \f(1,2)
【答案】C
【解析】 (m，n)为直线3x＋4y＝6上的动点，(a，b)为直线3x＋4y＝1上的动点，的最小值可理解为两动点间距离的最小值，显然最小值是两平行线间的距离，所以d＝eq \f(|6－1|,\r(9＋16))＝1.故选C.
点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离
eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(P1P2))＝eq \r(x2－x12＋y2－y12)
点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离
d＝eq \f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))
两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离
d＝eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))