专题7.5 用向量法证明平行与垂直-2022年高考数学一轮复习核心素养大揭秘学案

这是一份专题7.5 用向量法证明平行与垂直-2022年高考数学一轮复习核心素养大揭秘学案，文件包含专题705用向量法证明平行与垂直解析版doc、专题705用向量法证明平行与垂直原卷版doc等2份学案配套教学资源，其中学案共43页， 欢迎下载使用。
【考纲要求】
1.理解直线的方向向量与平面法向量的意义．
2.能用向量语言表达直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直和平行关系．
3.能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理).
【命题趋势】
空间直角坐标系、空间向量及其运算在高考中主要作为解题工具，解决直线、平面的平行、垂直位置关系的判定等问题.
【核心素养】
本讲内容主要考查直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养.
【素养清单•基础知识】
1．直线的方向向量与平面的法向量的确定
(1)直线的方向向量：在直线上任取一非零向量作为它的方向向量．
(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·a＝0，,n·b＝0.))
2．用向量证明空间中的平行关系
(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2(或l1与l2重合)⇔ v1∥v2 .
(2)设直线l的方向向量为v，与平面α共面的两个不共线向量v1和v2，则l∥α或l⊂α⇔ 存在两个实数x，y，使v＝xv1＋yv2 .
(3)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l∥α或l⊂α⇔ v⊥u .
(4)设平面α和β的法向量分别为u1，u2，则α∥β ⇔ u1∥u2 .
3．用向量证明空间中的垂直关系
(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，
则l1⊥l2⇔ v1⊥v2 ⇔ v1·v2＝0 .
(2)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，
则l⊥α⇔ v∥u .
(3)设平面α和β的法向量分别为u1和u2，则α⊥β ⇔ u1⊥u2 ⇔ u1·u2＝0 .
【真题体验】
1. 【2019年高考全国Ⅰ卷理数】如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．
（1）证明：MN∥平面C1DE；
（2）求二面角A−MA1−N的正弦值．
2.【2019年高考全国Ⅱ卷理数】如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1．
（1）证明：BE⊥平面EB1C1；
（2）若AE=A1E，求二面角B–EC–C1的正弦值．
3.【2019年高考全国Ⅲ卷理数】图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2.
（1）证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；
（2）求图2中的二面角B−CG−A的大小.
4.【2019年高考北京卷理数】如图，在四棱锥P–ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC=3．E为PD的中点，点F在PC上，且．
（1）求证：CD⊥平面PAD；
（2）求二面角F–AE–P的余弦值；
（3）设点G在PB上，且．判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由．
5.【2019年高考浙江卷】如图，已知三棱柱，平面平面,，分别是AC，A1B1的中点.
（1）证明：；
（2）求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值.
【考法拓展•题型解码】
考法一 利用空间向量证明平行问题
解题技巧
(1)恰当建立空间直角坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键．
(2)证明直线与平面平行，只需证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可．这样就把几何的证明问题转化为向量运算．
【例1】 如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点．求证：PB∥平面EFG.
考法二 利用空间向量证明垂直问题
解题技巧
证明垂直问题的方法
(1)利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算．其中灵活建系是解题的关键．
(2)证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直；证明线面垂直，只需证明直线的方向向量与平面内不共线的两个向量垂直即可，当然，也可证直线的方向向量与平面的法向量平行；证明面面垂直：①证明两平面的法向量互相垂直；②利用面面垂直的判定定理，只要能证明一个平面内的一条直线的方向向量为另一个平面的法向量即可．
【例2】 如图所示，正三棱柱(底面为正三角形的直三棱柱)ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．求证：AB1⊥平面A1BD.
【例3】 (2019·四川绵阳中学模拟)在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，E，F分别为棱AD，PB的中点，且PD＝AD.求证：平面CEF⊥平面PBC.
考法三 利用空间向量解决探索性问题
归纳总结
对于“是否存在”型问题的探索方式有两种：一种是先根据条件作出判断，再进一步论证；另一种是利用空间向量，先假设存在点的坐标，再根据条件求该点的坐标，即找到“存在点”，若该点坐标不能求出，或有矛盾，则判定“不存在”．
【例4】 如图，棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都等于2，∠ABC和∠A1AC均为60°，平面AA1C1C⊥平面ABCD.
(1)求证：BD⊥AA1；
(2)在直线CC1上是否存在点P，使BP∥平面DA1C1.若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由．
【规范解答】
关键点 坐标系建立要恰当、点的坐标要写准确
【典例】 如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中点，点P，Q分别在棱DD1，BB1上移动，且DP＝BQ＝λ(0